2026-2027学年北师大版八年级数学上学期月考自测卷（1-2章）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学上学期月考自测卷（1-2章）聚焦二次根式与勾股定理，通过测量教学楼高度、石柱雕龙长度等现实情境题，考查数学眼光观察、数学思维推理及数学语言表达能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式合并、勾股定理应用|结合正五角星黄金分割等文化素材| |填空题|6/18|勾股数规律、折叠问题|设计运算程序图等创新形式| |解答题|9/72|二次根式运算、实际测量（如风筝高度）|综合实践题（如秦九韶公式应用）体现分层探究|

2026-2027学年八年级数学上学期月考自测卷（1-2章) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.若最筒二次根式V5-2a与27能合并，则a的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在△ABC中，∠A为直角，以AC为边向外作面积为100的正方形，以BC为边向外作 面积为125的正方形，则AB2=（) C 125 100 B A.5 B.10 C.15 D.25 3.下列计算正确的是() A.5+方x5=5 B.36-26=1 C.5+4=V万 D.V20-5=V5 4.如图，在△ABC中，AB=2,BC=3,以AC为边作正方形ACDE,若正方形ACDE的面积是 13,则阴影部分的面积为() B A.3 B.6 C.10 D.16 MN BN BM5-1 5.正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足NB BM BE2.人们把 5-1 V5-1 2这个数叫做黄金分割数.用你学过的知识估计2的值应在() A.0.1和0.5之间B.0.5和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间 6.如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离AB 的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼 35米的E点处，此时手上的绳子还剩05米： ②乙同学继续往后退1.5米到达G点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离FE和HG的长都是1.9米. 则四楼教室到地面的距离AB的长度为() 学甲 B 同学乙同学乙 A.11.9米 B.12.9米 C.13.9米 D.14.9米 7.如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正 上方（从点A到点C,B为AC的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻 在石柱上的巨龙至少为() A.6米 B.8米 C.9米 D.10米 8。定义：若无理数厅的祓开方数（「为正整数）满足分<T<+旷（其中”为正整数），则 称无理数厅的“共同体区间”为am+).例如：因为P<3<2,所以5的“共同体区间” 为2).若心y满足关系式：8+(+旷=0，求V0+6的“共同体区间”是() A.56) B.(34) C.(6,7) D.(7,8) 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,点D为AB边上的中点，点E在线段BD上 (点E不与点B,点D重合)，过点A作AF⊥CE交CE于点F,过点B作BG⊥CE交CE的延长 线于点G.若已知DF的长，则可求出() D A.FG的长 B.AF的长 C.CE的长 D.BG的长 1O.如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD,连结 A ,交DH于底A若H=E,且△CPC ABCD 的面积为4，则正方形的面积为() D H E A.20 B.30 C.40 D.50 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，） 11.如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的x的值为8时，输出的结果是 输入x值 取x的平方 取立方根 ↓ 输出 取算术平方根 取倒数 12.如图，BC=2,∠OCB=90°，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴于点A,数轴 上的点A所表示的数为 -5-4-3-2-1012345→ 13.《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数.观察下列勾股数： 3455121372425 、；、 ；、 25；,这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为， 若某个此类勾股数的勾为9，则其弦是 14.如图，在三角形纸片ABC中，∠B=90°，AB=6,AC=10,折叠三角形纸片，使点B在 AC 边上的点E处，则D的长是 E B 15.如图，用7个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一 条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为c,若n-1<C<n,则整数n= 16.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“g00d三角 形”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,若△ABC是“good三角形”，则BC的长等于 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,3题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.解答下列各题 (1)2x-1)2=8; (2)(x-0.7)3+0.027=0 (3)已知2a-1的平方根是±3,3a+b-9的立方根是4，c是V11的整数部分，求a+2b+c的值. 18.如图，四边形ABCD,∠ABC=90°，AB=3,BC=4,连接AC,且AC=CD. B (1)求CD的长：(2)若AD=5N2,则∠ACD=,BD= 19.综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是V7,而√厅是无理数. 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定√7的整数部分和小数部分的方法 22=4,32=9,22<7<32,2<7<3, .V7 的整数部分是2，小数部分是7-2 (1)3的整数部分是 (2)a为V3的小数部分，b为V5的整数部分，求a+b-V3的值： 8已知8+5=x+y,其中r是一个正整载，0<y<1,求2x+(-的值. 20.阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+22=+2.善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b5=(m+nN2(其中ab、m,n均为整数)，则有a+bN2=m2+2r2+22mm. .a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到了一种把类似a+bW2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： )当a.6.m、n均为正整数时，若a+bN5=(m+nm,用含瓜、n的式子分别表示a.b 得：a= b= (2)利用所探索的结论，填空：13+4W5=(—+一广】 8)若a+6W5=(m+m5,且a,m:n均为正整数，求a的值？ 21.在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形 面积”为主题开展了数学活动. F B 图1 图2 (1)“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助边长为1的小正方形网格解决问题. 在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB=-,BC=_,AC=一；△ABC的面积为_ (2)在图2所示的正方形网格中画出△DEF(顶点都在格点上)，使DE=V5,DF=V3, EF=20 ,并求出△DEF的面积 (3)“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的课本的数学资料： 如果三角形的三边长分别为a,b,6,那么其面积为：S=(P-0P-bp-9其中( 2 一个三角形的三边长依次为5,6，√7，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形 的面积. 22.风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活 动.小明买了一个风等，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得 放飞点与风筝的水平距离BD为l5m;根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m;牵线放风 筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C,D在同一平面内. (I)求风筝离地面的垂直高度CD. (2)在余线仅剩7m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升11m,请问能否成功？请运用 数学知识说明. 23.探究不同情境，解答下列的问题： B 6 D 图1 图2 图3 图4 ()【探索】观察图1，图2，请根据a+b,a-b,b之间的等量关系解决问题：若 x+y=4 xy=3 x-y ,则的值是 (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE.该 校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积 和为120平方米，AC=20米，求种草区域的面积和. (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为b)拼成如图4所示的大长方 形，记长方形ABCD的面积为S,长方形EFGH的面积为S,若不论AB的长为何值时，S-S, 为定值. ①求a与b之间的数量关系. ②若b=V5,求-S的定值. 24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm,动点E从A出发沿射线AC以 2cm/s 的速度运动，设运动时间为秒， B Ch B C 备用图 备用图 (I)当t为何值时，BE平分△ABC的面积； (2)当△ABE为等腰三角形时，求t的值； (3)若点P分别为ACAB上的动点，求BP+P№的最小值. 25.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把 △AB 沿着直线D折叠，顶点B的对应点是点B. A(B) A D B D B 图1 图2 (1)如图1，如果点B和顶点A重合，求CE的长； (2)如图2，如果点B落在直角边AC的中点上，求CE与折痕DE的长. 参考答案 一、选择题 1.A 解：V27=3V3, :最简二次根式V5-2a与27能合并， .5-2a与35的被开方数相同， .5-2a=3, 解得a=1. 2.D 解：在△ABC中，∠A为直角， .AB2+AC2=BC2 .AB2=BC2-AC2=125-100=25 3.D 解：、5·55x5x5-53-355,故选预计笋错误，不将合短忘： B:36-26=(6-2小6=61，故选项计算错误，不符合题意： C:V5+4=V5+2≠√7，故选项计算错误，不符合题意； D:20-5=25-5=2-1w5=5 故选项计算正确，符合题意： 故选：D. 4.C 解：.正方形ACDE的面积为13， .AC=3. 在△ABC中，AB=2,BC=3., .AB2+BC2=2+32=13=AC2, .∠ABC=90°， :5=5防e-5x=人而-x2x3=13-3=10 故选：C 5.B 解：4<5<9 .2<V5<3 2-1<5-1<3-1即1<5-1<2 .1V5-12 2<22即 05<5-1<1 2 该数值在05和1之间。 6.C 解：根据题意可得AB⊥BG,FE⊥BG,HG⊥BG, 过点H作HN⊥AB于N,则点F在HN上， 设AB=h米，绳子总长度为L米， 由题意得：乙同学手高FE=HG=1.9米，BE=3.5米，BG=BE+EG=3.5+1.5=5米， 第一次绳长剩余0.5米，故AF=L-0.5,第二次绳子用完，AH=L, BV=FE=6H=19米，PN=B6=35米，N=BG=5米，N=B-BN=-19, 在Ra4NF中，（h-1.,9y'+3.52=(亿-0.5}O 在RteANH中，h-1.9)}+52=LP②， @-0得：25-1225=1-心-L+02. 解得113 把L=13代入②得：(h-1.9y2+25=132，即h-1.9)2=144,边长为正，故h-1.9=12,得h=13.9米， 因此四楼教室到地面的距离AB为13.9米. 7.D 解：如图， D ,底面周长约为3米，柱身高约8米， ÷AE=3米，BE=BD=D=4(米)， :4B=BE+E=军+=5（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少5×2=10（米）· 8.C 解：-8+0+=0 .x-8=0,y+1=0 x=8,y=1, :.0+6)=8x(-1+6)=8x5=40 36<40<49,即62<40<7， ∴.n=6, :V0+6)的“共同体区间”是(6，)， 故选：C. 9.A 解：延长FD,交BG的延长线于T, ,AF⊥CEBG⊥CE .AF∥BG ∴.∠DAF=∠DBT “点D是B的中点， .∴.AD=BD 又：∠ADF=∠BDT, .△ADF≌△BDT(ASA) ∴.AF=BTDF=DT ,'∠ACB=90°=∠AFC=∠BGC ∴.∠ACF+∠BCG=90°=∠ACF+∠CAF ∴.∠CAF=∠BCG AC=BC ,.△ACF≌aCBG(AAS) ..AF=CG CF=BG ..AF=CG=BT ∴.FG=CG-CF=BT-BG=TG FT2=FG2+TG2 (2FD)=FG2+TG2 .2FD2=FG2 已知 F 的长， “可求PG的长， 故选：A. E B D G 10.B 解：连接AG,CH, D G H F E B SAACH SAACL SAPCHX SAPCG SAACG SAPCH SAPCG SAACG, SAuCu=AC PH PC PH .'SMcG PC PG AC PG, 设AH=a, 由题意得：AH=HE=GF=CF=HG=BE=a, SAcu=a=1 .S△cc2a2 G, .△CPG的面积为4， 12 2X等ax2a=4, 解得：a2=6, 在Rt△1EB中，由勾股定理得，4B=AE+BE=(2a+a2=5a2-5x6=30 ∴.正方形的面积为30， 故选：B. 二、填空题 1 11. 解：第一步，取x的平方，即x2=82=64, 第二步，对结果取立方根，即64=4， 第三步，对结果取倒数，即4， 11 第四步，对结果取算术平方根，即V42, 1 因此，当输入x=8时，输出的结果是2 12.-3 解：由图和题意可知，OC=3,BC=2,∠OCB=90°， 在RtOCB中，由勾股定理得：OB=vOC+BC=V2+3= 以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴于点A, ∴.OA=OB=V13 点A在点O的左侧， 点A所表示的数为-3. 13.41 解：设该勾股数的股为x,则弦为x+1, 根据勾股定理可得 2+x2=(x+1)2 展开等式右边得81+x2=x2+2x+1, 消去x2后整理得2x=80, 解得x=40, 因此弦为x+1=41. 14.3 解：在△ABC中，∠B=90°，AB=6,AC=10, BC=VAC2-AB=8 由折叠的性质得：DE=BD,AE=AB=6,∠AED=∠B=90°， ∴.CE=AC-AE=10-6=4,∠CED=180°-∠AED=90°， i设DE=BD=>0),则CD=BC-8D=8-, 在Rt△CDE中，CE+DE=CD2,即+=(8-， 解得x=3, 即BD的长是3. 15.11 解：由勾股定理得：第1个直角三角形的斜边长为P+卫=2， 第2个直角三角形的斜边长为VP+(2=5, 第3个直角三角形的斜边长为P+(N⑤)-V4, 故第7个直角三角形的斜边长为P+(=⑧， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由8条长度为1的线段和第7个直角三角形的斜 边组成， c=8x1+V8=8+V8 .4<8<9 V4<V8<52<⑧<3 ，即 .10<8+V8<11 10<c<11 ,即 .'n-1<c<n .n-1=10 郎s11 166晚6 解：分两种情况计算： 当AC边上的中线等于AC时，如图1，， D 图1 ,∠C=90,AC=2,BD为AC边上的中线且BD=AC, CD-54C=l8D=2, 在Rt△BCD中，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）， 可得BC=VBD-CD=V2?-平=5 当BC边上的中线等于BC时，如图2， E 图2 设BC的长为，则BC边上的中线AE=x,CB=2, 在RtAACE中，根据勾股定理， AC2+CE2=AE2 1 代入AC=2, CE=7*,AE=x 4v5 解得=号（边长为正，合去负根）· 4V3 综上所述，BC的长为5或3· 三、解答题 17.(1)解：2x-1)2=8, 两边同除以2得(x-)2=4, 开平方得x-1=2, 解得x=3,为=1 (2)(x-0.7)3+0.027=0 移项得(x-0.7)3=0.027 开立方得x-0.7=0.3 解得x=0.4. (3)解：由题意得2a-1=(仕3)}=9，解得a=5, 3a+b-9=43=64 b=58 ，解得 因为3<V1<4,所以1的整数部分c=3. 代入得a+2b+c=5+2×58+3=124 18.(1)解：∠ABC=90°，AB=3,BC=4, 4C=VAB2+BC2=5 .AC=CD, ∴.CD=5; (2)解：如图，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E. E ∴.∠CED=90°， 由(1)知AC=CD=5,又知AD=5N2, 4C2+CD=50,4D2=(52=50, .'AC2+CD2=AD2, ∴.△ACD是直角三角形，∠ACD=90°， .∴.∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECD=90°， ∴.∠BAC=∠ECD. 在△ABC和△CED中， [∠ABC=∠CED ∠BAC=∠ECD AC=CD △ABC≌ACED(AAS) .AB=CE=3,BC=DE=4, ∴.BE=BC+CE=7, BD=BE2+DE=65 19.(1)解：32=9,42=16,32<13<42， .3<V13<4 13 的整数部分是3； (2)解：12=1,22=4,12<3<2， 1<V5<2 5的小数部分是5-1，即a=5-1, 22=4,32=9,2<5<32, .2<V5<3 的整数部分是2，即6=2， .a+b-V3=√3-1+2-V3=1 (3)解：由(2)得，1<V3<2, .9<8+V3<10, :8+5=+y,其中x是一个正整数，0<y<1, ∴x=9,y=8+V3-9=5-1 :2x+y-)=2×9+5-1-5)=18+1=19 20.(1)解：将等式右边完全平方展开：(m+nW5)2=m2+2·m:n3+(n3)2=m2+3n2+2mmN5 ,‘等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， .a=m2+3n2,b=2mn. (2)解：对比第(1)问的结论，这里a=13,b=4,即满足：m2+3n2=13,2mn=4, 也就是mn=2. .mn是正整数， .m、n的取值有两种情况： 当m=2,n=1时， m2+3n2=22+3×12=7≠13 ,不符合. 当m=l,n=2时， m2+3n2=12+3×22=13 ,完全符合， 因此两个空依次填1、25. (3)解：根据第(1)问的结论，这里b=6, ∴.2mn=6，即mn=3。 .:mn都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：m=1,n=3, 代入a=m2+3n2,得a=1+3×9=28; 情况2：m=3，n=1, 代入a=m2+3n2,得a=9+3×1=12. ∴.符合条件的正整数a为12或28. 21.(1)解：A1B=V32+4=5 BC=V12+42=17 AC=V1?+32=√10 △BC的面积=4x4×3x4×1x4x1x3=号 1 2 2 (2)解：如图 E DE=V1P+22=V5,DF=V32+22=V13,FE=V42+22=√20 ∴.△DEF符合要求； 则Dr的面积=3x4-122x2x4=4, (3)解：将a=V5,b=6,c=V7代入秦九韶公式，得 -6合2习 V4(30-4) √26 2. 22.(1)解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E, C A B D .∠AEC=∠AED=90°， 由题意得，∠ABD=∠BDC=90°， ∴.四边形ABDE是矩形， .'AE BD=15m,AB=DE =1.5m. 在RtAEC中，由勾般定理得CE=VAC-AE=V72-1S=8(m) .CD=CE+DE=8+1.5=9.5(m) 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m. (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长DC至点F,连接AF,使得CF=Ilm, E .EF=CE+CF=8+11=19(m) 在RtAEF中，由勾股定理得MF=VAE+EF=ViS+19-V586(m) .AC=17m,余线仅剩7m, 7+7=24(m) 风筝线的总长度为 242=576<586, .24<V586, 不能成功. 23.(1)解：图1中4个小长方形的面积为4ab, 图2中4个小长方形的面积为a+b-(a-b .(a+b)'-(a-b)=4ab x+y=4,y=3, :.（x+-(x-y)2=4y :4-(x-y2=4x3 :(x-y=4 .x-y=2; (2)解：设AE=DE=a米，BE=CE=b米， 由题意得，a+b=AE+CE=AC=20米， .·种花区域的面积和为120平方米 12 S.A+S.mc +=120,即a2+B=240 .S种草区线=ScDE+Sa4BE 1 1 ab _（a+b-(a2+b2) =202-240 2 =80 (平方米)， 答：种草区域的面积和为80平方米. (3)解：①，长方形ABCD的面积为S,长方形EFGH的面积为S, S=3(4b+CE)=12+3bCE.S:-a(a+CE)=d+aCE :9-S,=12b+3bcE-(a+aCE）=126-ad2+(36-ajcE 不论AB的长为何值时，S-永远为定值，且AB=CE+4b, .S-S2的值与CE无关， .3b-a=0, 即a与b之间的数量关系为a=3b: ②由(3)①得S-S,=12b-a2,a=3b, 当b=V5时，S-S,=12b-(3b)=12b-96=3b2=3×(V5=9 24.(1)解：如图， .∠C=90°， :.4C=VAB-BC2=02-6=8(cm) .BE平分△ABC的面积， .BE是△ABC中线， 4e=4c-28=4(m), ../s (2)解：①如图，当AE=BE时， 设AE=BE=x,则CE=8-x, ..CE2+BC2=BE2, ⑧-+6=，解得：x= 43 :E25 4, 25 1=425 28； 如图，当M6=8=10时 ② E 10 25 ③AB=EB=10 当1 时，如图， B .∠ACB=90°， .BC⊥AE, ∴.AC=EC=8, .AE=16, 168 =2=8; 25 综上可得：当。4BE为等腰三角形时，t的值为8或5或8； (3)解：如图，作点B关于AC的对称点B',过B作3'Q L AB于点D,交AC于点P, P 此时BP+PO=B'P+PO=B'O,为最小值， 由轴对称性质可得，B'B=2BC=12cm, :Sm=88×4C=48xB0, .1×12x8=x10×B'0. 2 2 :B0=9.6(cm) ∴.BP+P巴的最小值为9.6cm. 25.(1)解：若点B和顶点A重合，由折叠的性质可得：AE=BE, 设CE=x，,则AE=BE=BC-CE=8-x, 由勾股定理得：AC2+CE2=AE2, 62+x2=(8-x) 解得：x? 4, 7 ∴.CE= 4; (2)解：点B落在直角边AC的中点上， :.B'C=14C=3 2 由折叠的性质可得：BE=BE, 设CE=y，,则BE=BE=BC-CE=8-y, 由勾股定理可得：B'C2+CE2=B'E2, .32+y2=(8-y} 解得：y=16,即、、J灯 16, BE=8-5573 1616. 作B'F⊥AB于点F,连接BB', B ,点B落在直角边AC的中点上， ×59c=12=4B×BF=5BF,BB-NBC+BC-⑧+9=万， 11 ..S.A8=2 2 :BF=2 5 .'BF=VBB2-B'F2 =41 由折叠的性质可得：BD=B'D, 设B0=gDa:则0F-ga, 由勾股定理可得：B'F2+DF2=B'D2, 售-c 解得：a=365 82,即BD=365 82, :Ss=)BD×BF={x365x12_219 2 282541， S盟ExBC=×2x3=29 216 32, .S四边形D8EB=S.Dag+S,EBg= 219,21915978 十 41321312, 由折叠的性质可得：BB⊥ED, .S阳边形DaE8=2 ×BB'×DE=15978 1312, .DE=7989V3 23944.