精品解析：河北张家口市宣化区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题（人教版）

宣化区2025—2026学年度第二学期期末考试 七年级数学试卷（人教版） 注意事项：1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为90分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 检查一枚运载火箭的各零部件 C. 调查某款节能灯的使用寿命 D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度 2. 的平方根是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 若，则 D. 对于直线a，b，c，如果，，那么 4. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 6. 数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 7. 已知点P（2a+4，3a-6）在第四象限，那么a的取值范围是（　 　） A. -2＜a＜3 B. a＜-2 C. a＞3 D. -2＜a＜2 8. 若与是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是（ ） A. 1 B. C. 2或 D. 4 9. 如图，，则满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：绳测井深．假若井不知深，先将绳三折入井，绳长五尺；后将绳四折入井，亦长二尺．问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份放入井中，那么一份绳子会比井深多5尺；若将绳子折成四等份放入井中，则一份绳子会比井深多2尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长m尺，井深n尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分，④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 在，，，，3.14，0.1212212221……中是无理数的个数有_______个 14. 比较大小：___________4． 15. 如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为_______． 16. 若是二元一次方程的一个解，则的值是________． 17. 如图1是常见的超市购物车，图2是其侧面示意图．已知，，若，，则的度数为________． 18. 已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程组及解不等式： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且． （1）求三角形平移的距离； （2）将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积． 21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在七年级开设“无人机”“创客”“”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占______； （3）若该校七年级共有600名学生，试估计选择“”课程的学生有多少名． 22. 补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （ ）， （ ）． ________（ ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （ ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （ ）． 23. 2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 （1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？ （2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 24. 【问题背景】综合与实践课上，某班数学老师提出了这样一个问题：如图，已知，，，之间存在怎样的数量关系？ 学生分小组讨论后，笃学小组提出可过点作直线的平行线，再利用平行线…… （1）请你根据笃学小组的思路解决老师的问题． （2）【迁移应用】求索小组把老师提出的问题进行了变式：如图2，已知，的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请你说明理由；如果不变，请你求出的度数． （3）【拓展探究】老师表扬了求索小组，并在求索小组的问题的基础上提出：若，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，请你直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣化区2025—2026学年度第二学期期末考试 七年级数学试卷（人教版） 注意事项：1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为90分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查中，最适宜全面调查的是（ ） A. 检测某城市的空气质量 B. 检查一枚运载火箭的各零部件 C. 调查某款节能灯的使用寿命 D. 调查观众对春节联欢晚会的满意度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了的普查和抽样调查，解题的关键是掌握普查适用于：事关重大、人命关天的；样本较小，方便调查的；对结果精确度要求高的；抽样调查适用于：数量巨大，不便于全面调查的；调查具有破坏性的．根据普查使用的情况，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、检测某城市的空气质量，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； B、检查一枚运载火箭的各零部件，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，符合题意； C、调查某款节能灯的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； D、调查观众对春节联欢晚会的满意度，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 2. 的平方根是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和平方根，解答的关键是熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 先将原式化简，然后求其平方根． 【详解】解：，3的平方根是， 故选：C． 3. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 若，则 D. 对于直线a，b，c，如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】运用对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到正确结论． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题； B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题； C．若，则或，例如满足但，因此C是假命题； D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，D是真命题． 4. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得直线平行，再由直线平行的性质求解即可． 【详解】解：记直线，与，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 若，则下列各式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 6. 数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（ ） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 7. 已知点P（2a+4，3a-6）在第四象限，那么a的取值范围是（　 　） A. -2＜a＜3 B. a＜-2 C. a＞3 D. -2＜a＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据点P在第四象限，可知横坐标是正数，纵坐标是负数，从而可得关于a的不等式组，解不等式组即可求得a的取值范围. 【详解】由题意得： ， 解得：-2＜a＜2， 故选D. 【点睛】本题考查了象限内点的符号特点，解一元一次不等式组，熟知各象限内点的符号特点是解题的关键. 8. 若与是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是（ ） A. 1 B. C. 2或 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质，熟知一个非负数的两个平方根互为相反数是解题的关键； 根据一个非负数的两个平方根互为相反数可得关于m的方程，解方程即可求出m，进而求解. 【详解】解：因为与是同一个数的两个不同的平方根， 所以， 解得：， 则这个数是：； 故选：D. 9. 如图，，则满足的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，如图，则，根据平行线的性质可得，进一步整理即得答案. 【详解】解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即在原图中有结论：； 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 10. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：绳测井深．假若井不知深，先将绳三折入井，绳长五尺；后将绳四折入井，亦长二尺．问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份放入井中，那么一份绳子会比井深多5尺；若将绳子折成四等份放入井中，则一份绳子会比井深多2尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长m尺，井深n尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，绳折三等份时每份长度比井深多5尺，折四等份时每份长度比井深多2尺，则每份长度等于井深加上多余尺数，进而即可列出方程组． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． ∵折三等份，每份长尺，比井深多5尺， ∴． ∵折四等份，每份长尺，比井深多2尺， ∴． ∴列方程组为， 故选D． 11. 如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分，④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断①；延长交于点，根据平行线的性质判断②；根据②的结论得出，即可判断③；进而根据邻补角判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴， 又， ∴， ∴平分，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，邻补角求角度，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 12. 关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 在，，，，3.14，0.1212212221……中是无理数的个数有_______个 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义以及求一个数的算术平方根， 由，再根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：， 在，，，，3.14，0.1212212221……中是无理数的有：，，0.1212212221……一共3个， 故答案为：3． 14. 比较大小：___________4． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据实数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查实数的大小比较，解答关键是熟练掌握比较方法：若，则． 15. 如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，由是长方形，则，再由平行线的性质即可得出，求出度数，由折叠的性质可得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 16. 若是二元一次方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解定义是解题的关键，注意整体思想的运用．根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，即可得到，再整体代入即可求得． 【详解】解：把代入二元一次方程，得， ∴． 故答案为：． 17. 如图1是常见的超市购物车，图2是其侧面示意图．已知，，若，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，过点E作， ，由可得，根据平行线的性质可得，进而求出，，进而利用邻补角求出． 【详解】解：如图，过点E作， ， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 18. 已知关于，的方程组和的解相同，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】两个方程组解相同，说明解是四个方程的公共解，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出的值，即可计算． 【详解】解：两个方程组的解相同， 公共解满足两个不含参数的方程， 联立得， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把、代入含的方程， 得：， 解得：， ． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程组及解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行解答即可． 【小问1详解】 解：， 得： ， 即， 解得， 将代入①得 ， 解得， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且． （1）求三角形平移的距离； （2）将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积． 【答案】（1）5 （2） 三角形和三角形如答图所示． 14 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，确定平移距离，利用网格求面积，准确确定平移方式为解题关键． （1）先确定出点A的坐标，再求平移距离即可； （2）由平移方式作图，再利用网格求面积即可． 【小问1详解】 解：由题意可得． 点的坐标为， 平移的距离为； 【小问2详解】 设线段平移至的过程中扫过的面积为， 则． 21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在七年级开设“无人机”“创客”“”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占______； （3）若该校七年级共有600名学生，试估计选择“”课程的学生有多少名． 【答案】（1）50； 补全条形统计图如图所示： （2）10 （3）240名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． （1）根据选择无人机课程的人数除以占比可求出参加问卷调查的人数，再求得“”课程的学生数，然后补全条形统计图即可； （2）直接列式计算求得“航模”课程所占的百分比； （3）用学生数乘以样本中“”课程所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为（名）， 选择“”课程的学生人数为（名）． 故答案为：50； 【小问2详解】 解：选择“航模”课程的学生占， 故答案为：10； 【小问3详解】 解：（名） 答：该校七年级学生选择“”课程的学生有240名． 22. 补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （ ）， （ ）． ________（ ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （ ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （ ）． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【详解】略． 23. 2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 （1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？ （2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 【答案】（1）种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元 （2）方案有三种，方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个 （3）该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元 【解析】 【分析】（1）根据表格中近两天的销售情况，设未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设模型数量，根据总进价上限、数量要求列不等式组，取整数解得到购买方案； （3）先算出单个利润，分别计算各方案利润，对比选出利润最大方案． 【小问1详解】 解：设种飞机模型的销售单价为元，种飞机模型的销售单价为元，由题意可得： ， 解得， 答：种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元； 【小问2详解】 解：设购入个种飞机模型，则购入个种飞机模型， 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴或或， ∴方案有三种： 方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个； 方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个； 方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个； 【小问3详解】 解：∵种飞机模型的单个利润为：（元）， 种飞机模型的单个利润为：（元）， ∴方案1的总利润为：（元）， 方案2的总利润为：（元）， 方案3的总利润为：（元）， ∵， ∴该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元． 24. 【问题背景】综合与实践课上，某班数学老师提出了这样一个问题：如图，已知，，，之间存在怎样的数量关系？ 学生分小组讨论后，笃学小组提出可过点作直线的平行线，再利用平行线…… （1）请你根据笃学小组的思路解决老师的问题． （2）【迁移应用】求索小组把老师提出的问题进行了变式：如图2，已知，的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请你说明理由；如果不变，请你求出的度数． （3）【拓展探究】老师表扬了求索小组，并在求索小组的问题的基础上提出：若，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，请你直接写出的度数． 【答案】（1） （2）不发生变化， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，结合角度关系推导即可； （2）过点作，利用角平分线定义，结合（1）的结论进行角度换算，说明为定值； （3）在固定的前提下，结合（2）的结论，利用，分点的两种位置分类讨论求的度数． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∴， ，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， 由（1）得， ， ； 【小问3详解】 解：如图， ，是的平分线， ， 由（2）得， 在中，， ， 在中，， ， 是的平分线， ，， 如图，当点在点的左边时， ， ， ， ， 在中，； 如图，当点在点的右边时， ， ， ， ， 在中，； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $