河南省商丘市第一高级中学2026-2027学年高二上学期第一次限时练数学试题

《2026—2027学年度高二年级上学期第一次限时练》数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D C C B AC BD 题号 11 答案 ABD 12．5； 13． 14．且 15．（1）因为，且，所以可设，， 所以，解得，所以或． （2）因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 16．（1）；（2）． （1）由题意，中，满足，根据正弦定理，可得，因为，可得，所以，又由，解得，，又因为，所以． （2）因为若边上的中线，可得，即， 即 所以，当且仅当时成立．故面积的最大值为． 17．（1） （2） 解：（1）该局至多打4个球且甲赢的情况有3种， 甲赢前2个球；甲输第1个球再连赢球；甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球； 故该局至多打4个球且甲赢的概率为． （2）若甲胜，则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜，则甲胜的概率 ， 若乙胜，则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负，则乙胜的概率 所以该局恰好打6个球结束的概率． 18．（1）73分合理 （2） （3）22.25 （1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，， 解得，又，解得，所以，， 成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，设第60百分位数为，则，解得，所以晋级分数线划为73分合理： （2）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，，则所有的抽样有：，共15个样本点，“抽到的两位同学来自不同小组”，则共8个样本点，所以． （3）因为，所以，所以， 所以，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，，， 平均数与标准差分别为，，则剩余8个分数的平均数：， 方差： 19．（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面． （2）过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面，因为平面，所以， ，，平面，所以平面， 所以为与平面所成角．在中，因为，， 所以 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以与平面所成角的余弦值为． （3）取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以，， 因为平面，所以平面，平面． 所以，过点作，垂足为，连接， ，，平面，所以平面． 平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，所以， 由（1）知，平面，平面．所以，在中，， 由（2）知，，即，解得． 因为平面，平面，所以，在中， ，所以， 即二面角的平面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级上学期第一次限时练 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1．（暑假作业卷五3）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数有唯一零点，则实数（ ） A． B． C． D． 6．（课本41页1）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A． B． C． D． 7．（暑假作业三8）定义域为的偶函数满足，有，且当时，．若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，平面，，，是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A．若在复平面对应的点位于第二象限，则 B．若为纯虚数，则 C．的最小值为 D．存在，使与互为共轭复数 10．（暑假作业卷十五11改编）若实数，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11．（暑假作业卷七10）正方体的棱长为，下列结论正确的是（ ） A．若在棱上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B．若在棱上运动，则三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．若在内（包含边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（暑假作业卷八12改编）现有一组数据4，6，3，3，2，4，6，7，4，1，则这组数据的第70百分位数为__________． 13．（暑假作业卷六15改编）已知是关于的实系数方程的一个根，则__________． 14．已知向量，，若向量与所成的角为锐角，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（暑假作业卷十15）（13分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 16．（暑假作业卷十二16改编）（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若边上的中线，求三角形面积的最大值． 17．（暑假作业卷八18）（15分）甲、乙两位队员进行棒球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，则对抗赛结束．不论谁发球，每个球必有输赢．已知甲发球时甲赢的概率为，乙发球时乙赢的概率为，每次发球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局至多打4个球且甲赢的概率； （2）求该局恰好打6个球结束的概率． 18．（暑假作业卷十一16改编）（17分）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积．请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19．（暑假作业卷十四19）（17分）已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若点为的中点，求与平面所成角的余弦值． （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $