1.3 集合的基本运算课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的并集、交集、补集运算，通过具体集合实例（如A={2,5,8}，B={5,8,11}）引出新集合，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接集合基本概念，帮助学生理解运算定义与符号。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，用Venn图和数轴直观呈现运算过程（几何直观），对比表与失分点分析强化数学语言规范。分步骤教学（定义-图形-应用）发展数学思维，多样化练习助学生巩固运算能力，教师可直接使用系统教学流程提升教学效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 · 1.3　人教A版必修一 集合的基本运算 口令：先板书课题“集合的基本运算”，再问一句“实数有加、减、乘、除等运算，集合是不是也有类似的运算”，不给答案，直接进学习目标。本课时只做并集、交集、全集与补集三件事，区间记法要到必修一第二章才学，本课一律用集合的描述法与数轴表示。 这节课要达成的三条目标 第 2 页 学习目标 1. 能说出并集、交集、补集的定义，并正确使用∪、∩、∁三个符号写出运算结果。 2. 能对有限集直接写出并集与交集，能把不等关系给出的集合画到数轴上求并、交、补。 3. 知道补集必须相对于全集U而言，求∁ᵤA之前先把全集U写清楚，端点的开闭要逐个核对。 关键词 • 并集A∪B • 交集A∩B • 全集U • 补集∁ᵤA • 数轴取法 口令：三条目标齐读一遍，把“或”“且”“不属于”六个字写在黑板一角，本课三种运算全部回到这三个字。本课时不出现区间记法，也不出现充分必要条件与量词，那是后面的内容。 情境导入 同一组集合，三个新集合是怎样来的 过渡：实数有加、减、乘、除等运算，集合之间也有类似的运算。用同一组数集A与B，连看三种新集合是怎样产生的，学生先说出“怎么来的”，不急着起名字。 同一组集合，三个新集合是怎样来的 第 4 页 两个已知集合 A＝{2，5，8}，B＝{5，8，11}。 第一个新集合 C＝{2，5，8，11}：C中的每一个元素，或者在A中，或者在B中。 把A与B的元素合起来，公共的5与8只写一次，就得到C。 第二个新集合 D＝{5，8}：D中的每一个元素，既在A中，又在B中。 第三个新集合 取U＝{x∈N*｜x≤12}，E＝{1，3，4，6，7，9，10，11，12}。 E中的每一个元素都在U中，但都不在A中，E就是把U里属于A的元素去掉后剩下的。 口令：逐条读，每读完一个新集合追问“它里面的元素是按什么标准挑出来的”。学生说出“或者在A或者在B”“既在A又在B”“在U中但不在A中”三句话即可，先不给名称，三个名称分别留给探究一、二、三。 探究一 并集：属于A，或者属于B 过渡：把情境里的第一个新集合交给数学，给它起名字、定符号，再解决“怎么算”的问题。 记住并集的定义与写法 第 6 页 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合， 称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即 A∪B ＝ {x｜x∈A，或x∈B}。 回到情境 由A＝{2，5，8}，B＝{5，8，11}得A∪B＝{2，5，8，11}，即情境中的C。 在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次，如元素5，8。 Venn图怎么读 用两条封闭曲线分别代表A与B，A∪B就是这两条曲线围出的全部区域。 定义中的“或”允许两边同时成立，公共部分也在并集里，不是二选一。 口令：定义齐读并抄在书上，重点圈出“或”字。追问“把或改成且行不行”，学生答“不行”，用A与B的公共元素5说明。Venn图本页只讲读法，画法留给学生课后在草稿上试。 在数轴上求并集：合起来的一段 第 7 页 怎么做 设A＝{x｜-3＜x≤0}，B＝{x｜-1≤x＜4}。 把A与B画在同一条数轴上，并集取两段合起来盖住的全部范围， 得A∪B＝{x｜-3＜x＜4}。 两条常用关系 A∪A ＝ A，A∪∅ ＝ A。 A⊆A∪B，B⊆A∪B：并集一定包含参与运算的两个集合。 口令：先让两名学生分别到黑板上把A与B画出来，再问“合起来盖住了哪一段”。空心圆表示端点取不到，-3取不到，4也取不到，逐个圆圈点名核对。两条常用关系齐读一遍。 求两个集合的并集 第 8 页 题目 求下列各组集合的并集：（1）M＝{0，3，6，9}，N＝{3，9，12}；（2）P＝{x｜x≤1}，Q＝{x｜x＞1}。 分析 （1）是有限集，把两个集合的元素合起来，公共元素只写一次，再按从小到大排列。 （2）是不等关系给出的集合，先画数轴，再看两段合起来盖住了哪些实数。 （2）中1属于P，所以数轴上1这个点已经被盖住，两段之间没有留白。 口令：先给两分钟独立完成，再请两名学生分别说（1）（2）的做法。提醒第（1）题不要把3与9写两遍，这正是集合元素互异性的要求。 解答：合并去重，或者上数轴 第 9 页 规范解答 （1）M与N公共的元素是3与9，合并时只写一次， 所以M∪N＝{0，3，6，9，12}。 （2）P是1及其左边的全部实数，Q是1右边的全部实数。 任意一个实数x，或者满足x≤1，或者满足x＞1， 所以P∪Q＝R。 答：（1）M∪N＝{0，3，6，9，12}；（2）P∪Q＝R。 方法小结 有限集的并集按“合并—去重—排序”三步写；不等关系给出的集合先上数轴，再看有没有留白。 口令：核对后追问“如果把Q改成{x｜x＞2}，并集还是R吗”，学生答“不是，1与2之间的实数没有被盖住”，这一句为易错页埋伏笔。 探究二 交集：属于A，且属于B 过渡：情境里的第二个新集合，取的是两个集合都有的元素。给它命名、定符号，再解决数轴上怎么取的问题。 记住交集的定义与写法 第 11 页 交集 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合， 称为集合A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即 A∩B ＝ {x｜x∈A，且x∈B}。 回到情境 由A＝{2，5，8}，B＝{5，8，11}得A∩B＝{5，8}，即情境中的D。 两个集合没有公共元素时，它们的交集是空集，写作A∩B＝∅。 Venn图怎么读 用两条封闭曲线分别代表A与B，A∩B就是两条曲线重叠的那块区域。 重叠区域没有公共点时，这块区域什么也不含，交集就是空集。 口令：定义齐读，重点圈出“且”字，与上一探究的“或”字并排板书。追问“A∩B＝∅是不是说明A与B中有一个是空集”，学生答“不是”，举A＝{1}，B＝{2}的例子，这一句在易错页还会再讲一遍。 在数轴上求交集：重叠的一段 第 12 页 怎么做 仍设A＝{x｜-3＜x≤0}，B＝{x｜-1≤x＜4}。 把A与B画在同一条数轴上，交集取两段重叠的那一部分， 得A∩B＝{x｜-1≤x≤0}。 三条常用关系 A∩A ＝ A，A∩∅ ＝ ∅。 A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B：交集比两个集合都小。 A∩B ⊆ A ⊆ A∪B：交集在里面，并集在外面。 口令：与上一页用同一组A与B，把并集与交集的结果并排板书对比。实心圆表示端点取得到：-1属于B也属于A，0属于A也属于B，所以两个端点都在交集里，逐个点名核对。 求两个集合的交集 第 13 页 题目 （1）设A＝{x｜x是30的正约数}，B＝{x｜x是45的正约数}，求A∩B；（2）设C＝{x｜x＜2}，D＝{x｜x≥2}，求C∩D。 分析 （1）先把两个集合用列举法写出来，再把两边都出现的元素挑出来。 （2）先看2这个点：它不属于C，但属于D，所以它不会同时在两个集合里。 （2）再看2左右两边的实数，各自只落在一个集合中。 口令：第（1）题要求把两串约数完整写在草稿上，不许凭印象直接写交集。提醒15是两串里最大的公共元素，不要漏。 解答：先列举，再挑公共元素 第 14 页 规范解答 （1）30的正约数为1，2，3，5，6，10，15，30，所以A＝{1，2，3，5，6，10，15，30}。 45的正约数为1，3，5，9，15，45，所以B＝{1，3，5，9，15，45}。 两边都出现的元素是1，3，5，15，所以A∩B＝{1，3，5，15}。 （2）小于2的实数都不满足x≥2，不小于2的实数都不满足x＜2， 所以C与D没有公共元素，C∩D＝∅。 答：（1）A∩B＝{1，3，5，15}；（2）C∩D＝∅。 方法小结 描述法给出的有限集先改写成列举法再运算；交集为空只说明两个集合没有公共元素，不说明其中哪一个是空集。 口令：核对后追问“A∩B里的元素与30，45有什么关系”，学生答“它们都是30与45的公因数”，把这句写在旁边，作为交集的一个具体解释。 探究三 全集与补集：先定范围，再取剩下的 过渡：情境里的第三个新集合，是在一个大范围里把属于A的元素去掉后剩下的。要说清它，必须先把“大范围”本身定下来，这就是全集。 全集：先把研究的范围定下来 第 16 页 全集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素， 那么就称这个集合为全集，通常记作U。 范围不同，结果就不同 考察“小于5的数”：在自然数范围内得{0，1，2，3，4}； 在正整数范围内得{1，2，3，4}；在整数范围内还有负整数，写不完。 同一句话在不同范围内的结果并不相同，所以范围必须先说清楚。 约定 通常也把给定的集合作为全集。 题目中出现符号∁时，第一步永远是找到写在∁右下角的那个全集。 口令：先读定义，再用“小于5的数”这个例子现场提问三次，每次只换范围不换话。学生答完后板书一句“先定范围，再取元素”，这是本探究的总纲。 补集：全集里剩下的部分 第 17 页 补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合， 称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁ᵤA，即 ∁ᵤA ＝ {x｜x∈U，且x∉A}。 数轴上取U＝R，A＝{x｜x＞3}：涂色的是A，没有涂到的部分就是∁ᵤA＝{x｜x≤3}。 四条常用关系 A∪(∁ᵤA) ＝ U：一个集合与它的补集合起来正好是全集。 A∩(∁ᵤA) ＝ ∅：一个元素不会既属于A又属于它的补集。 ∁ᵤU ＝ ∅：全集相对于自身的补集不含任何元素。 ∁ᵤ∅ ＝ U：空集相对于全集的补集就是全集本身。 口令：定义齐读，重点圈出“不属于”。数轴上涂色的是A，没有涂到的部分就是∁ᵤA＝{x｜x≤3}。追问“3属于A还是属于它的补集”，学生答“属于补集”，强调端点的归属在取补集时正好互换，这是本课最高频的丢分点。 求补集与含补集的混合运算 第 18 页 题目 设全集U＝{x∈N*｜x≤9}，A＝{1，4，7}，B＝{2，4，6，8}。求：（1）∁ᵤA；（2）∁ᵤB；（3）A∩(∁ᵤB)。 分析 第一步永远是把全集U用列举法写清楚。 （1）（2）从U中划去相应集合的元素，剩下的就是补集。 （3）是混合运算，按括号从里往外做：先求∁ᵤB，再与A求交集。 口令：先请一名学生把U写成列举法并念出来，全班核对N*中不含0。再给三分钟完成三问，提醒第（3）问不要先算A∩B。 解答：先写全集，再逐层运算 第 19 页 规范解答 因为x∈N*且x≤9，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 （1）从U中划去A的元素1，4，7，剩下2，3，5，6，8，9，所以∁ᵤA＝{2，3，5，6，8，9}。 （2）从U中划去B的元素2，4，6，8，剩下1，3，5，7，9，所以∁ᵤB＝{1，3，5，7，9}。 （3）A＝{1，4，7}与∁ᵤB＝{1，3，5，7，9}公共的元素是1与7， 所以A∩(∁ᵤB)＝{1，7}。 答：（1）∁ᵤA＝{2，3，5，6，8，9}；（2）∁ᵤB＝{1，3，5，7，9}；（3）A∩(∁ᵤB)＝{1，7}。 方法小结 求补集先写全集，混合运算按括号从里往外一层一层做；写完可用A∪(∁ᵤA)＝U自查有没有漏掉元素。 口令：核对后当堂自查一次——把A与∁ᵤA合起来看是不是正好是U，把B与∁ᵤB合起来看是不是正好是U。这一步能抓出绝大多数漏元素的错误。 三种运算放在一起对照 第 20 页 同一张表横着读定义，竖着读三种运算的差别。 运算 符号 定义中的关键字 符号语言 数轴上怎么取 并集 A∪B 属于A，或属于B {x｜x∈A，或x∈B} 两段合起来盖住的范围 交集 A∩B 属于A，且属于B {x｜x∈A，且x∈B} 两段重叠的那一部分 补集 ∁ᵤA 在U中，且不属于A {x｜x∈U，且x∉A} 全集里没有涂到的部分 并集与交集是两个集合之间的运算，补集是一个集合相对于全集的运算，写∁ᵤA之前必须先有U。 口令：三行由三名学生接龙念，每念一行就在黑板上画一次对应的数轴示意。最后强调“或”“且”“不属于”三个关键字，本课所有题目都从这三个字判断用哪种运算。 四处最常见的失分点 第 21 页 错误做法 由A＝{x｜x≤-4}，B＝{x｜x＞0}，写出A∪B＝R。 由A＝{x｜-1＜x≤5}，B＝{x｜5≤x＜8}，写出A∩B＝∅。 在U＝{x∈N｜x≤5}，A＝{1，3}中，写出∁ᵤA＝{2，4，5}。 由A∩B＝∅，断定A与B中至少有一个是空集。 正确做法 -4与0之间的实数既不属于A也不属于B，应写A∪B＝{x｜x≤-4或x＞0}。 5既属于A又属于B，两段在5处相接，应写A∩B＝{5}。 自然数集N中含有0，先写U＝{0，1，2，3，4，5}，再得∁ᵤA＝{0，2，4，5}。 A∩B＝∅只说明两者没有公共元素，如A＝{1}，B＝{2}，两个集合都不是空集。 求并集先看有没有留白，求交集先看端点取不取得到，求补集先把全集写成列举法。 口令：左栏四句逐句请学生指出错在哪里，右栏四句全班齐读。第三句重点讲N与N*的差别，0在不在全集里直接决定补集对不对，这是本课订正率最高的一处。 练一练（一）　有限集的并、交、补 第 22 页 直接写出运算结果 1. 设A＝{1，4，7，10}，B＝{4，10，16}，则A∪B＝（　　），A∩B＝（　　）。 2. 设M＝{x｜x是20的正约数}，N＝{x｜x是24的正约数}，则M∩N＝（　　）。 3. 设全集U＝{x∈N｜x＜6}，A＝{0，2，5}，则∁ᵤA＝（　　）。 4. 设A＝{3，6}，B＝{6，9}，则A∪B＝（　　），A∩B＝（　　）。 口令：第2、3题必须先把描述法写成列举法再运算，草稿上要留下列举的痕迹。第1题提醒并集里的4与10只写一次。 练一练（一）　参考答案 第 23 页 参考答案 1. {1，4，7，10，16}；{4，10} 2. {1，2，4}（M＝{1，2，4，5，10，20}，N＝{1，2，3，4，6，8，12，24}） 3. {1，3，4}（U＝{0，1，2，3，4，5}，N中含0） 4. {3，6，9}；{6} 口令：逐题核对。第3题重点讲U中含0，漏了0补集就错；第2题让学生指出20与24的公共约数一共三个，与结果核对。 练一练（二）　数轴上的并、交、补 第 24 页 先画数轴，再写结果 1. 设A＝{x｜x＜-1}，B＝{x｜-3＜x≤2}，则A∪B＝（　　），A∩B＝（　　）。 2. 设全集U＝R，A＝{x｜x≥5}，则∁ᵤA＝（　　）。 3. 设A＝{x｜0≤x≤4}，B＝{x｜x＞4}，则A∩B＝（　　），A∪B＝（　　）。 4. 设全集U＝R，A＝{x｜-2＜x＜3}，B＝{x｜x≤0}，则A∩(∁ᵤB)＝（　　）。 口令：四题都要在草稿上画数轴，端点是空心还是实心必须画清楚。第4题按括号从里往外做，先求补集再求交集。 练一练（二）　参考答案 第 25 页 参考答案 1. {x｜x≤2}；{x｜-3＜x＜-1} 2. {x｜x＜5}（5属于A，所以补集取不到5） 3. ∅；{x｜x≥0}（4属于A，两段在4处相接） 4. {x｜0＜x＜3}（先得∁ᵤB＝{x｜x＞0}，再与A取重叠） 口令：核对时每题都点名问一次端点取不取得到。第3题讲清A∩B为空是因为4只属于A，而并集却在4处接上了，两者并不矛盾。 练一练（三）　性质辨析与逆向求集合 第 26 页 判断并填空 1. 判断：若A∩B＝∅，则A与B中至少有一个是空集。（　　） 2. 设A＝{x｜x是能被3整除的正整数}，B＝{x｜x是能被5整除的正整数}，则A∩B中最小的元素是（　　）。 3. 设全集U＝{x｜x是不大于15的正整数}，A＝{x｜x是不大于15的正偶数}，则∁ᵤA＝（　　）。 4. 已知A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}，A＝{1，2，3}，则B＝（　　）。 口令：第1题要举出一个具体的反例才算说清楚，只写一个叉不给分。第4题从A∩B与A∪B两个条件分别推出B中有什么、没有什么。 练一练（三）　参考答案 第 27 页 参考答案 1. ×（如A＝{1}，B＝{2}，交集为空但两个集合都不是空集） 2. 15（既能被3整除又能被5整除的正整数就是15的正倍数，3×5＝15） 3. {1，3，5，7，9，11，13，15} 4. {2，4}（由A∩B＝{2}知1∉B且3∉B，由A∪B中有4知4∈B） 口令：第2题讲清“同时能被3与5整除”就是“能被15整除”。第4题板书推理链：A∩B＝{2}管住了1与3不能进B，A∪B比A多一个4，这个4只能来自B。 随堂检测 第 28 页 独立完成 1. 设A＝{x｜x是12的正约数}，B＝{4，6，8}，则A∩B＝（　　）。 2. 设全集U＝R，A＝{x｜x≤-1}，B＝{x｜x＜2}，则∁ᵤA＝（　　），A∪B＝（　　）。 3. 设全集U＝{x∈N｜x≤7}，A＝{0，2，4，6}，B＝{1，2，3}，则∁ᵤ(A∪B)＝（　　）。 4. 已知集合A＝{x｜x≤a}，B＝{x｜-1≤x≤3}，且A∩B＝B，则实数a的取值范围是（　　）。 口令：6分钟独立完成，第3题动笔前先把全集写成列举法。第4题先把A∩B＝B翻译成包含关系再动笔。 随堂检测　答案与订正 第 29 页 参考答案 1. {4，6}（A＝{1，2，3，4，6，12}） 2. {x｜x＞-1}；{x｜x＜2}（A⊆B，所以并集就是B） 3. {5，7}（U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，A∪B＝{0，1，2，3，4，6}） 4. a≥3（A∩B＝B等价于B⊆A，B中最大的数是3，需要3≤a） 口令：同桌互批。第3题错的同学在题号旁写“漏0”或“漏7”，当堂订正。第4题提醒a＝3时B的右端点3恰好在A中，仍满足条件，端点取得到。 课堂小结 第 30 页 这节课我们学会了 1. 并集由属于A或属于B的元素组成，A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}，公共元素只写一次。 2. 交集由属于A且属于B的元素组成，A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}，没有公共元素时交集为空集。 3. 补集由全集U中不属于A的元素组成，∁ᵤA＝{x｜x∈U，且x∉A}，求补集前先写清全集。 4. 不等关系给出的集合一律上数轴：并集取合起来的范围，交集取重叠的部分，补集取没有涂到的部分。 记住 或用∪　且用∩　不属于用∁ᵤA　混合运算按括号从里往外做 口令：四条结论由四名学生接龙说完，再全班齐读“记住”框。最后点一句：集合的运算到此为止，后面要学的充分必要条件与全称量词、存在量词是另一条线。 课后作业 第 31 页 作业 1. 数学书第12页练习第1～4题：求出各组集合的交集与并集，第4题先把两个集合的含义读懂。 2. 数学书第13页练习第1、2题：求含补集的混合运算，动笔前先把全集写成列举法。 3. 数学书第14页习题1.3第1、2题：先化简再运算，第2题按括号从里往外做。 4. 选做：数学书第14页习题1.3第4题，四个结果都要画数轴，端点开闭逐个核对。 口令：前三项明天交，选做题下节课讲评。提醒第13页练习第3题的涂阴影图作为课堂补充，不列入书面作业。 谢谢观看 口令：下课前回扣一句——看见“或”想并集，看见“且”想交集，看见“不属于”先找全集。作业见前一页。 $