4.3 对数（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 对数同步练习采用A/B/C组必做+拓展选做的分层设计，以“概念理解—运算应用—思维创新—高考衔接”为路径，系统巩固对数知识，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|对数概念、互化、性质及运算|题型01-07从基础概念到实际应用，如视力表数据转换题培养模型意识| |B组能力进阶|综合运算与推理|结合指数对数关系，如最值问题提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|跨学科与创新问题|含溶液酸碱度计算等跨学科题，新定义问题发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题|直接选用北京、天津等高考题，强化应用意识与应试能力|

分层作业 4.3 对数 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数的概念 题型02 指数式与对数式的互化 题型03 利用对数的性质及对数恒等式求值 题型04 对数运算性质的应用（重点） 题型05 运用换底公式化简求值（重点） 题型06 运用换底公式证明恒等式 题型07 对数的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对数的概念题型01 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南·开学考试）若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 3．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段检测）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 指数式与对数式的互化题型02 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则__________. 利用对数的性质及对数恒等式求值题型03 7．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）________. 9．（23-24高一上·江苏·阶段检测）计算：______. 10．（24-25高一上·四川泸州·期末）计算__________. 对数运算性质的应用题型04 11．（25-26高一上·青海海南·期末）__________. 12．（25-26高一下·浙江·期中）求值：__________. 13．（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则__________． 14．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 15．计算下列各题： (1)； (2). (3). 运用换底公式化简求值题型05 16．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 17．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，则属于（ ） A． B． C． D． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 19．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知x，y，z均为正实数，若，则的值为________． 21．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 运用换底公式证明恒等式题型06 22．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 对数的实际应用题型07 24．（25-26高一上·四川凉山·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·北京昌平·期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（   ） A． B． C．10 D． 26．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 28．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 29．（25-26高一上·四川南充·期末）任何一个正实数N可以表示成（，）的形式，这便是科学记数法．若N两边取常用对数，则有，当时，N的位数为．那么的位数为（    ）（参考数据：） A．1415 B．1416 C．1417 D．1418 30．（25-26高一上·甘肃张掖·期末）二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用．但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害．经测定，刚下课时，教室内空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到至少需要（    ） （参考数据：） A．18分钟 B．13分钟 C．11分钟 D．10分钟 1．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西太原·期末）已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·云南普洱·期末）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（    ） A．10 B．34 C． D． 7．（多选）（25-26高一下·湖北咸宁·期中）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 9．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）计算：______________． 10．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 11．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 13．（25-26高一上·广东广州·期末）求值： (1)； (2)； (3)． 14．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，试用，表示. 1．【跨学科问题】（25-26高一上·江西南昌·期末）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 2．【新定义问题】（25-26高一上·浙江金华·期末）对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 3．【逻辑推理】（多选）（25-26高一下·广东·阶段检测）利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 4．【知识融合】（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 5．【知识融合】（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知，点，和分别在函数，和的图象上，平行于轴，，且，则点的横坐标约为（     ） （参考数据：，） A．8.8 B．7.8 C．6.8 D．5.8 6．【知识融合】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的最小值为__________． 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 5．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（2020·全国III卷·高考真题）已知，．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 对数 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 对数的概念 题型02 指数式与对数式的互化 题型03 利用对数的性质及对数恒等式求值 题型04 对数运算性质的应用（重点） 题型05 运用换底公式化简求值（重点） 题型06 运用换底公式证明恒等式 题型07 对数的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对数的概念题型01 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 2．（25-26高一下·云南·开学考试）若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以. 3．（多选）（24-25高一下·山西大同·阶段检测）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 指数式与对数式的互化题型02 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 5．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故. 故选：C. 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）若，则__________. 【答案】 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 利用对数的性质及对数恒等式求值题型03 7．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 故选：A. 8．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）________. 【答案】9 【详解】原式. 故答案为：9. 9．（23-24高一上·江苏·阶段检测）计算：______. 【答案】 【详解】. 10．（24-25高一上·四川泸州·期末）计算__________. 【答案】4 【详解】原式. 对数运算性质的应用题型04 11．（25-26高一上·青海海南·期末）__________. 【答案】 【详解】. 12．（25-26高一下·浙江·期中）求值：__________. 【答案】 【详解】原式. 13．（25-26高一上·湖北武汉·期末）若，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 14．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 【答案】 【详解】原式化为 . 15．计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1） （2） （3） 运用换底公式化简求值题型05 16．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 17．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，则属于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 因为，所以， 又，， 所以，即属于. 故选：A 18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 19．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 20．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知x，y，z均为正实数，若，则的值为________． 【答案】 【详解】令则， 则， 得到. 故答案为： 21．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）（方法一）； （方法二）． 运用换底公式证明恒等式题型06 22．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 23．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 对数的实际应用题型07 24．（25-26高一上·四川凉山·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：D. 25．（25-26高一上·北京昌平·期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（   ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【详解】第一辆汽车：，对应声压为，则，即， 所以. 第二辆汽车：，对应声压为，则，即， 所以. 所以. 故选：A. 26．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，可得， 所以，故， 故选：A. 27．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 28．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 29．（25-26高一上·四川南充·期末）任何一个正实数N可以表示成（，）的形式，这便是科学记数法．若N两边取常用对数，则有，当时，N的位数为．那么的位数为（    ）（参考数据：） A．1415 B．1416 C．1417 D．1418 【答案】C 【详解】设，两边取常用对数得， 又， ， 又，此时， 故的位数为. 故选：C. 30．（25-26高一上·甘肃张掖·期末）二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用．但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害．经测定，刚下课时，教室内空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到至少需要（    ） （参考数据：） A．18分钟 B．13分钟 C．11分钟 D．10分钟 【答案】A 【详解】依题意，当时，，即， 解得，则． 由，得，即， 两边取自然对数，得， 故， 所以降至需要至少18分钟． 故选：A． 1．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【详解】， 所以. 故选：B 2．（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 3．（25-26高一上·山西太原·期末）已知实数、满足，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为实数、满足，则，可得， 由可得，所以， 即，等式两边同时除以可得， 解得（舍去）或. 故选：D. 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 6．（25-26高一上·云南普洱·期末）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而五子棋棋盘上有225个交叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种：空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（    ） A．10 B．34 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 则 ， 所以，即最接近. 故选：C. 7．（多选）（25-26高一下·湖北咸宁·期中）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 8．（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 【答案】 【详解】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 9．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 10．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 11．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111；(2) 【详解】（1） ； （2）. 13．（25-26高一上·广东广州·期末）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 14．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）计算：； （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1） . （2）因为，，所以，， 所以 . 1．【跨学科问题】（25-26高一上·江西南昌·期末）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得该气泡水的值， 为 故选：A． 2．【新定义问题】（25-26高一上·浙江金华·期末）对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 此时； 取，则有， 则的值为. 故选：B 3．【逻辑推理】（多选）（25-26高一下·广东·阶段检测）利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于即，中间层等于， 即，则最外层等于，展开得，即，不一定等于左式，故D错误． 4．【知识融合】（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】由得，得， 对于A，，当且仅当时等号成立，此时，， 所以，选项A正确； 对于B，由，得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，选项B错误； 对于C，由，得，所以， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，选项C正确； 对于D，由，得， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立，选项D正确． 故选：ACD． 5．【知识融合】（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知，点，和分别在函数，和的图象上，平行于轴，，且，则点的横坐标约为（     ） （参考数据：，） A．8.8 B．7.8 C．6.8 D．5.8 【答案】C 【详解】 已知轴，，故，即轴. 设点的横坐标为，则，. 由得，化简得 ，两边取常用对数，①. 又，与纵坐标相同，故的横坐标为，即. 由得，所以，两边取常用对数整理得，②. 联立①与②，. 6．【知识融合】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的最小值为__________． 【答案】/ 【详解】， 由基本不等式得：， 又，故， 所以。 当且仅当时取等． 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 2．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】原式 ， 故选：C 3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 4．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 5．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，， . 故选：C. 6．（2020·全国III卷·高考真题）已知，．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ；． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.3对数 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 对数的概念 1.c 2.A 3.AB 颗型02 指数式与对数式的互化 10 4.D 5.C 6. 3 题型03 利用对数的性质及对数恒等式求值 7.A 8.9 9.10 10.4 颗型04 对数运算性质的应用 1 15 11.-14 12.3 13.4 14.2 15.【答案】(15-4log32,(21,(3)-2 32 【详解】(1)1og,2-log, +510833 -be2}+3=le3=lg,9-16+3=2-,16+3=5-4oe,2 （20e2y旷+0e5j+0-g5jxe25)-(e2°+(g5j旷+le9×12e5 =(1g2'+(g5)'+lg2×(2lg5)=(1g2+lg5)=1 （a)g+g20-le2+e-同可-g2+e9+分6-1+片4=2 题型05 运用换底公式化简求值 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.C 17.A 18.B 19.B 20.2 a+2b 3 21. 【答案】(11-a+2b:(2) 1og18=1g18-_1g(2x9)_lg2+1g9_lg2+2lg3_1g2+21g3 【详解】(1) 1g45 1g(5x9)1g5+1g9 1g5+21g3 9+2g3 1g2+21g3 lg2+2lg3=a+2b lg10-lg2+2lg31-lg2+2lg31-a+2b' （2)(方i法-1g,3-lg,8=1bg,3×1be8=1og,8=bg2-3 log43 2 (方法=)1og,3-1og,8=1g3×g8-lg83g23 1g4 Ig3 1g4 21g2 2. 题型06 运用换底公式证明恒等式 22.D 23.C 题型07 对数的实际应用 24.D 25.A 26.A 27.B 28.D 29.C 30.A B组 能力进阶 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C7.ABC 8.3 a+b 10.910 113-2a 12.【答案】(1)111：(2)-4 【详解】(1)825×2+2×V3°+log,2-1og2(log27) eyx2x3 +1log,2:1og,3=2x2+2×3+g21g3=2+108+1=11 3 1g3 1g2 g8x125 (2) lg8+1g125-1g2-1g5 2×5 lg102 =-4 Ig 10-1g0.1 lg102.lg101 2*() 13.【答案】(1)7；(2)1：(3)2 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)原式=2+(2）月+1=2+4+1=7. (2)原式=log,49-log, 49+og,-b 5 49:49x5) 9x9 =log,5=1 (3)原式 2g3lg3/g2+lg2）-(2g3+g3丫1g2+g2_4xg3×2xe2-2. lg8八lg3'lg9 2lg23lg2八lg321g3厂31g221g3 b+a 14.【答案】(1)1，(2)2-a 【详解】3g,4+e5+gsg0越16-2-8g等+0g+eg52x0)+地r- Ig2 Ig3 号2器40s9+5e2*+4a2- =2+(lg5)2+lg5lg2+lg5+2lg2-3 =-1+lg5(1g5+lg2)+lg5+2lg2 =-1+2lg5+2lg2 =-1+2 =1. (2)因为18°=9,18=5，所以a=log89,b=log185, 所以log645=1bes5-1o8:5x9）=loge5+1oge9 logis 36 logis(1829)logis 182-l0gis9 l0g18 5+l0gis 9 l0g1s 5+10g18 9 b+a 2l0gis 18-logis 9 2-logis 9 2-a1 C组 思维拔高 1 1.A 2.B 3.AC 4.ACD 5.c 6.2 拓展 链接高考 1.D 2.C 3.C 4.C 5.C 6.A 7.64 8. 2ln2 9.【详解】(1)没有，理由如下： 例如当x=-2,为=-3时，显然<成立， 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e=e2,e5=e3,根据指数函数的单调性可知e2>e3, 所以有f(:)>f(3),这与“性质P”矛盾，故函数f()=不具有“性质p”: (2)因为函数f(x)具有“性质P”,所以取=0，有=0<， 于是有f(x)<f(), 当x∈(0，+∞)时，由f(x)f(:)→0<x+b→b≥0， 当∈(-o,0)时，由f(x)<f(x)→0<a→a<0, 若0若[合0则有)8）8-6， 取=-交>0→(G)=+h>h≥f3). 此时x<,但是f(:)>f(x),不符合“性质P”,所以b>0不符合题意， 故6=0此时f)= a,x≤0 x,x>0 >-1 若x>0,<0,x<-x时，则为 由f)<f)→xm→)a→a≤-1 若x<0,x>0,-x<5时，则名 由fx)<f(3)→m<→点<aa2-1, 因此a=-1, 综上所述：当且仅当a=-l,b=0时，满足条件： 3)证明：充分性：若f(x)具有“性质P”,则f(x)是偶函数： 若存在>0，f()≠f(-),不妨设f(x)>f(-), 记f()=M,f（-o)=m,即M>m, 因为函数f(x)的值域为[0，)， 所以0≤m<M<1, 若<xl,则有f(x<f(-x)=m, 若>，则有f(x)>f()=M, 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 放对任查xR:f(“e),这与/问的值球为Q)子后。 所以f()≠f(-)不成立，则有f()=f(-),因此函数f(x)是偶函数： 必要性：若∫(x)是偶函数，则f()具有“性质P” 当x<时，因为f(x)在[0，+∞)上是严格增函数， 所以f(x<f(). 又因为函数f(x)是偶函数， 所以由f)<f(:)→f()<f(),因此f(x)具有“性质P”, 所以f(x)是偶函数的充要条件是：f(x)具有“性质P” 5/5