《第一章三角形第五节等腰三角形（四）》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 分层设计清晰，A卷夯实基础，B卷强化综合，构建“定理理解-模型应用-综合迁移”的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷·基础过关|直角三角形斜边上中线定理及直接应用|基础计算（如已知斜边求中线）与简单证明（如等腰三角形判定）| |B卷·强化提优|定理逆命题、双直角模型及动态综合|动态滑动问题（木杆下滑）与跨知识点综合题（结合全等、动点）|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第五节等腰三角形（四）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解直角三角形斜边上中线性质定理的推导过程，牢固掌握定理内容以及对应的几何符号语言；掌握定理逆命题，能够判定直角三角形；可以利用定理完成线段长度、角度计算，能够解决双直角共斜边等综合证明问题；区分斜边中线定理与含30 ° 角直角三角形性质，规范完成几何证明书写 。 2.经历折纸猜想、逻辑证明、变式应用的完整探究流程；学会 “ 遇直角、遇斜边中点，连接斜边上中线 ” 的辅助线构造方法；体会转化思想，把直角三角形问题转化为等腰三角形问题求解；在综合题型中发展模型识别能力，提升演绎推理与规范书写能力 。 3.建立等腰三角形、直角三角形的知识关联，认识直角三角形斜边上中线分割原图得到两个等腰三角形；能够在复杂图形、动态图形当中主动识别斜边中线基本模型；发展几何直观、符号意识，学会从倍半线段关系逆向构造直角三角形模型 。 4.感受观察、猜想、证明的几何研究思路；养成步步有据、严谨完整的证明书写习惯；克服几何综合题的畏难心理，积累模型解题经验，提升几何学习自信心。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.核心定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记文字表述、几何语言，能够直接进行边长、角度计算 。 2.定理直接应用：已知斜边求中线、已知中线求斜边；利用得到的两个等腰三角形求解角度。 3.基础模型：共斜边的两个直角三角形模型，斜边中点到两个直角顶点距离相等。 4.定理逆命题：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，可以用来证明垂直、证明直角。 （二）难点 1.辅助线添加：题目给出直角、斜边中点，学生想不到主动连接斜边上的中线；部分题目没有直接中点，需要自己取斜边中点构造辅助线。 2.定理逆命题灵活运用：区分定理和逆命题的条件与结论，证明直角的时候能够主动使用逆命题完成推导。 3.综合压轴题型：斜边中线结合全等、动点、最值问题，图形线条复杂，需要挖掘隐藏直角、隐藏中点条件。 4.容易混淆两条直角三角形性质：斜边中线定理与30 ° 角直角三角形性质，两类定理条件完全不同，做题时常发生混用错误。 )三．知识清单 ( （一） 直角三角形斜边上中线的性质定理（核心必考） 把一张直角三角形纸片按如图所示的方法折叠，你有什么发现? 通过折叠我发现两条折痕 交于斜边上同一点。为什么？ 【解析】如图在Rt △ ABC中， ∠ ACB=90 ° ,作 ∠ BCD= ∠ B,CD与AB交于点D.由 ∠ BCD= ∠ B,可知DB=DC.由等角的余角相等，可得 ∠ ACD= ∠ A,于是DA=DC.从而DA=DB=DC,即CD是斜边 AB 上的中线,且CD= AB。 ) ( 【理论证明】 已知：在Rt △ ABC中， ∠ ACB = 90 ° ，CD为斜边AB上的中线。 求证：CD = AB。 证明:延长CD至E,使得CD=DE,连结AE. ∵ CD为斜边AB上的中线 ∴ AD=BD(中线分对边所成的两条线段相等) 在 △ ADE和 △ BDC中 ∴△ ADE ≌ △ BDC(SAS) ∴∠ EAD= ∠ CBA(全等三角形的对应角相等) AE=BC (全等三角形的对应边相等) ∵∠ ACB=90 ° ∴ ∠ CBA+ ∠ CAB=90 ° (直角三角形的两个锐角互余) ∵∠ CBA= ∠ EAD ∠ CBA+ ∠ CAB=90 ° ∴∠ EAC= ∠ EAD+ ∠ CAB=90 ° 在 △ CEA和 △ ABC中 ∴△ CEA ≌ △ ABC(SAS) ∴ CE=AB(全等三角形的对应边相等) ∵ CD=DE CD+DE=CE CE=AB ∴ CD= AB 1.直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.几何语言: ∵ 在 △ ABC中, ∠ ACB=90 ° ，CD是斜边AB边上的中线 ∴ CD= AB ) ( 3. 两条重要推论 （1） 推论 ① ：直角三角形斜边的中点，到三个顶点的距离当中，到两个直角顶点、斜边两端点距离满足AD=BD=CD；中线把直角三角形分成两个等腰三角形： △ ACD、 △ BCD均为等腰三角形。 （2） 推论 ② ：角度转化： ∠ A= ∠ ACD， ∠ B= ∠ BCD，可以直接用来计算角度。 4. 定理使用两大前提，缺一不可 （1） 三角形必须是直角三角形，存在一个内角等于90 ° ； （3） 这条中线一定是斜边上的中线，直角边上的中线没有这条性质！ （二） 定理的逆命题 1. 逆定理： 如果一个三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边就是斜边。 2. 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，D是AB中点，且CD= AB， ∴∠ ACB=90 ° ， ∴△ ABC为直角三角形。 3. 用途：不需要计算角度，直接用来证明某个角是直角、证明两条线段互相垂直。 4. 提醒：不能直接称 “ 逆定理 ” ，课本中将它作为定理的逆命题，可以直接用来解题。 （三） 两大经典几何模型 模型一：共斜边双直角模型 已知： ∠ ABC= ∠ ADC=90 ° ，点E为公共斜边AC中点，连接BE、DE。 结论：BE=DE= AC， △ BED为等腰三角形； 拓展结论：如果再取BD中点F，连接EF，可得EF ⊥ BD（等腰三角形三线合一）。 解题口诀：共斜边，取中点，连线相等出等腰。 模型二：滑动模型（木棍下滑、动态最值） 一根长杆两端分别沿着墙面、地面滑动，始终保持墙与地面垂直，杆的中点到墙角距离始终保持不变，长度等于杆长的一半。这类题型经常考察动态过程当中线段长度不变的定值问题。 （四） 辨析两条直角三角形核心性质（极易混淆） 1.直角三角形斜边上中线定理：只要是直角三角形，取斜边中点就成立，不需要特殊角度，结论：中线= 斜边；得到等腰三角形。 2.含30 ° 锐角的直角三角形性质：直角三角形当中必须存在一个30 ° 内角，结论：30 ° 角所对直角边= 斜边。 3. 核心区分：前者对象是中线线段；后者对象是直角边线段；条件完全不一样，做题禁止直接混用。 （五） 辅助线添加解题策略 1.看见直角 + 斜边已经给出中点：直接连接斜边中线，得到相等线段，转化等腰三角形解题。 2.看见直角，题目无中点：可以主动取斜边中点，构造斜边上中线作为辅助线。 3.题目出现一条线段等于另一条线段一半，想要证明直角：尝试使用逆命题，证明三角形为直角三角形。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90o，斜边AB=12，点D是AB中点，则CD的长为（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】：B 【解析】：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，CD=AB=×12=6。 2.三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】：C 【解析】：考查定理逆命题：若三角形一边上中线等于这边一半，则该三角形为直角三角形。 3.Rt△ABC，∠ACB=90o，D为斜边AB中点，若∠A=28o，则∠BCD的度数是（ ） A.28o B.52o C.62o D.72o 【答案】：C 【解析】：∵CD=AD，∴∠ACD=∠A=28o，∠BCD=90o-28o=62o。 4.下列说法正确的是（ ） A.直角三角形任意边上中线等于该边的一半 B.斜边上中线把直角三角形分成两个全等的等腰三角形 C.只有直角三角形才存在一边上中线等于边长一半 D.普通三角形，中点连线也可以使用斜边中线定理 【答案】：C 【解析】：A错误，只有斜边；B错误，不一定全等；D错误，定理仅限直角三角形。 5．如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5km，则M，C两点间的距离为（　　） A．2.5km B．3km C．4.5km D．5km 【答案】A 【解析】∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB， ∵AB＝5km，∴CM＝2.5（km），即M，C两点间的距离为2.5km，故选：A． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】∵AB＝AC＝8，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是中线， ∴AE＝CE，∴DE＝AC＝×8＝4，故选：B． 7.如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是(　　) A.逐渐变大　　　　B.不断变小 C.不变　　　　 D.先变大再变小 【答案】C　 【解析】∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP=AB.∵木杆AB的长是定值,∴OP的长度不变.故选C. 8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4 【答案】C　 【解析】∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵E为AC的中点, ∴DE=AC=5.故选C. 9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC,E为垂足,AC=AB,则图中为60°的角有(　　) A.2个　　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　　D.5个 【答案】D　 【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,∴∠B=30°.∵D是AB的中点,∴BD=CD=AD, ∴∠DCB=∠B=30°.∴∠ACD=90°-30°=60°,∴△ACD为等边三角形.∵DE⊥BC于E, ∴∠BDE=∠CDE=60°,∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°.故选D. 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰Rt△；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中始终正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【解】　先证明出△PCF≌△PAE(或△APF≌△BPE)，可得①②④正确，故选B. 二．填空题（共30分） 11.直角三角形斜边上中线为6，斜边上高是4，该三角形面积=________。 【答案】：24 【解析】：斜边=12，S=×12×4=24。 12．如图，在中，斜边上的中线CD=5，则　 　． 【答案】10 【解析】∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5，∴AB=2CD=10. 故答案为：10. 13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝2，则AD＝　 　． 【答案】2 【解析】∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB，∵AD=AB，∴AD= CD= 2，故答案为：2. 14．如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点，若，则　 　． 【答案】10 【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点． ∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，∴AC=10；故答案为：10． 15.如图，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，D是OP的中点，则DA与DB的数量关系是____________． 【答案】DA=DB 【解析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。我们可以通过连接 DA、DB，利用这个性质来证明 DA 和 DB 的数量关系。 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′．若∠B＝50°，则∠ACB′＝____． 【答案】10° 【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°．∵CD是AB边上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°．由折叠可知∠B′CD＝∠BCD＝50°， ∴∠ACB′＝∠B′CD－∠DCA＝10°． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC中点，连结DE，△CDE的周长为____．． 【答案】14 【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14. 18．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　　． 【答案】90° 【解析】连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC， ∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°． 19．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是　 　. 【答案】13 【解析】在Rt△BCE和Rt△BCF中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM= BC=4，FM= BC=4，又因EF=5，所以△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13. 故答案为：13. 20.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是　　　　.  【答案】4 【解析】　如图,连结AF.∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,∴∠AFC=90°,∵E是AC的中点,EF=2,∴AC=2EF=4. 三．解答题（共60分） 21.如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高线，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点． 求证：(1)△MDE是等腰三角形． (2)MN⊥DE． 解:(1)∵AD，BE分别为边BC，AC上的高线，∴△ABD，△ABE均为直角三角形． ∵M是Rt△ABD斜边AB的中点，∴MD＝AB．同理，ME＝AB．∴ME＝MD．∴△MDE是等腰三角形．(2)∵ME＝MD，N是DE的中点，∴MN⊥DE 21．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证： (1)G是CE的中点． (2)∠B＝2∠BCE． 解:(1)连结DE．∵AD是高线，∴△ABD是直角三角形．∵CE是AB边上的中线， ∴DE是Rt△ABD斜边上的中线．∴DE＝BE＝AE．∵DC＝BE，∴DE＝DC．又∵DG⊥CE，∴CG＝EG，即G是CE的中点． (2)∵DE＝BE，∴∠B＝∠BDE．∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE．∵∠BDE是△DCE的一个外角，∴∠BDE＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE．∴∠B＝2∠BCE． 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是边AB的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB． (1)求证：∠1＝∠2． (2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连结AE，BE．求证：CM＝EM． 解:　(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＋∠ACH＝90°．∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠CAH＝∠BCH．∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM，∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，即∠1＝∠2．(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，∴∠1＝∠MED．∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM． 23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF. （1）求证:EF=CF; （2）若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离. 解：(1)证明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∵点F是线段AD的中点,∴EF=AD,CF=AD, ∴EF=CF. （2）如图,连接CE；由(1)得EF=AF=CF=AD=3,∴∠FEA=∠FAE,∠FCA=∠FAC, ∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°,∴△EFC是等边三角形, ∴CE=EF=3,∴C,E两点间的距离是3. 24．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 解：（1）证明：连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点， ∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF； （2）证明：∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF． 25.解答下列各题. (1)如图1,点P是∠AOB内部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点.求证:∠MDN=2∠MON; (2)如图2,若P是∠AOB外部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点,∠MDN与∠MON之间有何数量关系?并说明理由. 　 图1 图2 解:(1)证明:∵PM⊥OA,∴∠OMP=90°,在Rt△OMP中,D是OP的中点,∴DM=DO=OP, ∴∠DMO=∠DOM,∴∠MDP=2∠MOP,同理可得,∠NDP=2∠NOP,∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MOP+2∠NOP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON. (2)∠MDN=2∠MON.理由如下:∵PM⊥OA,∴∠OMP=90°,在Rt△OMP中,D是OP的中点,∴DM=DO=OP,∴∠DMO=∠DOM,∴∠MDP=2∠MOP,同理可得,∠NDP=2∠NOP, ∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠NOP-2∠MOP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON 26．如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC． （1）求证CN⊥AB． （2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　　°． 解：（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点，∴BD＝CD＝DM＝BC，∵DN＝BC， ∴DM＝DN＝BD＝CD，∴∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，∵∠NBD+∠BNC+∠NCD＝180°， ∴2∠BND+2∠CND＝180°，∴∠BND+∠CND＝90°，即∠CNB＝90°，∴CN⊥AB； （2）∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠BMC＝90°，∵D为BC的中点，∴DN＝BD，DM＝CD， ∴∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，∴∠BND+∠DMC＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝125°，∴∠AND+∠AMD＝360°﹣125°＝235°，∴∠MDN＝360°﹣∠A﹣∠AND﹣∠AMD＝70°，故答案为：70． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，E为AC中点，连接DE，则DE＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，点E为AC中点，∴DE=AC=5，故答案为：C． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的中线，下列结论正确的是（　　） A．CD⊥AB B．CD＝BC C．BD＝CD D．∠ACD＝∠BCD 【答案】C 【解析】如图所示：A、不一定得到CD⊥AB，选项不符合题意；B、不一定得到CD=BC，选项不符合题意；C、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，选项符合题意；D、不一定得出∠ACD=∠BCD，选项不符合题意；故答案为：C． 3．如图，木杆斜靠在墙壁上，是的中点，当木杆的上端沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端也随之沿着射线方向滑动，则下滑过程中的长度变化情况是（　　） A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小 【答案】C 【解析】∵是的中点，∠AOB=90°，∴OP是Rt△AOB斜边中线，∴OP=AB，∵AB的长固定，∴OP的长度不变，故答案为： C． 4.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( ) A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C 【解析】我们看到这是一个直角三角形纸片的折叠过程。在折叠过程中，我们关注到 DA、DB 都与 DC 重合。因为 DA、DB 都与 DC 重合，根据重合的线段长度相等，所以 DA = DB = DC。在这个直角三角形中，DC 是斜边 AB 上的中线，而 DC=1/2AB，这就说明了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 5.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,连结BE,ED,BD,若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为(　　) A.29°　　　　B.32°　　　　C.45°　　　　D.64° 【答案】B　 【解析】∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=AE=AC, ∴∠DAE=∠ADE,∠EAB=∠ABE,DE=BE,∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE,∠BEC=∠EAB+∠ABE=2∠EAB,∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠EAB=2∠BAD=116°,∵DE=BE,∴∠EBD=∠EDB=32°,故选B. 6．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD的度数为（ ） A． 35° B． 55° C． 75° D． 65° 【答案】B 【解析】∵CD是Rt△ABC的斜边上的中线，:.CD=DA,∴∠A=∠DCA=35°,∠ACB= 90°, ∠BCD=90°-35°=55°.故选B 7. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端B沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如右图，连接 OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以 OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以0为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线，故选D. 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，给出下列结论：①AD＝DC＝DB；②∠A＝∠1，∠B＝∠2；③CD＝BD＝CB；④∠CDB＝2∠1.其中正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【答案】C 【解析】∵∠ACB =90°，D是AB的中点，∴.AD=DC=DB=1/2AB,故①正确;∵AD=DC，:.∠A=∠1,∵DC=DB,:.ZB=∠2,故②正确;.当∠B =60°时，CD=BD=CB，而题中并没有这一条件，CD=BD=CB不一定成立，故③错误;∠CDB=∠A+∠1，且∠A =∠1，∠CDB=2∠1，故 ④正确，故选C. 9．在中，点是斜边上的中点，连接．若，则（　　）． A．22° B．68° C．96° D．112° 【答案】B 【解析】∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点， ∴，∴，故B符合题意．故答案为：B． 10．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　） A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90 【答案】B 【解析】：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵点F是AB的中点， ∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，∴y＝﹣x+90，故选：B． 二．填空题（共30分） 11.已知△ABC，点O为AB中点，OC=AB，则∠ACB=______o。 【答案】：90 【解析】：逆命题直接判定△ABC是直角三角形，∠ACB=90o。 12．如图，在中，斜边上的中线CD=5，则　 　． 【答案】10 【解析】∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5，∴AB=2CD=10.故答案为：10. 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是________. 【答案】2.5 【解析】∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD=AB，又∵CD+AB=7.5， ∴3CD=7.5，∴CD=2.5 14．在中，点是斜边上的中点，连接．若，则__． 【答案】68° 【解析】∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点， ∴，∴， 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E为AB的中点，AD，CE交于点F，且AD＝BD.若∠B＝20°，则∠DFE的度数为____________． 【答案】60° 【解析】∵AD=BD, ∠B=∠BAD =20°,∠ADC= ∠B+∠BAD =40°,:∠ACB=90°，E为AB的中点， AE = BE= EC,:.∠B= E∠CB = 20°,∠DFE=∠ADC +∠ECB = 60°。 16．如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点，若，则　 　． 【答案】10 【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点． ∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，∴AC=10；故答案为：10． 17．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角点处有一只猫紧紧盯住位于梯子正中间点处的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离将　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】不变 【解析】如图，连接OP，根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点，则OP是直角△AOB斜边上的中线，则OP＝AB，由于AB的长度不变，则OP的长度不变．故答案为：不变． 18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过点D作DF⊥BC交BA的延长线于点F,连结AD,CF.若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的度数为(　　) 【答案】77°　 【解析】如图,取CF的中点连结DT,AT,∵∠BAC=90°,FD⊥BC,∴∠CAF=∠CDF=90°, ∴AT=DT=1/2CF=TC,∴∠TDA=∠TAD,∠TDC=∠TCD,∵∠ADB=45°,∴∠ADT+∠TDC=135°, ∴∠ATC=360°-2×135°=90°,∵CT=TF,∴AC=AF,∴∠AFT=45°, ∴∠BFD=45°-32°=13°,∵∠BDF=90°,∴∠B=90°-∠BFD=77°. 19．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　　． 【答案】96° 【解析】∵CE⊥BA，∠B＝42°，∴∠BCE＝48°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°，故答案为：96°． 20．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝30°，∠DAC＝45°，E是AC的中点，连结BE，DE，BD，F是BD的中点．∠BEF=　　． 【答案】75° 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝EC＝AC，ED＝EC＝AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴BE＝ED.又∵在△ADC中，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝45°.∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC＝45°，∴∠AED＝∠ACD＋∠EDC＝90°.同理，∠AEB＝∠ACB＋∠CBE＝60°.∴∠BED＝90°＋60°＝150°.又∵BE＝ED，F是BC的中点，∴∠BEF＝∠BED＝75°(等腰三角形三线合一)． 三．解答题（共60分） 21.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,G为CE的中点,连结DG,CD=AE. （1）求证:DG⊥CE; （2）已知∠AEC=69°,求∠ECB的度数. 解:(1)证明:连结DE,如图,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=90°,∵点E是AB的中点,∴DE=AE=AB,∵CD=AE,∴DE=CD,∵G为CE中点,∴DG⊥CE. (2)∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC,∴∠EDB=∠DCE+∠DEC=2∠DCE,∵∠ADB=90°,点E是AB的中点,∴BE=DE=AB,∴∠B=∠EDB=2∠DCE,∵∠AEC=∠B+∠DCE,∠AEC=69°, ∴3∠DCE=69°,∴∠DCE=23°,即∠ECB的度数为23°. 22．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）若∠A＝60°，DE＝m，求BC的长．（用含有m的代数式表示） 解:（1）证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点，∴， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵在△ABC中，∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵，，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∴∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∠CFD＝180°﹣2∠ACB，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE﹣∠CFD＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝m，∴BC＝2EF＝2m． 23．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 解:（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点， ∴DE＝AB，CE＝AB，∴DE＝CE； （2）在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°， ∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，CE＝AB＝BE，∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°． 24．如图，在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME＝MD； （2）若∠A＝45°，求∠EDM的度数． 解:（1）证明：∵CE、BD分别是AB、AC边上的高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵M是BC的中点，∴EM＝BC，DM＝BC，∴ME＝MD； （2）∵∠A＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，∵EM＝BM，DM＝CM，∴∠BEM＝∠ABC，∠MDC＝∠ACB，∴∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC＝135°×2＝270°，∴∠EMD+∠DMC＝180°×2﹣270°＝90°，∵ME＝MD，∴∠EDM＝45°． 25．已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由． 解:（1）证明：如图，连接DN，EN，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，N是BC的中点，∴DN＝BC，EN＝BC，∴DN＝EN，又∵M为DE中点，∴MN⊥DE； （2）∠DNE＝180°﹣2∠A，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DN＝EN＝BN＝NC，∴∠BND+∠CNE＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DNE＝180°﹣2∠A． 26.如图1，已知△ABC为直角三角形，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD． （1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由； （2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数； （3）如果将题中“在BC的延长线上取一点D“改为“在CB的延长线上取一点D”，其余条件不变．如图2所示，若∠AED＝165°，请求出∠BAC的度数． 解：（1）CM垂直平分ED，理由如下：如图1，连接CE，∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE，∵CD＝AB，∴CE＝CD，∵M为ED的中点，∴CM垂直平分ED； （2）∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，∴BE＝CE＝AB，∴∠B＝∠ECB，∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠DEC，∴∠ECB＝∠DEC+∠CDE＝2∠CDE，∴∠B＝2∠CDE，∵∠AED＝∠B+∠CDE，∴∠AED＝3∠CDE，∵∠AED＝105°，∴∠CDE＝35°，∴∠B＝70°，∵∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； （3）如图2，连接CE，∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE，BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB，∵CD＝AB，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠DEC，∵∠AED＝165°， ∴∠BED＝180°﹣165°＝15°，∵∠EBC＝∠CDE+∠BED，∠EBC＝∠ECB＝∠CDE+15°， ∵∠AED＝∠CDE+∠DBE，∠DBE＝∠ECB+∠CEB，∴∠AED＝∠CDE+∠ECB+∠CEB， ∵∠CEB＝∠CED﹣∠BED，∴∠CEB＝∠CDE﹣15°，∴∠AED＝∠CDE+∠CDE+15°+∠CDE﹣15°＝3∠CDE，∴∠CDE＝55°，∴∠EBC＝55°+15°＝70°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第五节等腰三角形（四）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解直角三角形斜边上中线性质定理的推导过程，牢固掌握定理内容以及对应的几何符号语言；掌握定理逆命题，能够判定直角三角形；可以利用定理完成线段长度、角度计算，能够解决双直角共斜边等综合证明问题；区分斜边中线定理与含30 ° 角直角三角形性质，规范完成几何证明书写 。 2.经历折纸猜想、逻辑证明、变式应用的完整探究流程；学会 “ 遇直角、遇斜边中点，连接斜边上中线 ” 的辅助线构造方法；体会转化思想，把直角三角形问题转化为等腰三角形问题求解；在综合题型中发展模型识别能力，提升演绎推理与规范书写能力 。 3.建立等腰三角形、直角三角形的知识关联，认识直角三角形斜边上中线分割原图得到两个等腰三角形；能够在复杂图形、动态图形当中主动识别斜边中线基本模型；发展几何直观、符号意识，学会从倍半线段关系逆向构造直角三角形模型 。 4.感受观察、猜想、证明的几何研究思路；养成步步有据、严谨完整的证明书写习惯；克服几何综合题的畏难心理，积累模型解题经验，提升几何学习自信心。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.核心定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记文字表述、几何语言，能够直接进行边长、角度计算 。 2.定理直接应用：已知斜边求中线、已知中线求斜边；利用得到的两个等腰三角形求解角度。 3.基础模型：共斜边的两个直角三角形模型，斜边中点到两个直角顶点距离相等。 4.定理逆命题：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，可以用来证明垂直、证明直角。 （二）难点 1.辅助线添加：题目给出直角、斜边中点，学生想不到主动连接斜边上的中线；部分题目没有直接中点，需要自己取斜边中点构造辅助线。 2.定理逆命题灵活运用：区分定理和逆命题的条件与结论，证明直角的时候能够主动使用逆命题完成推导。 3.综合压轴题型：斜边中线结合全等、动点、最值问题，图形线条复杂，需要挖掘隐藏直角、隐藏中点条件。 4.容易混淆两条直角三角形性质：斜边中线定理与30 ° 角直角三角形性质，两类定理条件完全不同，做题时常发生混用错误。 )三．知识清单 ( （一） 直角三角形斜边上中线的性质定理（核心必考） 把一张直角三角形纸片按如图所示的方法折叠，你有什么发现? 通过折叠我发现两条折痕 交于斜边上同一点。为什么？ ) ( 【理论证明】 已知：在Rt △ ABC中， ∠ ACB = 90 ° ，CD为斜边AB上的中线。 求证：CD = AB。 证明: 1.直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.几何语言: ∵ 在 △ ABC中, ∠ ACB=90 ° ，CD是斜边AB边上的中线 ∴ CD= AB ) ( 3. 两条重要推论 （1） 推论 ① ：直角三角形斜边的中点，到三个顶点的距离当中，到两个直角顶点、斜边两端点距离满足AD=BD=CD；中线把直角三角形分成两个等腰三角形： △ ACD、 △ BCD均为等腰三角形。 （2） 推论 ② ：角度转化： ∠ A= ∠ ACD， ∠ B= ∠ BCD，可以直接用来计算角度。 4. 定理使用两大前提，缺一不可 （1） 三角形必须是直角三角形，存在一个内角等于90 ° ； （3） 这条中线一定是斜边上的中线，直角边上的中线没有这条性质！ （二） 定理的逆命题 1. 逆定理： 如果一个三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边就是斜边。 2. 几何语言： ∵ 在 △ ABC中，D是AB中点，且CD= AB， ∴∠ ACB=90 ° ， ∴△ ABC为直角三角形。 3. 用途：不需要计算角度，直接用来证明某个角是直角、证明两条线段互相垂直。 4. 提醒：不能直接称 “ 逆定理 ” ，课本中将它作为定理的逆命题，可以直接用来解题。 （三） 两大经典几何模型 模型一：共斜边双直角模型 已知： ∠ ABC= ∠ ADC=90 ° ，点E为公共斜边AC中点，连接BE、DE。 结论：BE=DE= AC， △ BED为等腰三角形； 拓展结论：如果再取BD中点F，连接EF，可得EF ⊥ BD（等腰三角形三线合一）。 解题口诀：共斜边，取中点，连线相等出等腰。 模型二：滑动模型（木棍下滑、动态最值） 一根长杆两端分别沿着墙面、地面滑动，始终保持墙与地面垂直，杆的中点到墙角距离始终保持不变，长度等于杆长的一半。这类题型经常考察动态过程当中线段长度不变的定值问题。 （四） 辨析两条直角三角形核心性质（极易混淆） 1.直角三角形斜边上中线定理：只要是直角三角形，取斜边中点就成立，不需要特殊角度，结论：中线= 斜边；得到等腰三角形。 2.含30 ° 锐角的直角三角形性质：直角三角形当中必须存在一个30 ° 内角，结论：30 ° 角所对直角边= 斜边。 3. 核心区分：前者对象是中线线段；后者对象是直角边线段；条件完全不一样，做题禁止直接混用。 （五） 辅助线添加解题策略 1.看见直角 + 斜边已经给出中点：直接连接斜边中线，得到相等线段，转化等腰三角形解题。 2.看见直角，题目无中点：可以主动取斜边中点，构造斜边上中线作为辅助线。 3.题目出现一条线段等于另一条线段一半，想要证明直角：尝试使用逆命题，证明三角形为直角三角形。 )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90o，斜边AB=12，点D是AB中点，则CD的长为（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 2.三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3.Rt△ABC，∠ACB=90o，D为斜边AB中点，若∠A=28o，则∠BCD的度数是（ ） A.28o B.52o C.62o D.72o 4.下列说法正确的是（ ） A.直角三角形任意边上中线等于该边的一半 B.斜边上中线把直角三角形分成两个全等的等腰三角形 C.只有直角三角形才存在一边上中线等于边长一半 D.普通三角形，中点连线也可以使用斜边中线定理 5．如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为5km，则M，C两点间的距离为（　　） A．2.5km B．3km C．4.5km D．5km 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7.如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是(　　) A.逐渐变大　　　　B.不断变小 C.不变　　　　 D.先变大再变小 8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4 9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC,E为垂足,AC=AB,则图中为60°的角有(　　) A.2个　　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　　D.5个 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰Rt△；③EF＝AP；④S四边形AEPF＝S△ABC.当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，上述结论中始终正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共30分） 11.直角三角形斜边上中线为6，斜边上高是4，该三角形面积=________。 12．如图，在中，斜边上的中线CD=5，则　 　． 13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝2，则AD＝　 　． 14．如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点，若，则　 　． 15.如图，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，D是OP的中点，则DA与DB的数量关系是____________． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′．若∠B＝50°，则∠ACB′＝____． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC中点，连结DE，△CDE的周长为____．． 18．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　　． 19．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是　 　. 20.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是　　　　.  三．解答题（共60分） 21.如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高线，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点． 求证：(1)△MDE是等腰三角形． (2)MN⊥DE． 22.如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G． 求证：(1)G是CE的中点． (2)∠B＝2∠BCE． 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是边AB的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB． (1)求证：∠1＝∠2． (2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连结AE，BE．求证：CM＝EM． 24.如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF. （1）求证:EF=CF; （2）若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离. 25．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 26．如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN＝BC． （1）求证CN⊥AB． （2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　　°． 27.解答下列各题. (1)如图1,点P是∠AOB内部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点.求证:∠MDN=2∠MON; (2)如图2,若P是∠AOB外部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点,∠MDN与∠MON之间有何数量关系?并说明理由. 　 图1 图2 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，E为AC中点，连接DE，则DE＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的中线，下列结论正确的是（　　） A．CD⊥AB B．CD＝BC C．BD＝CD D．∠ACD＝∠BCD 3．如图，木杆斜靠在墙壁上，是的中点，当木杆的上端沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端也随之沿着射线方向滑动，则下滑过程中的长度变化情况是（　　） A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小 4.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( ) A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 5.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,连结BE,ED,BD,若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为(　　) A.29°　　　　B.32°　　　　C.45°　　　　D.64° 6．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD的度数为（ ） A． 35° B． 55° C． 75° D． 65° 7. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端B沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，正确的是( ) A. B. C. D. 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，给出下列结论：①AD＝DC＝DB；②∠A＝∠1，∠B＝∠2；③CD＝BD＝CB；④∠CDB＝2∠1.其中正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 9．在中，点是斜边上的中点，连接．若，则（　　）． A．22° B．68° C．96° D．112° 10．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　） A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90 二．填空题（共30分） 11.已知△ABC，点O为AB中点，OC=AB，则∠ACB=______o。 12．如图，在中，斜边上的中线CD=5，则　 　． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是________. 14．在中，点是斜边上的中点，连接．若，则__． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E为AB的中点，AD，CE交于点F，且AD＝BD.若∠B＝20°，则∠DFE的度数为____________． 16．如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点，若，则　 　． 17．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角点处有一只猫紧紧盯住位于梯子正中间点处的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离将　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）． 18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过点D作DF⊥BC交BA的延长线于点F,连结AD,CF.若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的度数为(　　) 19．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为　　． 20．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝30°，∠DAC＝45°，E是AC的中点，连结BE，DE，BD，F是BD的中点．∠BEF=　　． 三．解答题（共60分） 21.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,G为CE的中点,连结DG,CD=AE. （1）求证:DG⊥CE; （2）已知∠AEC=69°,求∠ECB的度数. 22．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）若∠A＝60°，DE＝m，求BC的长．（用含有m的代数式表示） 23．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点． （1）求证：DE＝CE； （2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC． 24．如图在△ABC中，CE、BD分别是AB、AC边上的高线，M是BC的中点，连结DE、EM、MD． （1）求证：ME＝MD； （2）若∠A＝45°，求∠EDM的度数． 25．已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由． 26.如图1，已知△ABC为直角三角形，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD． （1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由； （2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数； （3）如果将题中“在BC的延长线上取一点D“改为“在CB的延长线上取一点D”，其余条件不变．如图2所示，若∠AED＝165°，请求出∠BAC的度数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $