专题03乘法公式与整式的除法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦乘法公式（平方差、完全平方）与整式除法（同底数幂、单项式/多项式除法），通过结构特征分析、几何证明建立与整式乘法的联系，为后续因式分解、分式运算搭建学习支架。 资料特色在于分层题型设计与易错点精准剖析，结合几何图形直观理解公式推导（数学眼光），强调运算步骤规范与变形应用（数学思维），帮助学生提升运算准确率，培养符号意识与应用意识（数学语言）。

专题03乘法公式与整式的除法精讲学案 核心立意 识别乘法公式结构，掌握直接套用、恒等变形、整体代换三种用法；熟练整式除法各项法则，严控指数、符号失误；规范综合运算步骤，提升运算准确率，为后续因式分解、分式运算做好铺垫。 平方差公式 1.公式形式 (a+b)(a-b)=a2-b2 2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4.变形拓展 (b+a)(-b+a)=a2-b2 (-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)（逆用：因式分解） 5.用面积法证明公式 6.平方差公式适用条件 完全平方公式 （1）完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 数和的平方 = 平方和 + 两倍乘积 （2）完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方 = 平方和 − 两倍乘积 统一口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方 重要变形拓展 (a-b)2=(b-a)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推导过程 公式的几何意义 同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 am÷an=am−n(a≠0，m、n为正整数，m>n) 2.零指数幂规定：a0=1(a≠0) 任何非零数的 0 次幂等于 1；00无意义 3.拓展：多个同底数连除 am an ap=am-n-p 4.底数互为相反数转换 (a-b)5(b-a)2=-(b-a)3 单项式 ÷ 单项式 1.运算步骤： ① 系数相除；② 同底数幂分别相除（指数相减）； ③ 只在被除式含有的字母，连同指数直接保留在结果中。 2.示例： 12x3y4(-3xy2)=-4x2y2 3.注意：除式不能为 0 多项式 ÷ 单项式 法则：多项式里每一项分别除以单项式，再把所得商相加 (ma+mb+mc)m = a+b+c 核心依据：乘法分配律逆用 易错点：多项式每一项都要除，符号同步运算 整式综合运算步骤 1.优先判断能否使用乘法公式化简。 2.单独处理幂的除法，核对底数、指数。 3.多项式除以单项式逐项运算，禁止整体约分。 4.合并同类项，复查符号、指数。 重点辨析 1.平方差与完全平方：平方差展开两项；完全平方展开三项。 2.(a-b)2与a2-b2：二者不等，前者含中间项-2ab，不可混用。 3.同底数幂乘除：乘法指数相加，除法指数相减，底数必须相同。 4.两类整式除法：单项式相除拆分系数和幂；多项式除以单项式依靠分配律逐项运算。 5. a0=1：仅a≠0成立，底数为零时无意义。 1.完全平方展开漏写2ab项。 2.带系数的平方未加括号，(2a)2错写为2a2。 3.混淆(a-b)2和a2-b2。 4.同底数幂除法误将指数相除。 5.零指数幂忽略a≠0。 6.单项式除法丢失独有字母。 7.多项式除以单项式漏项、符号出错。 8.乘除混合运算不按从左往右的顺序计算。 题型 考察方向 难度 题型一 运用平方差公式进行运算 ★ 题型二 平方差公式与几何图形 ★★★ 题型三 运用完全平方公式进行运算 ★ 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型六 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型七 整式的混合运算 ★★ 题型八 同底数幂的除法运算 ★ 题型九 同底数幂除法的逆用 ★★★ 题型十 零指数幂 ★ 题型十一 幂的混合运算 ★★ 题型十二 计算单项式除以单项式 ★ 题型十三 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十四 多项式除以单项式 ★★ 题型十五 整式四则混合运算 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：运用平方差公式进行运算 解题思路：①识别算式中的相同项与相反项；②套用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；③分别计算两项的平方，化简结果。 1．计算的结果是_________． 2．若，且，则________． 3．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 4．下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 平方差公式与几何图形 解题思路：①根据图形标注写出对应边长；②用两种不同方式表示图形面积；③利用面积相等建立关系式，完成推导或求值。 5．观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 7．小敏用纸片裁剪验证乘法公式，下图中不能验证“平方差公式”的是（     ） A． B． C． D． 题型三 运用完全平方公式进行运算 解题思路：①确定公式中a、b对应的代数式；②选用对应的完全平方公式展开；③逐项计算平方与交叉乘积项，合并化简。 8．若，那么_______． 9．已知，则（     ） A． B． C．互为相反数 D．至少一个为0 10．已知任意两个非零实数a，b满足，小玲说可以得到．下面为小玲给出的证明过程： ， ，第①步 即，第②步 ，第③步 即，第④步 两边开平方，得，第⑤步 ．第⑥步 以上证明过程中，开始出现错误的是第_____步． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 解题思路：①梳理已知条件和待求代数式；②选取合适的完全平方变形式建立联系；③代入已知数值完成计算。 11．已知，，则的值为 ． 12．已知，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 13．已知，，则______． 14．实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 解题思路：①读取图形中的边长信息；②用代数式表示整体和各分割部分的面积；③依据面积相等列出等式，进行计算或推导。 15．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如下图，可以得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 16．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 17．如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为，则两正方形的面积和的值为（　　） A．40 B．20 C．60 D．30 题型六 求完全平方式中的字母系数 解题思路：①把二次项、常数项对应为完全平方中的平方项；②对照展开式确定中间项；③列等式求出待定系数。 18．若是完全平方式，则p的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 19．如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 20．已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 题型七 整式的混合运算 解题思路：①确定运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减；②乘法运算灵活选用乘法公式展开；③合并同类项得到最简结果。 21．化简：________． 22．甲同学做完四道整式乘法的题目后，乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（    ） 练习①        √ ②            × ③        √ ④        √ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 23．计算的结果为__________． 24．对于任意的数n，下列各数中能整除的是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 题型八 同底数幂的除法运算 解题思路：①确认各幂底数相同；②运用法则：底数不变，指数相减；③化简得到最终结果。 25．计算的结果为__________． 26．下列计算结果等于的是（     ） A．（8个m相加） B．（8个m相乘） C． D． 27．已知，则的值为_____． 28．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 题型九 同底数幂除法的逆用 解题思路：①将待求幂拆成幂相除的形式；②逆用同底数幂除法法则拆分指数；③代入已知条件算出结果。 29．若，，则________． 30．已知，，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 31．已知，则的值为_____． 32．若，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 题型十 零指数幂 解题思路：①确认底数不为0；②依据零指数幂定义得到结果为1；③结合其余项算出整体答案。 33．计算：（     ） A． B． C． D． 34．如果等式，则等式成立的x的取值范围是________． 35．若无意义，且，则________． 36．对于数，，，的大小比较中，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 幂的混合运算 解题思路：①区分幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘除；②依照运算顺序选用对应法则计算；③化为最简幂的形式。 37．________________． 38．计算：的结果是________． 39．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______． 40．，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 题型十二 计算单项式除以单项式 解题思路：①系数相除；②同底数幂分别相除；③被除式独有的字母连同它的指数照写到商中。 41．计算：__________（）． 42．填表： 被除式 除式 商 填表为________、________、________． 43．计算：________． 44．若，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．9 题型十三 用科学记数法表示数的除法 解题思路：①系数相除，10的幂按照同底数幂除法计算；②算出初步结果；③整理成标准科学记数法。 45．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 46．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 47．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 题型十四 多项式除以单项式 解题思路：①多项式的每一项分别除以单项式；②把各个商相加；③化简整理结果。 48．计算：_____． 49．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 50．计算：__________． 51．已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 题型十五 整式四则混合运算 解题思路：①明确运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内；②恰当利用乘法公式简化计算；③合并同类项化为最简整式。 52．化简： _________． 53．一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 54．已知，那么______． 55．定义新运算：，则的运算结果是_____． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)若，，求的值． 5．计算： (1) (2) 6．如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 7．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03乘法公式与整式的除法精讲学案 核心立意 识别乘法公式结构，掌握直接套用、恒等变形、整体代换三种用法；熟练整式除法各项法则，严控指数、符号失误；规范综合运算步骤，提升运算准确率，为后续因式分解、分式运算做好铺垫。 平方差公式 1.公式形式 (a+b)(a-b)=a2-b2 2.文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方 减去 相反项的平方。 4.变形拓展 (b+a)(-b+a)=a2-b2 (-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)（逆用：因式分解） 5.用面积法证明公式 6.平方差公式适用条件 完全平方公式 （1）完全平方和 (a+b)2=a2+2ab+b2 数和的平方 = 平方和 + 两倍乘积 （2）完全平方差 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方 = 平方和 − 两倍乘积 统一口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方 重要变形拓展 (a-b)2=(b-a)2 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 公式的推导过程 公式的几何意义 同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 am÷an=am−n(a≠0，m、n为正整数，m>n) 2.零指数幂规定：a0=1(a≠0) 任何非零数的 0 次幂等于 1；00无意义 3.拓展：多个同底数连除 am an ap=am-n-p 4.底数互为相反数转换 (a-b)5(b-a)2=-(b-a)3 单项式 ÷ 单项式 1.运算步骤： ① 系数相除；② 同底数幂分别相除（指数相减）； ③ 只在被除式含有的字母，连同指数直接保留在结果中。 2.示例： 12x3y4(-3xy2)=-4x2y2 3.注意：除式不能为 0 多项式 ÷ 单项式 法则：多项式里每一项分别除以单项式，再把所得商相加 (ma+mb+mc)m = a+b+c 核心依据：乘法分配律逆用 易错点：多项式每一项都要除，符号同步运算 整式综合运算步骤 1.优先判断能否使用乘法公式化简。 2.单独处理幂的除法，核对底数、指数。 3.多项式除以单项式逐项运算，禁止整体约分。 4.合并同类项，复查符号、指数。 重点辨析 1.平方差与完全平方：平方差展开两项；完全平方展开三项。 2.(a-b)2与a2-b2：二者不等，前者含中间项-2ab，不可混用。 3.同底数幂乘除：乘法指数相加，除法指数相减，底数必须相同。 4.两类整式除法：单项式相除拆分系数和幂；多项式除以单项式依靠分配律逐项运算。 5. a0=1：仅a≠0成立，底数为零时无意义。 1.完全平方展开漏写2ab项。 2.带系数的平方未加括号，(2a)2错写为2a2。 3.混淆(a-b)2和a2-b2。 4.同底数幂除法误将指数相除。 5.零指数幂忽略a≠0。 6.单项式除法丢失独有字母。 7.多项式除以单项式漏项、符号出错。 8.乘除混合运算不按从左往右的顺序计算。 题型 考察方向 难度 题型一 运用平方差公式进行运算 ★ 题型二 平方差公式与几何图形 ★★★ 题型三 运用完全平方公式进行运算 ★ 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型六 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型七 整式的混合运算 ★★ 题型八 同底数幂的除法运算 ★ 题型九 同底数幂除法的逆用 ★★★ 题型十 零指数幂 ★ 题型十一 幂的混合运算 ★★ 题型十二 计算单项式除以单项式 ★ 题型十三 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十四 多项式除以单项式 ★★ 题型十五 整式四则混合运算 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：运用平方差公式进行运算 解题思路：①识别算式中的相同项与相反项；②套用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；③分别计算两项的平方，化简结果。 1．计算的结果是_________． 【答案】/ 【详解】解：． 2．若，且，则________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对已知等式变形，再将的值代入计算，即可得到的值 【详解】解：由平方差公式得 已知 ， 将已知条件代入上式，得 计算得 ． 3．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 4．下列计算错误的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式和平方差公式计算每个式子的正确结果，和题目给出的结果对比，统计错误的个数即可得到答案． 【详解】解：① ，①错误； ② ，②错误； ③ ，③错误； ④ ，④错误； ⑤ ，与题目结果一致，⑤正确． 综上，错误的式子共有4个． 题型二 平方差公式与几何图形 解题思路：①根据图形标注写出对应边长；②用两种不同方式表示图形面积；③利用面积相等建立关系式，完成推导或求值。 5．观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知图1可以拼成图2，即图1和图2面积相等． 【详解】解：图1的面积等于一个长方形的面积，为， 图2的面积等于一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积，为， 由题意可得，． 6．如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 【答案】 16 【详解】解：由图可知，， ∴， ∵，， ∴. 7．小敏用纸片裁剪验证乘法公式，下图中不能验证“平方差公式”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算裁剪前后阴影部分的面积，是否符合平方差公式即可． 【详解】解：．将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形， 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，能验证，故该选项不符合题意； ．左图阴影面积为，右图拼成的长方形长为，宽为，面积为，能验证 ，故该选项不符合题意； ．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，能验证，故该选项不符合题意； ．左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，符合题意． 题型三 运用完全平方公式进行运算 解题思路：①确定公式中a、b对应的代数式；②选用对应的完全平方公式展开；③逐项计算平方与交叉乘积项，合并化简。 8．若，那么_______． 【答案】 【分析】先将等式右侧完全平方式展开并化简，再根据多项式相等时对应一次项系数相等求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9．已知，则（     ） A． B． C．互为相反数 D．至少一个为0 【答案】B 【分析】已知等式含平方项与乘积项，可通过乘2构造完全平方式，利用平方的非负性求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，，， ． 10．已知任意两个非零实数a，b满足，小玲说可以得到．下面为小玲给出的证明过程： ， ，第①步 即，第②步 ，第③步 即，第④步 两边开平方，得，第⑤步 ．第⑥步 以上证明过程中，开始出现错误的是第_____步． 【答案】⑤ 【分析】根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此判断证明过程中出错的步骤即可． 【详解】解： 当得到时，两边开平方应该得到或． 因此开始出现错误的是第⑤步． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 解题思路：①梳理已知条件和待求代数式；②选取合适的完全平方变形式建立联系；③代入已知数值完成计算。 11．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式可得． ∵ ∴ 把代入上式得 ∴， 即． 12．已知，，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．将两个方程相减，利用平方差公式并结合的条件，得到的值；再将两个方程相加，利用完全平方公式，代入的值求解即可． 【详解】解：∵, ， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以得：， 又∵， 而， ∴， 代入， 得， ∴， ∴． 故选：A． 13．已知，，则______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，先根据已知条件求出的值，再代入计算的展开式． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 14．实数、满足，则的最大值是（    ） A．48 B．50 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，运用完全平方公式的非负性进行变形，结合已知等式列出关于的不等式，进而求出的最大值． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 当且仅当时，等号成立， 此时为最大值25． 故选：D． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 解题思路：①读取图形中的边长信息；②用代数式表示整体和各分割部分的面积；③依据面积相等列出等式，进行计算或推导。 15．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如下图，可以得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图形（大正方形面积等于两个小正方形与两个长方形面积之和）可得公式 ． 16．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴． 17．如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为，则两正方形的面积和的值为（　　） A．40 B．20 C．60 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设，，由，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设，， ，， ， ； 故选：A． 题型六 求完全平方式中的字母系数 解题思路：①把二次项、常数项对应为完全平方中的平方项；②对照展开式确定中间项；③列等式求出待定系数。 18．若是完全平方式，则p的值为（     ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式首尾项的特征，确定中间项的两种可能，进而求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ∴该式可表示为， ∵， ∴， ∴． 19．如果二项式加上一个含的单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则满足条件的单项式是____________． 【答案】 或或 【分析】根据完全平方公式分情况讨论，筛选出符合“含的单项式”“构成三项式”要求的结果． 【详解】解：根据完全平方公式，分情况讨论如下： 若和为完全平方式的两个平方项， ，， 中间项为，此时添加后得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得， 此时添加后，得到三项完全平方式，符合要求； 若为完全平方式的一个平方项，为中间项， 设添加的单项式为另一个平方项， 可得，解得，属于分式不是单项式，不符合要求； 若添加或，结果为单项式，不满足三项式要求，舍去； 因此满足条件的单项式为，或． 20．已知，则的值为（     ） A． B．6 C．9或 D．9 【答案】C 【分析】根据等式左边为完全平方式，可知右边二次三项式为完全平方式，结合二次项与常数项的平方形式，确定一次项系数的两种情况，进而求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得； 综上所述，的值为9或． 题型七 整式的混合运算 解题思路：①确定运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减；②乘法运算灵活选用乘法公式展开；③合并同类项得到最简结果。 21．化简：________． 【答案】1 【分析】本题主要考查乘法公式，原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 22．甲同学做完四道整式乘法的题目后，乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（    ） 练习①        √ ②            × ③        √ ④        √ A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘法，根据整式的乘法运算法则，结合乘法公式逐个判断即可． 【详解】解：①，原计算正确，批改正确，符合题意； ②，原计算错误，批改正确，符合题意； ③，原计算错误，批改错误，不符合题意； ④，原计算错误，批改错误，不符合题意； 故选：A． 23．计算的结果为__________． 【答案】1 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 24．对于任意的数n，下列各数中能整除的是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式及平方差公式，将原式进行正确的运算是解题的关键． 将原式利用平方差公式及完全平方公式进行运算后判断能被哪个整数整除即可． 【详解】解： ， 则原式能被5整除． 故选：C． 题型八 同底数幂的除法运算 解题思路：①确认各幂底数相同；②运用法则：底数不变，指数相减；③化简得到最终结果。 25．计算的结果为__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法法则计算，底数不变，指数相减即可得到结果． 【详解】解： ． 26．下列计算结果等于的是（     ） A．（8个m相加） B．（8个m相乘） C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：8个m相加，得，不等于，不符合题意； 对于选项B：8个m相乘，根据乘方的意义得结果为，符合题意； 对于选项C：合并同类项得：，不等于，不符合题意； 对于选项D：根据同底数幂的除法法则，底数不变指数相减，得，不符合题意． 27．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：． 28．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型九 同底数幂除法的逆用 解题思路：①将待求幂拆成幂相除的形式；②逆用同底数幂除法法则拆分指数；③代入已知条件算出结果。 29．若，，则________． 【答案】 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 30．已知，，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先逆用同底数幂除法法则，再利用幂的乘方对所求式子变形，再将已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 31．已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 32．若，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 【答案】D 【分析】由同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的运算法则进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 题型十 零指数幂 解题思路：①确认底数不为0；②依据零指数幂定义得到结果为1；③结合其余项算出整体答案。 33．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 34．如果等式，则等式成立的x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据零指数幂的定义，零指数幂成立的条件是底数不为0，据此求解的取值范围即可． 【详解】解：根据零指数幂的定义：任何不等于0的数的零次幂都等于1，可得成立的条件为， 解得． 35．若无意义，且，则________． 【答案】2 【分析】根据无意义，且，得，解答即可，本题考查了零指数幂，绝对值，熟练掌握零指数幂有意义，底数不为零是解题的关键． 【详解】∵无意义，且， ∴, ∴, 故答案为:2． 36．对于数，，，的大小比较中，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，进行计算，即可解答． 【详解】解：，，， 故选：B 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂；熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 题型十一 幂的混合运算 解题思路：①区分幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘除；②依照运算顺序选用对应法则计算；③化为最简幂的形式。 37．________________． 【答案】/ 【分析】先利用积的乘方计算，再利用单项式与单项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案是． 【点睛】本题考查了积的乘方计算，单项式与单项式乘法计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 38．计算：的结果是________． 【答案】 【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 39．计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______． 【答案】8x5 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式＝8x3•x4÷x2 ＝8x7÷x2 ＝8x5． 故答案为：8x5． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 40．，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 题型十二 计算单项式除以单项式 解题思路：①系数相除；②同底数幂分别相除；③被除式独有的字母连同它的指数照写到商中。 41．计算：__________（）． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 42．填表： 被除式 除式 商 填表为________、________、________． 【答案】 【分析】根据被除式除式商的关系，计算未知项，利用单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：第一个空求商，计算得； 第二个空求除式，由除式被除式商，计算得； 第三个空求商，计算得． 43．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键，先计算除数的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 44．若，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法法则化简所求式子，再整体代入已知条件计算即可. 【详解】解： ，且 代入得 题型十三 用科学记数法表示数的除法 解题思路：①系数相除，10的幂按照同底数幂除法计算；②算出初步结果；③整理成标准科学记数法。 45．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 46．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 47．地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 题型十四 多项式除以单项式 解题思路：①多项式的每一项分别除以单项式；②把各个商相加；③化简整理结果。 48．计算：_____． 【答案】 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可． 【详解】解：． 49．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 50．计算：__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 51．已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握整式的乘除法运算法则是解题的关键，计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式． 先通过整式的除法求出，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 题型十五 整式四则混合运算 解题思路：①明确运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内；②恰当利用乘法公式简化计算；③合并同类项化为最简整式。 52．化简： _________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：积的乘方与幂的乘方，单项式乘单项式，以及合并同类项，熟练掌握法则是解本题的关键．利用相关运算法则计算化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 53．一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，设该多项式为A，根据题意列出等式即可求出答案． 【详解】解：设多项式为A， ∴ 故选：A． 54．已知，那么______． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算和完全平方公式．先利用已知条件计算得到，再利用完全平方公式得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 55．定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 【详解】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 4．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再整体代入即可求解； （2）逆用同底数幂的乘除法和幂的乘方的运算法则，得到，，再将原式化简为，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】（1）根据面积相等得到等量关系； （2）将，代入第一问中的等量关系，求出的值； （3）根据正方形的性质得到、和，根据三角形面积公式得到，化简后再结合条件求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：观察图形可知，大正方形的边长为， ∴面积为， 这个大正方形由四部分构成，分别是： 两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形， ∴这四部分的面积和为：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 7．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3)0 【分析】 （1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1） 解：由题意得，； （2） 解：由题意得，， ∵的结果是一个关于，的完全平方式， ∴一次项为， ∴； （3） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $