2026-2027学年沪科版九年级数学上册第一次月考(第21章二次函数与反比例函数)

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数核心内容，通过销售利润计算、矩形花坛面积优化等真实情境题，考查抽象能力、模型意识与推理能力，适配九年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|顶点坐标、图象变换、对称轴|基础概念辨析，如第4题考查抛物线平移规律| |填空题|4/20|顶点坐标、待定系数法、取值范围|第14题结合二次函数单调性求取值范围| |解答题|9/90|函数表达式、几何综合、实际应用|19题以销售利润为背景构建二次函数模型，23题综合抛物线与几何图形考查推理能力|

沪科版九年级数学上册　月考试卷 第一次月考　考查范围：第 21 章 二次函数与反比例函数 （满分 150 分　　考试时间 120 分钟） 题　号 一 二 三 四 五 六 七 八 总　分 得　分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 班　级 　 姓　名 　 座位号 　 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟，共 23 题。 2．答题前，请将班级、姓名、座位号填写在上表中相应的位置。 3．请直接在试题卷上作答，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 4．考试结束后，请将试题卷交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1． 抛物线 y = -2(x + 1)² + 3 的顶点坐标是（　　） A. (1, 3)　　B. (-1, 3)　　C. (1, -3)　　D. (-1, -3) 2． 反比例函数 的图象位于（　　） A. 第一、二象限　　B. 第一、三象限　　C. 第二、四象限　　D. 第三、四象限 3． 二次函数 y = x² - 4x + 5 的图象的对称轴是（　　） A. 直线 x = 2　　B. 直线 x = -2　　C. 直线 x = 4　　D. 直线 x = -4 4． 将抛物线 y = x² 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线的表达式是（　　） A. y = (x + 2)² - 1　　B. y = (x - 2)² - 1　　C. y = (x - 2)² + 1　　D. y = (x + 2)² + 1 5． 二次函数 y = -x² + 4x - 3 的图象与 x 轴的交点个数是（　　） A. 0 个　　B. 1 个　　C. 2 个　　D. 3 个 6． 已知点 A(-2, y₁)、B(-1, y₂)、C(3, y₃) 都在反比例函数 的图象上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A. y₁ > y₂ > y₃　　B. y₃ > y₁ > y₂　　C. y₂ > y₁ > y₃　　D. y₃ > y₂ > y₁ 7． 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象如图 1 所示，则下列结论正确的是（　　） A. a > 0，b > 0，c > 0　　B. a > 0，b < 0，c < 0 C. a < 0，b < 0，c < 0　　D. a > 0，b < 0，c > 0 8． 若二次函数 y = 2x² - 4x + m 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值是（　　） A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 9． 若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是（　　） A. k > 2　　B. k < 2　　C. k > 0　　D. k < 0 10． 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 (-1, 0) 和 (5, 0)，则它的图象的对称轴是（　　） A. 直线 x = -1　　B. 直线 x = 2　　C. 直线 x = 3　　D. 直线 x = 5 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11． 二次函数 y = x² - 6x + 8 的图象的顶点坐标是　　　　． 12． 若反比例函数 的图象经过点 (-4, 3)，则 k = 　　　　． 13． 若二次函数 y = x² + 2x + c 的图象经过点 (1, 4)，则 c = 　　　　． 14． 已知二次函数 y = x² - 2x + 3，当 1 ≤ x ≤ 3 时，y 的取值范围是　　　　． 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．（8 分） 已知二次函数 y = -x² + 4x - 3． （1）求它的图象的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图象与坐标轴交点的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 16．（8 分） 已知 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y = -4． （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 -6 ≤ x ≤ -2 时，求 y 的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．（8 分） 如图 2，一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(-2, 3)、B(6, n)． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求三角形 AOB 的面积（O 为坐标原点）． 　 　 　 　 　 　 　 　 18．（8 分） 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 A(0, -3)、B(1, 0)、C(3, 0)． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点 P(m, n) 是该函数图象上的一点，且 n < 0，求 m 的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．（10 分） 某商店销售一种成本为每件 30 元的文具，当售价为每件 40 元时，每月可卖出 500 件．经调查发现，售价每上涨 1 元，每月的销售量就减少 10 件．设每件售价上涨 x 元（x 为非负整数），每月销售这种文具的利润为 W 元． （1）求 W 与 x 之间的函数表达式； （2）售价定为每件多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 20．（10 分） 如图 3，抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求三角形 ABC 的面积； （3）若点 P 是该抛物线对称轴上的一点，且 PA = PC，求点 P 的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 六、（本题满分 12 分） 21．（12 分） 如图 4，某公园要建一个矩形花坛，花坛的一边靠墙（墙长 18 m），另外三边用总长为 36 m 的栅栏围成．设垂直于墙的一边长为 x m，花坛的面积为 S m²． （1）求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，花坛的面积最大？最大面积是多少？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 七、（本题满分 12 分） 22．（12 分） 如图 5，一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 （x > 0）的图象交于点 A(2, 6)、B(6, 2)，一次函数的图象与 x 轴交于点 C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求三角形 AOB 的面积（O 为坐标原点）； （3）根据图象，直接写出当 时 x 的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 八、（本题满分 14 分） 23．（14 分） 如图 6，抛物线 y = -x² + 4x + 5 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D． （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）若点 P 是该抛物线对称轴上的一点，当 PA + PC 的值最小时，求点 P 的坐标及 PA + PC 的最小值； （3）若点 Q 是该抛物线上位于 x 轴下方的一点，且 S三角形 ABQ = S三角形 ABC，求点 Q 的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 —— 试题卷结束 —— 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版九年级数学上册　月考试卷 第一次月考　考查范围：第 21 章 二次函数与反比例函数　参考答案与解析 （满分 150 分　　共 23 题） 评分说明： 解答题的解题过程如有其他正确解法，可参照本标准相应给分；答案正确但过程不完整的，酌情扣分。 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．【答案】B 【解析】 形如 y = a(x - h)² + k 的抛物线，顶点坐标是 (h, k)．这里 x + 1 = x - (-1)，所以 h = -1，k = 3．故选 B． 2．【答案】B 【解析】 反比例函数 中，当 k > 0 时图象位于第一、三象限．这里 k = 8 > 0．故选 B． 3．【答案】A 【解析】 对称轴是直线 ．故选 A． 4．【答案】B 【解析】 抛物线向右平移 2 个单位长度，把 x 换成 x - 2，得 y = (x - 2)²；再向下平移 1 个单位长度，得 y = (x - 2)² - 1．故选 B． 5．【答案】C 【解析】 判别式 Δ = b² - 4ac = 4² - 4 × (-1) × (-3) = 16 - 12 = 4 > 0，所以图象与 x 轴有两个交点．故选 C． 6．【答案】B 【解析】 分别代入：，，． 因为 2 > -3 > -6，所以 y₃ > y₁ > y₂．故选 B． 7．【答案】B 【解析】 由图 1 知：抛物线开口向上，所以 a > 0；图象与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上，所以 c < 0；对称轴在 y 轴右侧，即 -，因为 a > 0，所以 b < 0．故选 B． 8．【答案】B 【解析】 图象与 x 轴只有一个公共点，说明判别式为 0． 由 Δ = (-4)² - 4 × 2 × m = 16 - 8m = 0 得 m = 2．故选 B． 9．【答案】B 【解析】 图象位于第二、四象限，说明比例系数为负，即 k - 2 < 0，解得 k < 2．故选 B． 10．【答案】B 【解析】 抛物线与 x 轴的两个交点为 (-1, 0) 和 (5, 0)，它们关于对称轴对称， 所以对称轴是直线 ．故选 B． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11．【答案】(3, -1) 【解析】 y = x² - 6x + 8 = (x - 3)² - 1，所以顶点坐标是 (3, -1)． 12．【答案】-12 【解析】 把点 (-4, 3) 代入 ，得 k = xy = (-4) × 3 = -12． 13．【答案】1 【解析】 把点 (1, 4) 代入 y = x² + 2x + c，得 1 + 2 + c = 4，解得 c = 1． 14．【答案】2 ≤ y ≤ 6 【解析】 y = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2，所以图象的对称轴是直线 x = 1，开口向上． 在 1 ≤ x ≤ 3 上，y 随 x 的增大而增大． 当 x = 1 时 y = 2；当 x = 3 时 y = 9 - 6 + 3 = 6． 所以 y 的取值范围是 2 ≤ y ≤ 6． 三、（每小题 8 分，共 16 分） 15．【答案】（1）顶点坐标 (2, 1)，对称轴是直线 x = 2；（2）与 x 轴交于 (1, 0)、(3, 0)，与 y 轴交于 (0, -3) 【解析】 （1）y = -x² + 4x - 3 = -(x² - 4x) - 3 = -(x - 2)² + 1， 所以图象的顶点坐标是 (2, 1)，对称轴是直线 x = 2． （2）令 y = 0，得 -x² + 4x - 3 = 0，即 x² - 4x + 3 = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = 3． 所以图象与 x 轴交于点 (1, 0) 和 (3, 0)． 令 x = 0，得 y = -3，所以图象与 y 轴交于点 (0, -3)． 16．【答案】（1）；（2）2 ≤ y ≤ 6 【解析】 （1）因为 y 与 x 成反比例，所以可设 （k ≠ 0）． 把 x = 3、y = -4 代入，得 -，解得 k = -12． 所以 y 与 x 之间的函数表达式为 ． （2）因为 k = -12 < 0，所以当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大． 当 x = -6 时，；当 x = -2 时，． 因为 x 从 -6 增大到 -2，所以 y 从 2 增大到 6，即 2 ≤ y ≤ 6． 四、（每小题 8 分，共 16 分） 17．【答案】（1），；（2）8 【解析】 （1）把点 A(-2, 3) 代入 ，得 m = (-2) × 3 = -6． 所以反比例函数的表达式为 ． 把 x = 6 代入 ，得 ，所以 B(6, -1)． 设一次函数的表达式为 y = kx + b．把 A(-2, 3)、B(6, -1) 代入，得 -2k + b = 3，6k + b = -1． 两式相减得 8k = -4，解得 ．代入得 b = 2． 所以一次函数的表达式为 ． （2）设一次函数的图象与 y 轴交于点 C，则 C(0, 2)，OC = 2． 线段 OC 把三角形 AOB 分成三角形 AOC 和三角形 BOC． S三角形 × |x_A| = ； S三角形 × |x_B| = ． 所以 S三角形 AOB = 2 + 6 = 8． 18．【答案】（1）y = -x² + 4x - 3；（2）m < 1 或 m > 3 【解析】 （1）因为图象经过点 B(1, 0)、C(3, 0)，所以可设 y = a(x - 1)(x - 3)． 把点 A(0, -3) 代入，得 a(0 - 1)(0 - 3) = -3，即 3a = -3，解得 a = -1． 所以二次函数的表达式为 y = -(x - 1)(x - 3) = -(x² - 4x + 3) = -x² + 4x - 3． （2）由 n < 0 得 -x² + 4x - 3 < 0，即 x² - 4x + 3 > 0． 因为 x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)，所以 (x - 1)(x - 3) > 0． 所以 x - 1 > 0 且 x - 3 > 0，或 x - 1 < 0 且 x - 3 < 0， 解得 x > 3 或 x < 1，即 m < 1 或 m > 3． 五、（每小题 10 分，共 20 分） 19．【答案】（1）W = -10x² + 400x + 5000（0 ≤ x ≤ 50）；（2）售价定为每件 60 元时利润最大，最大利润是 9000 元 【解析】 （1）售价上涨 x 元后，每件售价为 (40 + x) 元，每件利润为 (40 + x) - 30 = (10 + x) 元； 每月销售量为 (500 - 10x) 件． 所以 W = (10 + x)(500 - 10x) = 5000 - 100x + 500x - 10x² = -10x² + 400x + 5000． 由 x ≥ 0 且 500 - 10x ≥ 0，得 0 ≤ x ≤ 50． （2）W = -10x² + 400x + 5000 = -10(x - 20)² + 9000． 因为 -10 < 0，所以当 x = 20 时，W 取得最大值 9000． 此时每件售价为 40 + 20 = 60（元）． 所以售价定为每件 60 元时，每月获得的利润最大，最大利润是 9000 元． 20．【答案】（1）A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, -3)；（2）6；（3）P(1, -1) 【解析】 （1）令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0，即 (x - 3)(x + 1) = 0，解得 x₁ = -1，x₂ = 3． 因为点 A 在点 B 的左侧，所以 A(-1, 0)、B(3, 0)． 令 x = 0，得 y = -3，所以 C(0, -3)． （2）因为 A(-1, 0)、B(3, 0)，所以 AB = 3 - (-1) = 4． 点 C(0, -3) 到 x 轴的距离是 3． 所以 S三角形 ． （3）因为 y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4，所以对称轴是直线 x = 1． 设点 P 的坐标为 (1, p)．则 PA² = (1 + 1)² + p² = 4 + p²； PC² = (1 - 0)² + (p + 3)² = 1 + p² + 6p + 9 = p² + 6p + 10． 由 PA = PC 得 PA² = PC²，即 4 + p² = p² + 6p + 10． 所以 6p = -6，解得 p = -1． 所以点 P 的坐标是 (1, -1)． 六、（本题满分 12 分） 21．【答案】（1）S = -2x² + 36x（9 ≤ x < 18）；（2）x = 9 m 时面积最大，最大面积是 162 m² 【解析】 （1）因为栅栏总长为 36 m，垂直于墙的一边长为 x m，所以平行于墙的一边长为 (36 - 2x) m． 所以 S = x(36 - 2x) = -2x² + 36x． 由垂直于墙的边长 x > 0 且 36 - 2x > 0，得 x < 18； 又因为平行于墙的一边不能超过墙长 18 m，所以 36 - 2x ≤ 18，解得 x ≥ 9． 所以自变量 x 的取值范围是 9 ≤ x < 18． （2）S = -2x² + 36x = -2(x - 9)² + 162． 因为 -2 < 0，所以抛物线开口向下，对称轴是直线 x = 9． 因为 x 的取值范围是 9 ≤ x < 18，函数在 9 ≤ x < 18 上 y 随 x 的增大而减小， 所以当 x = 9 时，S 取得最大值 162． 所以当 x = 9 m 时，花坛的面积最大，最大面积是 162 m²． 七、（本题满分 12 分） 22．【答案】（1）（x > 0），y = -x + 8；（2）16；（3）0 < x < 2 或 x > 6 【解析】 （1）把点 A(2, 6) 代入 ，得 m = 2 × 6 = 12． 所以反比例函数的表达式为 （x > 0）． 设一次函数的表达式为 y = kx + b．把 A(2, 6)、B(6, 2) 代入，得 2k + b = 6，6k + b = 2． 两式相减得 4k = -4，解得 k = -1．代入得 b = 8． 所以一次函数的表达式为 y = -x + 8． （2）令 y = -x + 8 中的 y = 0，得 x = 8，所以 C(8, 0)，OC = 8． 过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，把三角形 AOB 的面积看作由两部分的差得到： S三角形 AOB = S三角形 AOC - S三角形 ． （3）由图象可知，当 0 < x < 2 或 x > 6 时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即 ． 八、（本题满分 14 分） 23．【答案】（1）A(-1, 0)、B(5, 0)、C(0, 5)、D(2, 9)；（2）P(2, 3)，PA + PC 的最小值是 ；（3）或 【解析】 （1）令 y = 0，得 -x² + 4x + 5 = 0，即 x² - 4x - 5 = 0，解得 x₁ = -1，x₂ = 5． 因为点 A 在点 B 的左侧，所以 A(-1, 0)、B(5, 0)． 令 x = 0，得 y = 5，所以 C(0, 5)． 因为 y = -x² + 4x + 5 = -(x - 2)² + 9，所以顶点 D(2, 9)． （2）抛物线的对称轴是直线 x = 2． 因为点 A(-1, 0) 与点 B(5, 0) 关于直线 x = 2 对称，所以对于对称轴上的任意一点 P，都有 PA = PB． 所以 PA + PC = PB + PC． 当点 P 在线段 BC 上时，PB + PC 取得最小值，最小值等于 BC． 直线 BC 经过 B(5, 0)、C(0, 5)，其表达式为 y = -x + 5． 因为点 P 在对称轴 x = 2 上，把 x = 2 代入 y = -x + 5 得 y = 3，所以 P(2, 3)． ． 所以点 P 的坐标是 (2, 3)，PA + PC 的最小值是 ． （3）S三角形 ． 设点 Q 的坐标为 (x, y)．因为点 Q 在 x 轴下方，所以 y < 0，点 Q 到 x 轴的距离为 -y． 由 S三角形 ABQ = S三角形 ABC 得 ，即 -3y = 15，解得 y = -5． 把 y = -5 代入 y = -x² + 4x + 5，得 -x² + 4x + 5 = -5， 即 x² - 4x - 10 = 0．解得 ． 所以点 Q 的坐标是 或 ． —— 参考答案与解析结束 —— 学科网（北京）股份有限公司 $