《第一章三角形第三节全等三角形的判定（四）--HL》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦HL判定的分层特训卷，A卷夯实基础（如选择3题补全HL条件），B卷深化能力（如解答25题动态图形全等推理），通过公共斜边/直角边模型等培养推理能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|20题/60分|HL适用前提（如A卷1题）、判定区分（如B卷5题）|结合网格图形（A卷13题）考直角识别| |填空题|20题/60分|隐含条件挖掘（如A卷11题添条件）、规范书写（A卷15题作图原理）|公共边模型（A卷14题AC⊥BD证全等）| |解答题|12题/120分|HL证明步骤（A卷21题尺规作图）、综合推理（B卷26题分类探究）|动态情境（A卷22题P点运动）与跨知识整合（B卷25题图形平移）|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第三节全等三角形的判定（四）--HL》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解HL判定的适用前提：只针对直角三角形，分清斜边、直角边概念；区分HL与SSS、SAS、ASA、AAS的适用范围，明白HL是直角三角形特有的全等判定方法。 2.能够运用HL证明两个直角三角形全等；会挖掘图形隐含条件：公共斜边、公共直角边；可以结合全等进一步推导线段相等、角相等；掌握直角三角形证明题规范书写格式。 3.能在组合图形、翻折图形、网格图形中识别直角三角形，找准斜边与对应的直角边；能够区分普通三角形和直角三角形，判断能不能使用HL进行判定。 4.掌握公共斜边模型、公共直角边模型；建立 “ 找直角 → 找斜边、直角边 → 证Rt △ 全等 → 推导边角 ” 的解题链条；能对比五种全等判定，根据条件灵活选择合适判定方法。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.HL（斜边、直角边）判定的内容； 2.利用HL证明直角三角形全等，规范书写证明过程； 3.斜边、直角边的识别，挖掘公共斜边、公共直角边等隐含条件。 （二）难点 1.HL只能用于直角三角形，普通三角形不能使用HL判定全等； 2.区分 “ 斜边 ” 与 “ 直角边 ” ，找对两组对应相等的边； 3.一个题目中既有普通三角形，又有直角三角形，正确选择判定定理； 4.证明格式必须写明 “ \text{Rt}\triangle ” ，容易遗漏直角条件，直接写HL。 )三．知识清单 ( （一） HL全等判定 1.定理内容： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为斜边、直角边或HL。 2.重要前提：两个三角形必须是直角三角形。 3. 几何语言 ： 在Rt △ ABC和Rt △ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C＝ ∠ C ′ ＝90 ° ，如果 ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A ′ B ′ C ′ （HL）． （二） 直角三角形全等全部判定方法 1. 直角三角形既可以用普通三角形的4种判定：SSS、SAS、ASA、AAS；还可以使用专属判定：HL。 2. HL只需要2组边条件（斜边+一条直角边），不需要角条件，但是必须保证是直角三角形。 （三）HL常见隐含条件 1.公共斜边：两个直角三角形共用同一条斜边，斜边直接相等； 2.公共直角边：两个直角三角形共用一条直角边，该直角边直接相等； 3.垂直条件：题目给出XX ⊥ XX ， ∠ X=90 o 等，用来说明是直角三角形； 4.线段等量加、等量减，转化得到斜边或者直角边相等。 ) ( （四） HL证明全等标准步骤 1. 说明直角：写明两个三角形是直角三角形（标出垂直、90 o ； 2. 指明对象：写出 “ 在R t △ XXX 和R t △ XXX 中 ” ； 3. 大括号列出：斜边对应相等，一组直角边对应相等； 4. 得出全等结论，标注依据(HL)； 5. 拓展推导：由全等得到对应边相等、对应角相等。 （五） 高频易错汇总 1.普通非直角三角形，乱用HL判定全等； 2.分不清斜边和直角边，拿两条直角边去套用HL（两条直角边相等应该用SAS）； 3.书写证明的时候不写R t △ XXX ，直接写 △ XXX ≌ △ XXX (HL)； 4.漏掉直角条件，没有说明两个三角形是直角三角形，直接使用HL； 5.混淆：HL是 “ 斜边+一条直角边 ” ，不是 “ 斜边+任意一条边 ” 。 （六） 辨析小提示 1. 已知两个直角三角形：斜边、一条直角边相等 ⇒ HL； 2. 已知两个直角三角形：两条直角边相等 ⇒ SAS； 3. 普通三角形没有HL，不要记混。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．两个锐角分别相等的两个直角三角形（　　）全等． A．不一定 B．一定不 C．一定 D．以上都不对 2．如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A．145° B．130° C．110° D．70° 3．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　） A．∠A＝∠B B．∠C＝∠D C．AC＝BE D．AD＝BF 4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 5．如图，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB＝PC，则△APB≌△APC的理由是（　　） A．SAS B．ASA C．HL D．AAS 6．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.如图，在四边形ABCD中∠A＝∠C＝90°，AB＝CD＜AD，则下列说法中不正确的是( ) A.AD∥BC B.BC＝CD C.AD＝BC D.AB∥CD 8.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=8，BD=3，则DE的长是( ) A.7 B.5 C.3 D.2 9．如图所示，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10.如图CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AF=BE,且AC=BD,则下列结论不一定正确的是（ ） ​ A.AC‖BD B.∠C+∠B=90o C.∠A=∠D D. Rt△ACE≌Rt△BDF 二．填空题（共30分） 11．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：　　 （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等． 12.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC上一点,连接BE,过点E作DE⊥AB,垂足为D,BD=BC,若AC=6,则AE+DE的值为__________ 13.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C,D均在格点(小正方形的顶点)上,则∠ACD+∠BDC=　°.  14．如图所示，已知AC⊥BD，BC＝EC，AB＝DE，则∠B＋∠D＝________°. 15．小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角尺，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上(如图)分别取点M，N，使OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.其中运用的数学道理是________________________________________________________________________． 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝5 cm，CE＝3 cm，则DE＝________ cm. 17.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=　 时,△ABC与△APQ全等.  18．如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，则图中有________对全等的直角三角形． 19.如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是_____． 20.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是__________. 三．解答题（共60分） 21.已知Rt△ABC，求作Rt△A'B'C'，使AB＝A'B'，AC＝A'C'. 22.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，PQ＝AB，点P，Q分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等． 23.证明命题“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证. 已知:在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD,A'D'分别为BC与B'C'边上的中线且　 . 求证:　　　　　　　　　　　 .  请补全已知和求证部分,并写出证明过程. 24．如图已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB. (1)图中还有几对全等三角形？请你一一列举； (2)求证：CF＝EF. 25.已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA， （1）求证：△BEC≌△DEA； （2）求证：BC⊥FD． 26.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. （1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC； （2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 图1 图2 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列结论不正确的是（　　） A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形角形全等 C．一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2.如图，AD⊥AB，CB⊥AB，AD＝BC，则Rt△ABD与Rt△BAC全等的依据是（ ） A.HL B.ASA C.SAS D.AAS 3.如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E,F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是( ) A.EC=FA B.DC=BA C.∠D=∠B D.∠DCE=∠BAF 4.如图，小敏用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，其作图原理是：△OMP≌△ONP，这样就有∠AOP＝∠BOP，则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 5.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 6.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ） A. AE=DF B. ∠A=∠D C. ∠B= ∠C D. AB=DC 7.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为 D，E，且 PD=PE，则 △APD 与 △APE 全等的理由是 （ ）   A.HL B． AAS C． SSS D． SAS 8．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定△ACB≌△ADB的合适条件是( ) A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 9．如图所示，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共30分） 11．下列结论中，正确的是 　 　． ①在Rt△ABC中，两个锐角互余；②有一个角和一条边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；④所有的直角三角形都全等． 12．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC＝BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是　　． 13．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝　　度． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝5 cm，CE＝3 cm，则DE＝________ cm. 15．如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，则图中有________对全等的直角三角形． 16.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则△ABC≌△DEF，理由是______． 17.如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是_____． 18.如图,已知E为AC上一点,BC⊥CA,ED⊥AB,垂足分别为C,D,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于________. 19.如图，AC⊥BD 于点 P，AP=CP，增加下列一个条件：① BP=DP；② AB=CD；③ ∠A=∠C．其中能判定 △ABP≌△CDP 的条件有__________.  20. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 三．解答题（共60分） 21.如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 22.如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF． 求证：（1）△ABC≌△EDF； （2）AB∥DE． 23.已知：如图，AD、BC 相交于点 O，且 AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. （1）求证：Rt△ABC≌Rt△BAD； （2）求证：CO＝DO. 24.如图10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数． 25．(1) 如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG． (2) 若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立? 请说明理由． 26.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，Rt△ABC≌Rt△DEF. (1)如图12①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第三节全等三角形的判定（四）--HL》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解HL判定的适用前提：只针对直角三角形，分清斜边、直角边概念；区分HL与SSS、SAS、ASA、AAS的适用范围，明白HL是直角三角形特有的全等判定方法。 2.能够运用HL证明两个直角三角形全等；会挖掘图形隐含条件：公共斜边、公共直角边；可以结合全等进一步推导线段相等、角相等；掌握直角三角形证明题规范书写格式。 3.能在组合图形、翻折图形、网格图形中识别直角三角形，找准斜边与对应的直角边；能够区分普通三角形和直角三角形，判断能不能使用HL进行判定。 4.掌握公共斜边模型、公共直角边模型；建立 “ 找直角 → 找斜边、直角边 → 证Rt △ 全等 → 推导边角 ” 的解题链条；能对比五种全等判定，根据条件灵活选择合适判定方法。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.HL（斜边、直角边）判定的内容； 2.利用HL证明直角三角形全等，规范书写证明过程； 3.斜边、直角边的识别，挖掘公共斜边、公共直角边等隐含条件。 （二）难点 1.HL只能用于直角三角形，普通三角形不能使用HL判定全等； 2.区分 “ 斜边 ” 与 “ 直角边 ” ，找对两组对应相等的边； 3.一个题目中既有普通三角形，又有直角三角形，正确选择判定定理； 4.证明格式必须写明 “ \text{Rt}\triangle ” ，容易遗漏直角条件，直接写HL。 )三．知识清单 ( （一） HL全等判定 1.定理内容： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为斜边、直角边或HL。 2.重要前提：两个三角形必须是直角三角形。 3. 几何语言 ： 在Rt △ ABC和Rt △ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C＝ ∠ C ′ ＝90 ° ，如果 ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A ′ B ′ C ′ （HL）． （二） 直角三角形全等全部判定方法 1. 直角三角形既可以用普通三角形的4种判定：SSS、SAS、ASA、AAS；还可以使用专属判定：HL。 2. HL只需要2组边条件（斜边+一条直角边），不需要角条件，但是必须保证是直角三角形。 （三）HL常见隐含条件 1.公共斜边：两个直角三角形共用同一条斜边，斜边直接相等； 2.公共直角边：两个直角三角形共用一条直角边，该直角边直接相等； 3.垂直条件：题目给出XX ⊥ XX ， ∠ X=90 o 等，用来说明是直角三角形； 4.线段等量加、等量减，转化得到斜边或者直角边相等。 ) ( （四） HL证明全等标准步骤 1. 说明直角：写明两个三角形是直角三角形（标出垂直、90 o ； 2. 指明对象：写出 “ 在R t △ XXX 和R t △ XXX 中 ” ； 3. 大括号列出：斜边对应相等，一组直角边对应相等； 4. 得出全等结论，标注依据(HL)； 5. 拓展推导：由全等得到对应边相等、对应角相等。 （五） 高频易错汇总 1.普通非直角三角形，乱用HL判定全等； 2.分不清斜边和直角边，拿两条直角边去套用HL（两条直角边相等应该用SAS）； 3.书写证明的时候不写R t △ XXX ，直接写 △ XXX ≌ △ XXX (HL)； 4.漏掉直角条件，没有说明两个三角形是直角三角形，直接使用HL； 5.混淆：HL是 “ 斜边+一条直角边 ” ，不是 “ 斜边+任意一条边 ” 。 （六） 辨析小提示 1. 已知两个直角三角形：斜边、一条直角边相等 ⇒ HL； 2. 已知两个直角三角形：两条直角边相等 ⇒ SAS； 3. 普通三角形没有HL，不要记混。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．两个锐角分别相等的两个直角三角形（　　）全等． A．不一定 B．一定不 C．一定 D．以上都不对 【答案】A 【解析】由三个角分别相等的两个三角形不一定全等，得两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故选：A． 2．如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A．145° B．130° C．110° D．70° 【答案】C 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABC与Rt△ADC中，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，又∠ACB＝55°，∴∠ACD＝∠ACB＝55°，∠BCD＝110°．故选：C． 3．如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　） A．∠A＝∠B B．∠C＝∠D C．AC＝BE D．AD＝BF 【答案】C 【解析】∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠BFE＝90°，∵CD＝EF，∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．故选：C． 4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 【答案】B 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE=∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°-∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B． 5．如图，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，且PB＝PC，则△APB≌△APC的理由是（　　） A．SAS B．ASA C．HL D．AAS 【答案】C 【解析】∵直角△APB和直角△APC中，，∴直角△APB≌直角△APC．（HL）． 故选：C． 6．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH＝∠ADB＝90°.∵∠HBD＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠EAH.∵DH＝DC，∴△BDH≌△ADC(AAS)．∴BD＝AD，BH＝AC.故①③正确；结论②④错误．故选B. 7.如图，在四边形ABCD中∠A＝∠C＝90°，AB＝CD＜AD，则下列说法中不正确的是( ) A.AD∥BC B.BC＝CD C.AD＝BC D.AB∥CD 【答案】B 【解析】在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)， ∴AD＝BC，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∴AB∥CD，AD∥BC；所以A、C、D三项是正确的，错误的是B项.故选B. 8.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=8，BD=3，则DE的长是( ) A.7 B.5 C.3 D.2 【答案】B 【解析】∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，∴∠AEC=∠D=90°，在Rt△AEC与Rt△CDB中，∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），∴CE=BD=3，CD=AE=8，[来源:学,科,网]∴DE=CD-CE =8-3=5，故选B． 9．如图所示，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解析】：由已知可以推导出△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB. 10.如图CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AF=BE,且AC=BD,则下列结论不一定正确的是（ ） ​ A.AC‖BD B.∠C+∠B=90o C.∠A=∠D D. Rt△ACE≌Rt△BDF 【答案】C 【解析】∵CE⊥AB,DF⊥AB,∠AEC= ∠DFB=90°,∵AF=BE,AE=BF,在Rt△ACE和Rt△BDF中，Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),:.∠A=∠B, AC‖BD,∠A+∠C=90°,:.∠B+∠C=90°,选项A，B，D正确，选项C错误.故选:C. 二．填空题（共30分） 11．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：　　 （写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等． 【答案】AC＝AD（答案不唯一） 【解析】添加一个条件AC＝AD，理由如下：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC和△ABD是直角三角形，在Rt△ABC与Rt△ABD中，，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）． 12.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC上一点,连接BE,过点E作DE⊥AB,垂足为D,BD=BC,若AC=6,则AE+DE的值为__________ 【答案】6 【解析】∵DE⊥AB于D,:.∠BDE=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中， :.Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),:∴.ED=CE,AE +ED = AE+CE = AC=6cm 13.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C,D均在格点(小正方形的顶点)上,则∠ACD+∠BDC=　°.  【答案】90 【解析】如图,在Rt△AEC和R△DAB中， Rt △AEC ≌ Rt △DAB (HL),:.∠ACE= LABD.:LEAC+LACE=90°,∠EAC + ∠ABD = 90°∠AFB =90°∴∠CFD=90°,:∠ACD+∠BDC=90°.故答案为 90. 14．如图所示，已知AC⊥BD，BC＝EC，AB＝DE，则∠B＋∠D＝________°. 【答案】90 【解析]】根据“HL”得出Rt△ABC≌Rt△DEC，所以∠A＝∠D，所以∠B＋∠D＝∠B＋∠A＝90°. 15．小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角尺，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上(如图)分别取点M，N，使OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.其中运用的数学道理是________________________________________________________________________． 【答案】 利用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，全等三角形的对应角相等 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝5 cm，CE＝3 cm，则DE＝________ cm. 【答案】8 【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠BAD＋∠B＝90°.∴∠EAC＝∠B.∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE.(AAS)∴AD＝CE，BD＝AE，则DE＝AD＋AE＝CE＋BD＝8 cm.故答案为8. 17.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=　 时,△ABC与△APQ全等.  【答案】5或10 【解析】∵AX⊥AC,∴.LPAQ=90°.∠C=∠PAO=90°.分两种情况:①当AP=BC=5 时， 在 RtΔABC和RtΔQPA 中,:.RtΔABC≌Rt△QPA(HL); ②当 AP=CA=10 时，在△ABC 和△PQA 中，Rt△ABC≌Rt△POA(HL). 综上所述:当点P运动到AP=5或10时，△BC与△APQ全等. 18．如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，则图中有________对全等的直角三角形． 【答案】 3 【解析】 ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABE和△Rt△ACD中∵∴Rt△ABE≌△Rt△ACD.(AAS)∴AD＝AE.在Rt△AOD和Rt△AOE中，∴Rt△AOD≌Rt△AOE.(HL)∴OD＝OE.在Rt△BOD和Rt△COE中，∴Rt△BOD≌Rt△COE.(ASA)∴全等的直角三角形共有3对．故为3. 19.如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是_____． 【答案】AC＝BD（或者AD＝BC）． 【解析】①条件是AC＝BD，∵∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， ②条件若为AD＝BC，与①同理可证.故答案为AC＝BD（或者AD＝BC）． 20.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC,BD相交于点O,如果AC=BD,那么下列结论:①Rt△ABD≌Rt△BAC;②AD=BC;③∠ABC=∠BAD;④∠DAC=∠CBD.其中正确的是__________. 【答案】①②③④　 【解析】AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，AB=BA，:.Rt△ABD=Rt△BAC(HL)，:.AD = BC，∠ABC=∠BAD，∠BAC= ∠ABD,∠DAC=∠BAD - ∠BAC，∠CBD=∠ABC-∠ABD,:.∠DAC=∠CBD. 三．解答题（共60分） 21.已知Rt△ABC，求作Rt△A'B'C'，使AB＝A'B'，AC＝A'C'. 作法：（1）作∠MB'N＝90°. （2）在射线B'M上截取B'A'＝BA. （3）以点A'为圆心，AC的长为半径画弧，交射线B'N于点C'. （4）连接A'C'，则Rt△A'B'C'即为所求. 22.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，PQ＝AB，点P，Q分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等． 解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AC的中点时，AP＝AC＝5 cm，∴AP＝CB.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵∴Rt△ABC≌Rt△QPA.(HL) ②当P运动到与点C重合时，AP＝CA.在Rt△ABC与Rt△PQA中，∴Rt△ABC≌Rt△PQA.(HL)综上所述，当P运动到AC的中点或与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． 23.证明命题“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证. 已知:在 Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD,A'D'分别为BC与B'C'边上的中线且　 . 求证:　　　　　　　　　　　 .  请补全已知和求证部分,并写出证明过程. 解：AD=A'D';Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(或△ABC≌△A'B'C'). 证明:∵∠C=∠C'=90°,AD=A'D',AC=A'C',∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),∴CD=C'D'. ∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线,∴D和D'分别是BC和B'C'的中点, ∴BC=2CD,B'C'=2C'D',∴BC=B'C'.在△ABC和△A'B'C'中, ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS). 24．如图已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB. (1)图中还有几对全等三角形？请你一一列举； (2)求证：CF＝EF. 解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF (2)连接AF，∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°， 又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，又∵BC＝DE，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF 25.已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA， （1）求证：△BEC≌△DEA； （2）求证：BC⊥FD． 解：（1）证明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，在Rt△BEC与Rt△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（HL）； （2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC． 26.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. （1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC； （2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 图1 图2 解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.∴∠DAB＝∠ECA.∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°. ∴∠BAC＝180°－（∠BAD＋∠CAE）＝90°.∴AB⊥AC. （2）AB⊥AC.证明：同（1）可证Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.∴∠DAB＝∠ECA.∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列结论不正确的是（　　） A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形角形全等 C．一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【解析】A，两个锐角对应相等的两个直角三角形，没有对应边相等，不能判定三角形全等； B，一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形角形，符合AAS或ASA，能判定三角形全等；C，一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形，符合AAS或ASA，能判定三角形全等；D，两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS或SSS或HL，能判定三角形全等； 根据三角形全等的判定，正确的是B、C、D，不正确的是A．故选：A． 2.如图，AD⊥AB，CB⊥AB，AD＝BC，则Rt△ABD与Rt△BAC全等的依据是（ ） A.HL B.ASA C.SAS D.AAS 【答案】A 【解析】∵AD⊥AB，CB⊥AB，∴∠DAB=∠CBA=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），故选A． 3.如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E,F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是( ) A.EC=FA B.DC=BA C.∠D=∠B D.∠DCE=∠BAF 【答案】B 【解析】在△ABF与△CDE中，DE=BF，由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°． ∴添加DC=AB后，满足HL．故选B． 4.如图，小敏用三角尺按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，其作图原理是：△OMP≌△ONP，这样就有∠AOP＝∠BOP，则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 【答案】D 【解析】由题意知OM＝ON，∠OMP＝∠ONP＝90°，OP＝OP，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，故选D． 5.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 【答案】C 【解析】A、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS， B、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS; C、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与; D、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定 HL.故选: C. 6.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ） A. AE=DF B. ∠A=∠D C. ∠B= ∠C D. AB=DC 【答案】D 【解析】条件是AB=CD,理由是:∵AE⊥BC，DF⊥BC,:∴.∠CFD=∠AEB=90°, 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，∴. Rt△ABE≌Rt△DCF (HL)，故选 D. 7.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为 D，E，且 PD=PE，则 △APD 与 △APE 全等的理由是 （ ）   A.HL B． AAS C． SSS D． SAS 【答案】A 【解析】∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP= ∠AEP =90°, 在Rt△ADP和△AEP中Rt△ADP=△AEP(HL),故选:A. 8．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定△ACB≌△ADB的合适条件是( ) A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【答案】A 【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为:若添加的条件为BC = BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中， Rt△ABC ≌ Rt△ABD(HL);若添加的条件为AC =AD,在Rt△ABC与Rt△ABD中，:.Rt△ABC ≌ Rt△ABD(HL)。故选:A。 9．如图所示，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解析】由已知可以推导出△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB. 10．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD，②BC＝AC，③BH＝AC，④CE＝CD中，正确的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEH＝∠ADB＝90°.∵∠HBD＋∠BHD＝90°，∠EAH＋∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠HBD＝∠EAH.∵DH＝DC，∴△BDH≌△ADC(AAS)．∴BD＝AD，BH＝AC.故①③正确；结论②④错误．故选B. 二．填空题（共30分） 11．下列结论中，正确的是 　 　． ①在Rt△ABC中，两个锐角互余；②有一个角和一条边对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；④所有的直角三角形都全等． 【答案】①③ 【解析】在Rt△ABC中，两个锐角互余，故原题说法正确，符合题意； 有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等，故原题说法错误，不符合题意； 斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故原题说法正确，符合题意； 所有的直角三角形不一定全等，故原题说法错误，不符合题意． 故答案为：①③． 12．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC＝BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是　　． 【答案】AAS 【解析】∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°．∵AC∥DB，∴∠A＝∠B．在△AEC和△BFD中，∴Rt△AEC≌Rt△BFC（AAS），故答案为：AAS． 13．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝　　度． 【答案】50° 【解析】在Rt△ABC与Rt△ADC中，BC＝DC，AC＝AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC∴∠2＝∠ACB 在△ABC中∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠1＝50°∴∠2＝50°． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝5 cm，CE＝3 cm，则DE＝________ cm. 【答案】 8 【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠BAD＋∠B＝90°.∴∠EAC＝∠B.∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE.(AAS)∴AD＝CE，BD＝AE，则DE＝AD＋AE＝CE＋BD＝8 cm.故答案为8. 15．如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，则图中有________对全等的直角三角形． 【答案】 3 【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABE和△Rt△ACD中∵∴Rt△ABE≌△Rt△ACD.(AAS)∴AD＝AE.在Rt△AOD和Rt△AOE中，∴Rt△AOD≌Rt△AOE.(HL)∴OD＝OE.在Rt△BOD和Rt△COE中， ∴Rt△BOD≌Rt△COE.(ASA)∴全等的直角三角形共有3对．故为3. 16.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则△ABC≌△DEF，理由是______． 【答案】HL 【解析】证明：根据题意知，AC⊥AB、ED⊥DF，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（HL）．故答案为HL. 17.如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是_____． 【答案】AC＝BD（或者AD＝BC）． 【解析】①条件是AC＝BD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中 ∵，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），②条件若为AD＝BC，与①同理可证.故答案为AC＝BD（或者AD＝BC）． 18.如图,已知E为AC上一点,BC⊥CA,ED⊥AB,垂足分别为C,D,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于________. 【答案】14 cm 【解析】∵BC⊥CA,ED⊥AB,∴∠BDE=∠BCE=90°.在Rt△DEB和Rt△CEB中,∵BE=BE,BD=BC, ∴Rt△DEB≌Rt△CEB,∴DE=CE,∴AC=AE+CE=AE+DE=8+6=14cm 19.如图，AC⊥BD 于点 P，AP=CP，增加下列一个条件：① BP=DP；② AB=CD；③ ∠A=∠C．其中能判定 △ABP≌△CDP 的条件有__________.  【答案】3 个 【解析】∵AC⊥BD于点P，AP=CP，在△ABP和△CDP中, △ABP△≌CDP(HL).增加的条件是BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B =∠D.故添加BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D.故选:D. 20. 已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中， ,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC， ∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中， ,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④． 三．解答题（共60分） 21.如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 解：如答图所示， △ABC为所求作的直角三角形。 22.如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF． 求证：（1）△ABC≌△EDF； （2）AB∥DE． 解：（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴△ABC和△EDF为直角三角形，∵CD＝BF， ∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，在Rt△ABC和Rt△EDF中， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）； （2）由（1）可知△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠D，∴AB∥DE． 23.已知：如图，AD、BC 相交于点 O，且 AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. （1）求证：Rt△ABC≌Rt△BAD； （2）求证：CO＝DO. 解：（1）证明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）； （2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠BAD=∠ABC，BC=AD，∴AO=BO，∴BC-BO=AD-AO，∴CO=DO． 24.如图10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵∴Rt△ABE≌Rt△CBF.(HL) (2)∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°. 25．(1) 如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG． (2) 若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立? 请说明理由． 解：(1) ∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFG=90°．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF=DE在△BGF和△DGE中，，∴△BGF≌△DGE (AAS)．∴FG=EG． (2)结论仍成立．理由如下：∵△DCE只是作了平移，∴仍有Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF=DE，∴△BGF≌△DGE (AAS)．∴FG=EG．故结论仍成立． 26.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，Rt△ABC≌Rt△DEF. (1)如图12①，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF. 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． (3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角．请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等(不写作法，保留作图痕迹)． 解：(1)HL (2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H. ∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，∴180°－∠ABC＝∠180°－∠DEF，即∠CBG＝∠FEH.在△BCG和△EFH中，∵ ∴△CBG≌△FEH.(AAS)∴CG＝FH. 在Rt△ACG和Rt△DFH中，∵ ∴Rt△ACG≌Rt△DFH.(HL)∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF.(AAS) (3)如图，△DEF和△ABC不全等． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $