精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年七年级上学期数学开学收心练习

数学 一、填空题（本大题共14空，前4空每空2分，后10空每空3分，共38分） 1. 某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 【答案】520 【解析】 【分析】设洋葱批发了千克，根据三种蔬菜总重量和各重量的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设洋葱批发了千克，则西红柿批发了千克，辣椒批发了千克， 根据题意，可列方程， 解得， 则， 所以西红柿批发了520千克． 2. 一个分数，若分母减，化简后得，若分子加，化简后得，这个分数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设所求分数为，根据题意列出两个等式，联立求解即可得到分子分母的值． 【详解】解：设这个分数为， 因为分母减1，化简后得， 所以， 交叉相乘并整理得，， 因为分子加，化简后得， 所以， 交叉相乘并整理得，， 所以， 解得， 将代入，得， 所以这个分数为． 3. 有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米，两车同向而行，客车赶超货车（从客车车头追上到车尾完全超过）需要的时长是_____秒． 【答案】 【解析】 【分析】客车从车头追上到车尾完全超过货车时，客车比货车多行驶的总路程等于两车长度之和，利用路程差除以速度差即可求出时长． 【详解】解：∵客车赶超货车过程中，客车比货车多行驶的路程为两车长度之和， ∴总路程差为（米）． ∵两车同向行驶，速度差为客车速度减去货车速度， ∴速度差为（米/秒）， ∴所需时长为（秒）． 4. 课外兴趣小组要制作一批卡通图片，如果每天做30个，则要比计划晚12天完成，如果每天做40个，就可以提前4天完成，那么这批卡通图片共有_____个． 【答案】1920 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据（盈+亏）除以两次做的个数差求出计划做的天数成为解题的关键． 如果每天多做个，则可把原来晚12天做的个做完，还能提前4天完成，就是每天多做10个，可以在规定天数内多做个，据此可求出计划完成的天数．进而可求出这批卡片的个数即可． 【详解】解： = 天； ） 个． 答：这批卡通图片共有1920个． 故答案为：1920． 5. 有A、B两组数，每组都按一定规律排列着，并且每组各有26个数，A组数中前几个数是这样排列的：1、6、11、16、21；B组数中最后几个数是这样排列的：110、115、120、125、130．那么，A、B两组数中所有数的和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】A组依次增加，B组也依次增加，A组第1个数与B组倒数第1个数的和为131，A组第2个数与B组倒数第2个数的和为131，利用这个规律即可计算总和． 【详解】解：组依次增加，组也依次增加， A组第1个数与B组倒数第1个数的和为131，A组第2个数与B组倒数第2个数的和为131， 由此类推且两组都有26个数， 所有数的和为． 6. 一艘小船逆水而上，突然，船上一只小鸭落入水中顺流往下漂，船行5分钟后船夫才发现，立马一边呼唤鸭子，一边掉头行驶，小鸭听到呼唤后，也往船的方向游过来，已知鸭子在静水中的游速是船在静水中的速度的，船掉头后_____分钟遇到鸭子． 【答案】 【解析】 【分析】设出船速，水速，先计算发现鸭子掉落时船和鸭子的距离，再利用相遇关系列方程求解，水流速度会在计算中消去． 【详解】解：设船在静水中的速度为，则鸭子在静水中的游速为，设水流速度为，设船掉头后分钟追上鸭子， 因为前分钟内，船逆水行驶，鸭子顺流漂流， 所以分钟后船的路程为：，鸭子的路程为：， 此时船与鸭子的距离为：， 掉头后，船顺水向下行驶，速度为，鸭子向船方向逆水向上游动，速度为，因为相遇时两者位置相同， 所以， 整理方程得：， 解得． 7. 甲、乙两个油桶中各装了15千克油，售货员在售出14千克油后对两个油桶中的油进行了重新分配．他先把甲桶中的一部分油倒入乙桶中，使乙桶中的油增加了5千克，然后又把乙桶中的一部分油倒回甲桶中，使甲桶中的油增加了一倍．这时，甲桶中的油恰好是乙桶中的油的7倍，原来甲桶售出了_____千克油． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算售出后剩余总油量，根据最后甲乙的倍数关系求出最终油量，再从后往前倒推还原，得到分配前甲桶剩余油量，即可求出甲售出的油量． 【详解】解：售出后剩余总油量：（千克）， 因为最后甲桶中的油是乙桶中油的倍，总油量不变， 所以最后乙桶油量为：（千克），甲桶油量为：（千克）， 倒推第二步， 因为乙倒出油给甲后，甲增加一倍后是千克， 所以倒油前甲桶油量为：（千克），此时乙桶油量为：（千克）， 倒推第一步， 因为甲倒出油给乙后，乙增加千克后是千克， 所以倒油前乙桶油量为：（千克），此时甲桶油量为：（千克）， 所以甲桶售出的油量为：（千克）． 8. 张良沿一公路徒步，速度为每小时千米．沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他，每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是_____． 【答案】18分钟 【解析】 【分析】公共汽车车速和发车间隔都相等，因此相邻两辆同向公共汽车的距离相等；车从后面超过行人是追及问题，追及路程等于相邻两车的间隔距离，等于速度差乘追及时间；迎面遇到车是相遇问题，相遇路程等于相邻两车的间隔距离，等于速度和乘相遇时间；据此列方程求出公共汽车车速，再计算发车间隔即可． 【详解】解： 36分钟小时，12分钟小时， 设公共汽车的速度为每小时千米， 追及路程等于相邻两车的间隔距离，相遇路程也等于相邻两车的间隔距离， 可得 ， 即公共汽车速度为每小时千米， 相邻两车的间隔距离：（千米）， 发车间隔：（小时）， 小时分钟， 即公共汽车发出时间间隔是18分钟． 9. 两个杯子中分别装有浓度为与的食盐水，倒在一起混合后，浓度是，若再加入300克的食盐水，则浓度变为，那么原来有的食盐水_____克． 【答案】200 【解析】 【分析】根据混合前后甲乙盐水的浓度变化求出甲乙盐水的重量比，根据三种盐水混合前后的浓度变化得出甲乙混合后的盐水和丙盐水的重量比，从而得出甲乙盐水的总重量，即可解答． 【详解】解：甲盐水和乙盐水的重量比是， 甲乙混合后的盐水和丙盐水的重量比是， 所以甲盐水和乙盐水等于丙盐水的重量300克， ， （克）． 答：原来有的食盐水200克． 10. 有一个蓄水池装有根水管，其中一根为进水管，其余根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把根出水管全部打开，需小时把池内的水全部排光；如果仅打开根出水管，需小时把池内的水全部排光．问要想在小时内把池内的水全部排光，需同时打开_____根出水管． 【答案】 【解析】 【分析】设每根出水管每小时排水量为份，通过两种排水情况的差值求出进水管每小时进水量，再计算池内原有水量，最后计算小时排光水需要的出水管数量． 【详解】解：设打开一根出水管每小时可排出水份， 因为把根出水管全部打开，需小时把池内的水全部排光， 所以总排水量为（份）， 因为仅打开根出水管，需小时把池内的水全部排光， 所以总排水量为（份）， 所以小时内进水管放进的水量为（份）， 所以进水管每小时的进水量为（份）， 所以池内原有水量为（份）， （根） 所以需同时打开根出水管． 11. 如果一个自然数中至少有两个数字，且每个数字大于其左边的每个数字，则称这个数是“上升数”．从1，2，3，4，5，6这6个数字中选取2至6个的不同数字组成的两位数至六位数中的“上升数”共有_____个． 【答案】 【解析】 【分析】根据上升数定义，任意选出至少个不同数字，按从小到大排列后得到唯一的上升数，因此问题转化为计算从个数字中选到个数字的组合数之和． 【详解】解：∵上升数要求每个数字都大于其左边的每个数字， ∴选出任意个不同数字后，只有种排列方式符合要求，即按从小到大顺序排列，所有上升数的个数等于对应组合数之和， 当为六位数时，个数为个（123456）； 当为五位数时，个数为6个（六位数分别去掉一位）， 当为四位数时，个数为： (五位中去掉一位，得到的四位数都可以有两个不同的五位数去一位得到，所以需要除以2)； 当为三位数时，1开头的有：个， 2开头的有：个， 3开头的有：个， 4开头的有：1个， 即当为三位数时，共有：个， 当为两位数时，个数为； 将所有个数相加得： ． 12. 甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触．3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外．则水深是_____厘米． 【答案】60 【解析】 【分析】根据三根木棒露出水面的比例，分别求出三根木棒长度对应水深的分率，再用总长度除以总分率即可求出水深． 【详解】解：∵ 甲木棒有露在水面外，甲水下部分长度等于水深， ∴ 甲水下部分占自身总长的，甲的总长是水深的（倍）． ∵ 乙木棒有露在水面外，乙水下部分长度等于水深， ∴ 乙水下部分占自身总长的，乙的总长是水深的（倍）． ∵ 丙木棒有露在水面外，丙水下部分长度等于水深， ∴ 丙水下部分占自身总长的，丙的总长是水深的（倍）． 又∵三根木棒总长度为480厘米， ∴水深为：（厘米）． 13. 有名小矮人排成一列，给每一名小矮人戴上红色或蓝色的帽子；戴红帽子的小矮人一直说真话，而戴蓝帽子的小矮人一直说假话．然后每一名小矮人都说了“我旁边没人戴红帽子”，那么最多有_____名小矮人戴蓝帽子． 【答案】 【解析】 【分析】要使戴蓝帽子的小矮人最多，需满足红帽子说真话、蓝帽子说假话的条件，推导出红帽不相邻，任意连续蓝帽不超过个，计算最多蓝帽数量即可． 【详解】解：首先整理条件： ∵戴红帽的人说真话， ∴任意红帽旁边不能有红帽，即任意两个红帽不相邻； ∵戴蓝帽的人说假话， ∴任意蓝帽旁边至少有一个红帽． 假设放个戴红帽的人，则红帽两边必须是蓝帽，即：蓝 红 蓝， ∴每人一组：蓝红 ，（组）（人）， 此时共红，蓝，剩第人． 如果第人放蓝帽，即【蓝红蓝】【蓝红蓝】【蓝红蓝】【蓝红蓝】【蓝红蓝】蓝× 则最后这个蓝帽左边也只有蓝帽，旁边没有红帽，不符合蓝帽条件； ∴第人只能放红帽，红帽相邻位置必须都是蓝帽， 即【蓝红蓝】【蓝红蓝】【蓝红蓝】【蓝红蓝】【蓝红蓝】红√ 验证此时个蓝帽的可行排列，满足所有条件，所有红帽旁边无红帽，所有蓝帽旁边都有红帽，因此最多有名小矮人戴蓝帽子． 14. 如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是_____（） 【答案】 【解析】 【分析】小圆盘扫过的面积由两部分组成：一部分是内半径为、外半径为的圆环，另一部分是起始和终止位置的两个半圆（合起来是一个完整的小圆）． 【详解】解：大圆盘半径为，小圆盘直径为， 小圆盘扫过区域的外圆半径为， 圆环的面积为：， 起始和终止位置的两个半圆面积之和等于一个小圆盘面积，即， 小圆盘运动过程中扫过的总面积为． 二、计算题（每题3分，共21分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消法拆分每一项，抵消中间重复项后简化计算即可． 【详解】解： ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】把、分成相邻两正整数的倒数差的形式，再计算即可得到答案． 【详解】解： 18. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数的运算，掌握乘法分配律的逆运算是解题的关键． 【详解】解： ． 19. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分数的混合运算，直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 20. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分数四则混合运算；重点考查分数四则混合运算的顺序和运算技巧，根据分数的拆分进行简算.先把分数化成分子是1的分数，再利用拆项法计算. 【详解】解： 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解： 整理，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 三、解答题（本大题共6小题，每小题各5、6、8、10分，共41分）写主要步骤和结果． 22. 求如图图形中阴影部分的周长和面积．（取） 【答案】周长为，面积为 【解析】 【分析】根据题意，得图形中阴影部分的周长为正方形的周长与圆周长的2倍，面积为正方形的面积与圆的面积的差的2倍，解答即可． 【详解】解：根据题意，得阴影部分的周长为：， 阴影部分的面积为：． 23. 一个水果商从外地运回千克苹果，进价是每千克元，运费及其他支出是元．售完这批水果要损耗，如果要不亏本，每千克苹果至少应卖多少元？如果每千克苹果卖元，这个水果商卖完这批苹果可盈利多少元？ 【答案】每千克苹果至少应卖元，这个水果商卖完这批苹果可盈利元 【解析】 【分析】先计算出总成本，再计算出损耗后的苹果总千克数，即可求出至少应卖的钱数；求出每千克盈利的钱数，再乘苹果的总千克数，即可得到盈利钱数． 【详解】）解：总成本（元）， 实际销售数量（千克）， 每千克苹果至少卖：（元）， 答：如果要不亏本，每千克苹果至少应卖元， （元）， 答：这个水果商卖完这批苹果可盈利元． 24. 一列快车和一列慢车分别从，两地同时相对开出，小时相遇，相遇后两车继续行驶小时，这时快车距地还有全程的，慢车共行驶千米，求，两地相距多少千米？ 【答案】，两地相距千米． 【解析】 【分析】由相遇时间得两车速度和对应全程的分率，结合快车总行驶时间与剩余路程分率求快车速度分率，进而得慢车速度分率，根据慢车总路程计算全程． 【详解】解：两车5小时相遇， 两车小时一共行驶全程的． 相遇后两车继续行驶小时， 快车共行驶（小时）． 此时快车距地还有全程的， 快车小时行驶了全程的， 快车小时行驶全程的， 慢车小时行驶全程的． 慢车共行驶小时，路程为千米， 慢车小时行驶了全程的， ，两地相距（千米）． 答：，两地相距千米． 25. 为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打折售票，部分购票信息如下表， 非节假日 节假日 团队人数（人） 购买门票款（元） （1）分别求出，的值； （2）某旅行社导游王非于月日（节假日）带团，月日（非节假日）带团都到该景区旅游，共付门票款元，，两个团队合计人，求，两个团队各有多少人？ 【答案】（1）， （2）团有人，团有人 【解析】 【分析】（1）根据购票信息中的人数和购买门票款，结合题目给出的门票单价计算即可． （2）设团有人，团有人，结合（1）中计算结果和题目中购票的规则，分类讨论和两种情况，分别计算即可． 【小问1详解】 解：根据购票信息可知，非节假日人，购买门票款为元 ∴门票单价为 ∵门票定价为元/人，非节假日打折售票 ∴ 解得． 节假日按团队人数分段定价售票，根据购票信息可知，节假日人，购买门票款为元，根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：设团有人，团有人 ∵团在节假日，根据节假日购票规则分以下两种情况 当时， 整理得 解得 不满足条件，舍去． 当时， 整理得 解得 满足条件， ∴团有人，团有人． 26. （工程问题）有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做．原计划按甲、乙、丙的次序轮流做，恰好整数天完成．如果按乙、丙、甲的次序轮流做，比原计划多用天；如果按丙、甲、乙的次序轮流做，比原计划多用天．已知甲单独做13天完成，且3个工程队的工效各不相同．这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完成？ 【答案】天 【解析】 【分析】本题主要考查了分数混合计算的实际应用，按甲、乙、丙次序轮流做，恰好整天完工，其余两个方案都不是整天完工，那么甲、乙、丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结束，丙结束就是整数周期．所以按两种情况分析：第一种情况是甲结束，第二种情况是乙结束，两种情况分别用甲的工作效率表示出乙、丙的工作效率即可得到答案． 【详解】解：按甲、乙、丙次序轮流做，恰好用整数天完成，说明按甲、乙、丙次序轮流做就不是丙结尾，一定是甲或者是乙结尾， 当按甲、乙、丙次序轮流做，以甲结尾时，甲的工作效率乙的工作效率丙的工作效率，甲的工作效率丙的工作效率甲的工作效率， 所以丙的工作效率乙的工作效率甲的工作效率，故此种情况不符合题意； 当按甲、乙、丙次序轮流做，以乙结尾时，甲的工作效率乙的工作效率乙的工作效率丙的工作效率甲的工作效率，甲的工作效率乙的工作效率丙的工作效率甲的工作效率乙的工作效率， 所以丙的工作效率甲的工作效率，乙的工作效率甲的工作效率， 因为甲单独做13天完成， ∴甲的工作效率为，丙的工作效率为，乙的工作效率为， 天， 答：这项工程由甲、乙、丙合作要天． 27. 材料题： 材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余． 材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数． （1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除． （2）一个四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数对3同余，求这个四位k阶数． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）1357或5432或8765． 【解析】 【分析】（1）根据题目已知关系，表示四位阶梯数数字，即可得出结论； （2）先判断出7k-10m-2是11的倍数，再分两位数对3的余数为1或2两种情况，求出m和a的可能值，再代入判断7k-10m-2是否是11的倍数，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k， 则该四位阶梯数表示为：n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k）， 它与个位数的差为：n+10（n+k）+100（n+2k）+1000（n+3k）﹣n ＝n+10n+10k+100n+200k+1000n+3000k﹣n ＝1110n+3210k＝6（185n+535k） ∵6（185n+535k）是6的倍数， ∴6（185n+535k）能被6整除． 即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除； （2）设四位k阶数的个位数字为a，则十位数字为（a+k）， 百位数字为（a+2k），千位数字为（a+3k），万位数字为（a+3k）， 则四位k阶数为1000（a+3k）+100（a+2k）+10（a+k）+a＝1111a+3210k， 则四位k阶数的两倍与两位数的差为： 2（1111a+3210k）﹣（10m+2）＝11（101a+583k）+7k﹣10m﹣2， 而四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除， ∴7k﹣10m﹣2是11的倍数， ∵两位数对3余数为1或2， ①、当两位数对3的余数为1时， ∵1≤m≤6的整数， ∴m＝2或m＝5， ∵四位k阶数和两位数对3同余 ∴四位k阶数为1111a+3210k对3的余数为1， ∵1111a+3210k＝3（370a+1070k）+a， ∴a＝1或4或7 Ⅰ、当a＝1时，四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+1111， ∴1000≤3210k+1111≤9999， ∵k为非0整数， ∴k＝1或2， 当m＝2时，7k﹣10m﹣2＝﹣15或﹣8，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝5时，7k﹣10m﹣2＝﹣45或﹣38，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， Ⅱ、当a＝4时，四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+4444， ∴1000≤3210k+4444≤9999， ∵k为非0整数， ∴k＝﹣1或1， 当m＝2时，7k﹣10m﹣2＝﹣29或﹣15，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝5时，7k﹣10m﹣2＝﹣59或﹣45，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， Ⅲ、当a＝7时，四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+7777， ∴1000≤3210k+7777≤9999， ∵k为非0整数， ∴k＝﹣1或﹣2， 当m＝2时，7k﹣10m﹣2＝﹣29或﹣36，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝5时，7k﹣10m﹣2＝﹣59或﹣66， ∴当a＝7，k＝﹣1，m＝5时，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当a＝7，k＝﹣2，m＝5时，7k﹣10m﹣2是11的倍数， 即：四位k阶数为1111a+3210k＝1357； ②当两位数对3是余数为2时， ∵1≤m≤6的整数， ∴m＝1或m＝3或6， ∵四位k阶数和两位数对3同余 ∴四位k阶数为1111a+3210k对3的余数为2， ∵1111a+3210k＝3（370a+1070k）+a， ∴a＝2或5或8， Ⅰ、当a＝2时，四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+2222， ∴1000≤3210k+2222≤9999， ∵k为非0整数， ∴k＝1或2， 当m＝1时，7k﹣10m﹣2＝﹣5或2，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝3时，7k﹣10m﹣2＝﹣25或﹣18，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝6时，7k﹣10m﹣2＝﹣55或﹣48， ∴当a＝2，k＝2，m＝6时，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当a＝2，k＝1，m＝6时，7k﹣10m﹣2是11的倍数， 即：四位k阶数为1111a+3210k＝5432； Ⅱ、当a＝5时，四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+5555， ∴1000≤3210k+5555≤9999， ∵k为非0整数， ∴k＝1或﹣1， 当m＝1时，7k﹣10m﹣2＝﹣5或﹣19，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝3时，7k﹣10m﹣2＝﹣25或﹣39，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝6时，7k﹣10m﹣2＝﹣55或﹣69， ∴当a＝5，k＝﹣1，m＝6时，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当a＝5，k＝1，m＝6时，7k﹣10m﹣2是11的倍数， 即：四位k阶数为1111a+3210k＝8765； Ⅲ、当a＝8时，四位k阶数为1111a+3210k＝3210k+8888， ∴1000≤3210k+8888≤9999， ∵k为非0整数， ∴k＝﹣1或﹣2， 当m＝1时，7k﹣10m﹣2＝﹣19或﹣26，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝3时，7k﹣10m﹣2＝﹣39或﹣46，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 当m＝6时，7k﹣10m﹣2＝﹣69或﹣76，7k﹣10m﹣2不是11的倍数，不符合题意， 综上所述，满足条件的四位k阶数为1357或5432或8765． 【点评】本题主要考查了整除问题，新定义，解不等式组，用分类讨论的思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、填空题（本大题共14空，前4空每空2分，后10空每空3分，共38分） 1. 某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 2. 一个分数，若分母减，化简后得，若分子加，化简后得，这个分数是_____． 3. 有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米，两车同向而行，客车赶超货车（从客车车头追上到车尾完全超过）需要的时长是_____秒． 4. 课外兴趣小组要制作一批卡通图片，如果每天做30个，则要比计划晚12天完成，如果每天做40个，就可以提前4天完成，那么这批卡通图片共有_____个． 5. 有A、B两组数，每组都按一定规律排列着，并且每组各有26个数，A组数中前几个数是这样排列的：1、6、11、16、21；B组数中最后几个数是这样排列的：110、115、120、125、130．那么，A、B两组数中所有数的和是_____． 6. 一艘小船逆水而上，突然，船上一只小鸭落入水中顺流往下漂，船行5分钟后船夫才发现，立马一边呼唤鸭子，一边掉头行驶，小鸭听到呼唤后，也往船的方向游过来，已知鸭子在静水中的游速是船在静水中的速度的，船掉头后_____分钟遇到鸭子． 7. 甲、乙两个油桶中各装了15千克油，售货员在售出14千克油后对两个油桶中的油进行了重新分配．他先把甲桶中的一部分油倒入乙桶中，使乙桶中的油增加了5千克，然后又把乙桶中的一部分油倒回甲桶中，使甲桶中的油增加了一倍．这时，甲桶中的油恰好是乙桶中的油的7倍，原来甲桶售出了_____千克油． 8. 张良沿一公路徒步，速度为每小时千米．沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他，每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是_____． 9. 两个杯子中分别装有浓度为与的食盐水，倒在一起混合后，浓度是，若再加入300克的食盐水，则浓度变为，那么原来有的食盐水_____克． 10. 有一个蓄水池装有根水管，其中一根为进水管，其余根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把根出水管全部打开，需小时把池内的水全部排光；如果仅打开根出水管，需小时把池内的水全部排光．问要想在小时内把池内的水全部排光，需同时打开_____根出水管． 11. 如果一个自然数中至少有两个数字，且每个数字大于其左边的每个数字，则称这个数是“上升数”．从1，2，3，4，5，6这6个数字中选取2至6个的不同数字组成的两位数至六位数中的“上升数”共有_____个． 12. 甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触．3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外．则水深是_____厘米． 13. 有名小矮人排成一列，给每一名小矮人戴上红色或蓝色的帽子；戴红帽子的小矮人一直说真话，而戴蓝帽子的小矮人一直说假话．然后每一名小矮人都说了“我旁边没人戴红帽子”，那么最多有_____名小矮人戴蓝帽子． 14. 如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是_____（） 二、计算题（每题3分，共21分） 15. 计算： 16. 计算： 17. 计算： 18. 19. 20. 21. 解方程： 三、解答题（本大题共6小题，每小题各5、6、8、10分，共41分）写主要步骤和结果． 22. 求如图图形中阴影部分的周长和面积．（取） 23. 一个水果商从外地运回千克苹果，进价是每千克元，运费及其他支出是元．售完这批水果要损耗，如果要不亏本，每千克苹果至少应卖多少元？如果每千克苹果卖元，这个水果商卖完这批苹果可盈利多少元？ 24. 一列快车和一列慢车分别从，两地同时相对开出，小时相遇，相遇后两车继续行驶小时，这时快车距地还有全程的，慢车共行驶千米，求，两地相距多少千米？ 25. 为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，门票定价为元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打折售票，部分购票信息如下表， 非节假日 节假日 团队人数（人） 购买门票款（元） （1）分别求出，的值； （2）某旅行社导游王非于月日（节假日）带团，月日（非节假日）带团都到该景区旅游，共付门票款元，，两个团队合计人，求，两个团队各有多少人？ 26. （工程问题）有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮流做．原计划按甲、乙、丙的次序轮流做，恰好整数天完成．如果按乙、丙、甲的次序轮流做，比原计划多用天；如果按丙、甲、乙的次序轮流做，比原计划多用天．已知甲单独做13天完成，且3个工程队的工效各不相同．这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完成？ 27. 材料题： 材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余． 材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差（高位数字减去低位数字）均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k（k≠0）时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数． （1）证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除． （2）一个四位k阶数的两倍与两位数的差能被11整除（1≤m≤6），且这个四位k阶数和两位数对3同余，求这个四位k阶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $