精品解析：广西壮族自治区南宁市天桃实验学校2026—2027学年上学期八年级九月单元作业数学试题

2026－2027学年度秋季学期八年级九月单元作业 数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列生活现象属于平移的是（ ） A. 足球在草地上滚动 B. 把打开的课本合上 C. 拉开有卡槽的抽屉 D. 钟摆的摆动 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况，采用抽样调查方式 B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C. 调查某种品牌笔芯的使用寿命，采用全面调查方式 D. 调查某电视节目的收视率，采用全面调查方式 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 同位角相等 D. 相等的角是对顶角 6. 把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A. B. C. D. 7. 画的边上的高，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 《孙子算经》记载：今有人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿所在直线向右平移，，，的对应点分别为，，，存在两个时刻，使得，则这两个时刻的差为（ ） A. 2秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 8秒 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 8的立方根是________． 14. “的3倍大于4”用不等式表示为________． 15. 如图，点在直线上，．若，则的度数为______． 16. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 18. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形，其中，，的对应点分别为，，． （1）写出，，的坐标，并画出三角形； （2）已知点在轴上，且的面积是，求点坐标． 19. 为进一步激发青少年对航天科技的兴趣，传承航天精神，某校举办了“我的太空梦”主题系列活动，活动安排如下五个项目：：航模制作；：征文比赛；：航天员进校园；：知识竞赛；：太空画创作比赛．为了解同学们对这些项目的意向情况，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成统计图如下．请根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）被抽查的总人数为_____人，并把频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______； （3）该校共有名学生，请你估计该校想参加项目活动的学生人数． 20. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 综合与实践： 在南宁市交警以“生命，幸‘盔’，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进50个高质量的既安全又防晒的头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：头盔80元/个，手套20元/副，现有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电动自行车店计划购买50个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费______元． （2）电动自行车店计划购买50个安全头盔和副手套（）． 若选择方案一购买，需要花费______元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费______元（用含的代数式表示）． （3）经理想购买50个安全头盔和副手套（），应该如何选择购买方案更省钱？ 22. 定义：在平面直角坐标系中，点和点坐标满足，则称点、互为“友好点”． （1）若点为，则它的“友好点”坐标为______； （2）已知点与点互为“友好点”，且，求满足条件的整数的值． 23. 如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． （1）如图，平分，平分，若，求的度数． （2）如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． （3）如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度秋季学期八年级九月单元作业 数学试题 （时间：120分钟 总分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． ， 最大的实数是． 2. 下列生活现象属于平移的是（ ） A. 足球在草地上滚动 B. 把打开的课本合上 C. 拉开有卡槽的抽屉 D. 钟摆的摆动 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； B．把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； C．拉开有卡槽的抽屉符合平移的定义，属于平移，故本选项正确； D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 了解某地区饮用水矿物质含量的情况，采用抽样调查方式 B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C. 调查某种品牌笔芯的使用寿命，采用全面调查方式 D. 调查某电视节目的收视率，采用全面调查方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、了解某地区饮用水矿物质含量的情况，采用抽样调查方式，故本选项符合题意； B、旅客上飞机前的安检查，适宜采用全面调查，故本选项不符合题意； C、调查某种品牌笔芯的使用寿命，采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； D、调查某电视节目的收视率，采用抽样调查的方式，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，各象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：根据第二象限为可知，点位于第二象限， 故选：B． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 同位角相等 D. 相等的角是对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解决本题的关键是判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据对顶角、平行线的性质、平方的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、如果，则，成立，该选项符合题意； B、如果，则，不一定，该选项不符合题意； C、同位角相等的前提是两直线平行，该选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，该选项不符合题意． 故选A． 6. 把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 7. 画的边上的高，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【详解】解：根据三角形的高的定义可知，C选项表示的边上的高， 故选：C 8. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意得，利用平行线的性质得到，再利用邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ， ， ． 故选：C． 9. 已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键． 10. 《孙子算经》记载：今有人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，明确题意，找到等量关系是解题的关键． 根据等量关系——“若每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；若每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 11. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为：2，3，4， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组． 12. 如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿所在直线向右平移，，，的对应点分别为，，，存在两个时刻，使得，则这两个时刻的差为（ ） A. 2秒 B. 4秒 C. 6秒 D. 8秒 【答案】B 【解析】 【分析】分以下两种情况讨论当点移到点右侧时，当点在点，点之间时；据此求解即可． 【详解】解：当点移到点右侧时，如下图 由平移的性质得，， ， ， ， （秒）； 当点在点，点之间时，如下图 ， ， ， ， （秒）； 则这两个时刻的差为（秒）． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 14. “的3倍大于4”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意选准不等号列出不等式即可． 【详解】由题意可得，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 15. 如图，点在直线上，．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 16. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，求不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先算绝对值，乘方和开方，再算加减； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式． （2） 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． 18. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形，其中，，的对应点分别为，，． （1）写出，，的坐标，并画出三角形； （2）已知点在轴上，且的面积是，求点坐标． 【答案】（1），，， 作图如下： （2）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查的是作图平移变换，坐标系中的面积问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）利用向右平移个单位，再向上平移个单位，即横坐标加，纵坐标加，即可得到坐标，再画图即可； （2）由点在轴上，得出点坐标为，再利用的面积是，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形， ∴，，． 【小问2详解】 解：∵点在轴上， ∴点坐标为， ∵的面积是， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． 19. 为进一步激发青少年对航天科技的兴趣，传承航天精神，某校举办了“我的太空梦”主题系列活动，活动安排如下五个项目：：航模制作；：征文比赛；：航天员进校园；：知识竞赛；：太空画创作比赛．为了解同学们对这些项目的意向情况，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成统计图如下．请根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）被抽查的总人数为_____人，并把频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______； （3）该校共有名学生，请你估计该校想参加项目活动的学生人数． 【答案】（1），补全频数分布直方图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数及组所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去，，，组的人数，即可求出组人数，再补全统计图即可； （2）乘以组所占总人数的比值即可； （3）用乘以组所占总人数的比值即可． 【小问1详解】 解：被抽查的总人数为（人）， 组的人数为（人）； 【小问2详解】 “”所对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 该校想参加项目活动的学生人数有（人）． 20. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 21. 综合与实践： 在南宁市交警以“生命，幸‘盔’，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进50个高质量的既安全又防晒的头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：头盔80元/个，手套20元/副，现有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电动自行车店计划购买50个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费______元． （2）电动自行车店计划购买50个安全头盔和副手套（）． 若选择方案一购买，需要花费______元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费______元（用含的代数式表示）． （3）经理想购买50个安全头盔和副手套（），应该如何选择购买方案更省钱？ 【答案】（1）5500 （2）； （3）当时，两种方案购买价格一样；当时，选择方案二购买更省钱；当时，选择方案一购买更省钱 【解析】 【分析】（1）方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套，依此可得购买50个安全头盔和100副手套共需要花费； （2）分别根据优惠方案计算即可； （3）分三种情况列出关系式，求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：元； 【小问2详解】 解：若选择方案一购买，需要花费元； 若选择方案二购买，需要花费元； 【小问3详解】 解：当， 解得， 此时两种方案价格一样； 当， 解得， 当时，方案二更省钱； 当， 解得， 此时方案一更省钱． 综上所述，当时，两种方案购买价格一样；当时，选择方案二购买更省钱；当时，选择方案一购买更省钱． 22. 定义：在平面直角坐标系中，点和点坐标满足，则称点、互为“友好点”． （1）若点为，则它的“友好点”坐标为______； （2）已知点与点互为“友好点”，且，求满足条件的整数的值． 【答案】（1） （2） 满足条件的整数为，， 【解析】 【分析】（1）根据“友好点”的定义，将点的横纵坐标代入对应关系式计算即可； （2）根据“友好点”的定义建立与的等式，结合的取值范围求出的取值范围，再确定范围内的整数； 【小问1详解】 解：设点的坐标为， ∵点与互为友好点， ∴，， 代入定义的方程组得， 解得， 故的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点与点互为友好点， ∴根据定义得， 由第一个等式整理得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴满足条件的整数为，，． 23. 如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． （1）如图，平分，平分，若，求的度数． （2）如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． （3）如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）①；②大小不变，度数恒为． （3）①；②的度数为或． 【解析】 【分析】（1）先由直线垂直得到直角，结合已知求出，再利用角平分线定义得到两个半角，最后依据三角形内角和定理计算． （2）①利用垂直定义与三角形的性质求出，结合角平分线得到两组半角，再计算；②设，用含的代数式表示相关半角，作差消去参数，证明为定值． （3）①由邻补角与角平分线推出，结合三角形的性质得到与的数量关系，再根据直角三角形两锐角互余，推导出与的关系式；②为直角三角形，分四种角度倍数情况分类讨论，舍去超出锐角范围的解，得到符合题意的度数． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：①， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； ②大小不变，度数恒为， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 大小不变，度数恒为； 【小问3详解】 解：①平分，平分， ，， ， 平分，， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 整理得：． ②由①得：，，． 情况1：， ， ， ． 情况2：， ， ， ， ， 是直角三角形内锐角，，故此解舍去． 情况3：， ， ， ，， ，不符合题意，舍去． 情况4：， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $