第09讲 平方差公式（二类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第09讲 平方差公式（八大题型） 学习目标 1、会用图形证明平方差公式； 2、学会用平方差公式计算； 3、平方差公式的应用。 一、知识引入 计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征： (1)(y+2)(y-2)= (2)(3-a)(3+a)= （3）(2a+b)(2a-b)= 通过计算你发现了什么规律?比较等号两边的代数式可以看到两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b².这个公式叫做平方差公式. 证一证：你能根据图中图形的面积关系来说明平方差公式吗 二、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【方法规律】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 【即学即练1】下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．依据平方差公式进行判断即可， 【解析】解：A、，故不符合题意； B、，符合平方差公式，故符合题意； C、不符合平方差公式，故不符合题意； D、，故不符合题意． 故选：B． 【即学即练2】运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【即学即练3】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【解析】解： ． 当时，原式． 题型1：利用平方差公式计算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式计算即可得到结果； （4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；． 【解析】（1） ； （2） （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【典例2】．简便计算：． 【答案】 【分析】变形通过平方差公式计算即可； 【解析】， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键． 【典例3】．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)4037 (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟记平方差公式． 题型2：判断能否用平方差公式计算 【典例4】．下列各式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的特征对每一项判断即可得到正确选项． 【解析】解：A、，能利用平方差公式，因此本选项不符合题意； B、原式，能利用平方差公式，因此本选项不符合题意； C、原式，因此能利用平方差公式，因此本选项不符合题意； D、原式，不能利用平方差公式，因此本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的特征，熟记平方差公式是解题的关键． 【典例5】．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差． 【解析】A、，故该选项不符合题意； B、原式，故该选项不符合题意； C、原式，故该选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D 【典例6】．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【解析】解：A．∵ ， ∴选项A能运用平方差公式，不合题意； B．，不能运用平方差公式，符合题意； C．∵ ， ∴选项C能运用平方差公式，不合题意； D．∵ ， ∴选项D能运用平方差公式，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 题型3：平方差公式的图形应用 【典例7】．一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积公式进行计算即可． 【解析】解：由长方形的面积公式可得，． 故选：． 【典例8】．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差．求这两个正方形的边长． 【答案】正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为 【分析】设正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，列出求出即可达到结果； 【解析】设正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为． 由已知得 解得 答：正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键． 【典例9】．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【解析】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积， 故． 故选：D． 题型4：利用平方差公式求代数式的值 【典例10】．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式，即可求解．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【典例11】．若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】把利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可． 【解析】， 又， ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便． 【典例12】．已知，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】D 【分析】借助已知条件 a−b=5 ，原式利用平方差化简边代入边求解即可． 【解析】解：∵ a−b=5 ， ∴原式 ． 故选：D． 【点睛】此题考查平方差公式，熟悉平方差公式及代数式求值技巧是关键，此题主要是边代入边求解． 【典例13】．若，则（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式即可求解． 【解析】解：∵， ∴，则， 解得：或（舍）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：． 题型5：多重平方差公式问题（含构造平方差公式） 【典例14】． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是关键． 【典例15】．计算结果等于（   ） A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232 【答案】B 【分析】根据含乘方的有理数的计算法则和平方差公式进行求解即可. 【解析】解： 故选B. 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数乘法计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式. 【典例16】．计算：． 【答案】2． 【分析】把原式前面一部分乘以，再利用乘法的运算律结合平方差公式进行计算，从而可得答案. 【解析】解： 【点睛】本题考查的是平方差公式的运用，掌握构建符合平方差公式特点的代数式进行运算是解题的关键. 【典例17】．式子 化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可． 【解析】解：设S= ， ∴（2—1）S=（2—1） ∴S= = = = ， 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查平方差公式的运算，解题的关键是根据式子的特点进行添项． 题型6：平方差公式的代数应用 【典例18】．已知：，，则、的大小关系是 . 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 利用平方差公式对M，N进行变形，然后计算出，可得答案． 【解析】解：∵ ； ； ∴ ， ∴， 故答案为：． 【典例19】．对于任何整数m，多项式都能被（    ）整除． A．8 B．m C． D． 【答案】A 【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断． 【解析】因为 所以原式能被8整除． 故选A． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． 【典例20】．设，，则的近似值为（    ） A．13 B．25 C．50 D．101 【答案】B 【分析】本题主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可． 【解析】解：∵，， ∴ ， 故选：B． 题型7：材料、规律题 【典例21】．则 . 【答案】 【分析】先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键. 【解析】解：∵ ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： 【典例22】．若n为正整数，观察下列各式： ①；②；③． 根据观察计算并填空： (1)______； (2)______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式： （1）根据题目所给式子，把原式变形为，据此求解即可； （2）先找到规律，进而把所求式子裂项，然后相消化简即可； （3）利用平方差公式把每一项展开，进而把原式变形为，然后相消化简即可． 【解析】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可得，， ∴ ， 故答案为：； （3）解： ． 题型8：图形应用的难点分析 【典例23】．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：． 【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； 应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得； ②利用两次平方差公式即可得； 拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【解析】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为， 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：， 故答案为：； 应用：①， 故答案为：12； ②原式， ， ； 拓展：原式， ， ， ， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键． 【典例24】． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． (1)填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 (2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． (3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． (4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 【答案】(1)5， (2) (3) (4)1275 【分析】(1)a=3，b=-2时，; 时，a-b=． (2)小空1  大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可． 小空2   把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可． (3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可． (4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【解析】（1） a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 5 （2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，， ∴阴影部分的面积为a2-b2； 小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b， ∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)． 故答案为： （3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是． （4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1 =(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1) =(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1) =50+49+48+47+46+45+…+2+1 = =1275 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 【典例25】．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式是 ； （2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）． 【答案】（1）；（2）； （3）大    小 【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可； （3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小； 【解析】（1）看图可知， （2） （3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【典例26】．操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 【答案】（1）③；（2）①21或；②见解析 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． （1）根据题意分别表示出左边4个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解； （2）①首先利用完全平方公式得到，然后求出，然后利用，求出，然后利用平方差公式求解即可； ②根据平方差公式画出图形求解即可． 【解析】（1）图1中左边4个等腰梯形的面积为，右边大平行四边形面积为 ∴， ∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，； 当时，； ∴的值为21或； ②如图所示，选图2， 左边阴影的面积为，右边阴影的面积为 ∴； 如图所示，选图3， 左边阴影的面积为，右边阴影的面积为 ∴． 【典例27】．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【解析】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【典例28】．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【解析】（1）解：图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为， 因此， 故选：C； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ∴， ∴ ， 答：不规则四边形BGED的面积为15； ② ‘ 一、单选题 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【解析】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式为，抓住两个因式中，一项是两数和，另一项是两数差，字母可以表示数也可以表示式，对选项进行一一分析看是否符合公式特征即可． 【解析】解：∵平方差公式为， 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项两数差， A. ，不能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B. 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，能用平方差公式计算，故选项B不符合题意； C. 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D. 两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位，一项是两数和，另一项是两数差，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意． 故选择A． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据平方差公式计算可得选项. 【解析】解： ． 故选：D． 4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项． 【解析】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]． 故选：D． 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征. 5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．±12 【答案】B 【分析】根据平方差公式，即可求解． 【解析】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0 ∴a+b＝-3，a﹣b＝4， ∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=-3×4=-12． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． 6．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式计算即可． 【解析】解：长方形的面积为， 故选：B． 7．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【解析】解： =（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1） =（24-1）（24+1）…（22n+1）， =（28-1）（28+1）…（22n+1）， =（22n-1）（22n+1）， =24n-1， 故选C． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（2-1）是解本题的关键． 8．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用平方差公式，得=，再整体代入化简求值即可． 【解析】解：∵， ∴=====． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算法则以及平方差公式是解题的关键． 9．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b） 【答案】C 【分析】根据两个图形阴影部分的面积相等、正方形和梯形的面积公式即可得． 【解析】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 则由图1和图2中阴影部分的面积相等得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出等量关系是解题关键． 10．若……，则A的值是 A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可 【解析】…… …… …… 故选D 【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键 二、填空题 11．在括号中填上适当的整式： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；            （4）( )． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解本题的关键． 12．填空 （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】直接根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键． 13．用简便方法计算： ． 【答案】1 【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 按照平方差公式将进行转化为，即可简便计算结果. 【解析】 ． 故答案为：1． 14．(1) = . (2) ；. 【答案】 【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可； （2）两次运用平方差公式计算即可. 【解析】解：（1）； （2）， 故答案为，，. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键. 15．计算= ． 【答案】2020 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值. 【解析】解：原式= = = =2020. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是利用平方差公式简化运算. 16．已知，，则 ． 【答案】2 【解析】解：， 又， ， ， 故答案为：2． 17．若，，则 ． 【答案】3 【分析】根据已知求出a+b及a-b的值，相乘即可得到答案． 【解析】解：∵2a+b=5，a+2b=4， ∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9， （2a+b）-（a+2b）=5-4，即a-b=1， ∴a+b=3， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握平方差公式分解因式及整体代入思想的应用，题目较基础． 18．若，则 ， . 【答案】 a+c ； b 【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意a+c看成是一个整体． 【解析】解：． ∴A=a+c；B=b. 故填：a+c；b 【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单． 三、解答题 19．运用平方差公式计算： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3999999；（6）999996． 【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （2）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （3）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （4）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （5）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （6）先变形，再根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1） ＝ ＝； （2） （3） （4） （5）2001×1999 ＝（2000＋1）×（2000−1） ＝ ＝4000000−1 ＝3999999 （6）998×1002 ＝（1000−2）×（1000＋2） ＝ ＝1000000−4 ＝999996． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）（a−b）＝． 20．计算： （1）；                     （2）； （3）；                   （4）； （5）；              （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】根据整式的乘法运算法则和平方差公式，对每个式子逐个计算即可． 【解析】解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】此题考查了整式的乘法以及平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则以及平方差公式是解题的关键． 21．计算： （1）；                  （2）； （3）；                    （4）； （5）；                 （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据平方差公式计算即可； （2）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可； （3）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可； （4）先利用平方差公式计算分子，再利用除法化简系数即可； （5）利用平方差公式计算即可； （6）连续使用平方差公式计算即可． 【解析】解:（1）；                   （2）； （3）；                     （4）； （5）； （6） = = = =． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征，使用时注意系数与次数的变化是解题关键． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】，21 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，化简后代值计算即可． 【解析】解：原式； 当时，原式． 23．（1）用简便方法计算： （2）先化简，再求值： ，其中   【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查平方差公式，整式的混合运算，化简求值，熟记平方差公式，准确计算是解题的关键； （1）运用平方差公式计算即可； （2）先去括号，合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算即可． 【解析】（1） （2） ； 把，代入得 24．已知，求的值． 【答案】84 【分析】将与相加，即可得到x-z，再乘以x+z，利用平方差公式即可解决本题． 【解析】解：， ． 【点睛】本题主要考查了整式与平方差公式，熟练平方差公式是解决本题的关键． 25．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平方差公式． （1）结合对应图形面积公式即可得解； （2）逆用平方差公式即可求解； （3）运用平方差公式，将转变为即可求解． 【解析】（1）解：依题得：，， ， 利用图形的面积关系所得到的公式为． 故答案为：；；． （2）解：由（1）得：， 原式， ， ， ． （3）解：根据（1）中所得关系式可得， 原式， ， ， ． 26．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　　． A．     B． C．     D． (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)A (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算； （1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为； （2）①用平方差公式分解，将已知值代入可求解； ②原式乘以，应用平方差公式展开后合并同类项即可． 【解析】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，， 故选：A； （2）①， ， 又， ； ② ． 27．观察下列一组等式： ； ； ； ． 利用你从以上这些等式中发现的规律： (1)填空：______； ______； （______）． (2)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______． A．    B． C．    D． (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)B (3) 【分析】本题考查整式乘法的规律： （1）根据题意得到，，即可得到答案； （2）根据，判断即可得到答案； （3）根据，计算，再结合平方差公式求解即可得到答案； 【解析】（1）解：由题意可得， ，， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得， ， 故选：B； （3）解：原式 ． 28．阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)当时，原式，当时，原式 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 38 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 平方差公式（八大题型） 学习目标 1、会用图形证明平方差公式； 2、学会用平方差公式计算； 3、平方差公式的应用。 一、知识引入 计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征： (1)(y+2)(y-2)= (2)(3-a)(3+a)= （3）(2a+b)(2a-b)= 通过计算你发现了什么规律?比较等号两边的代数式可以看到两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b².这个公式叫做平方差公式. 证一证：你能根据图中图形的面积关系来说明平方差公式吗 二、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【方法规律】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 【即学即练1】下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【即学即练2】运用平方差公式计算： (1)； (2) 【即学即练3】先化简，再求值：，其中． 题型1：利用平方差公式计算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】．简便计算：． 【典例3】．用简便方法计算： (1) (2) 题型2：判断能否用平方差公式计算 【典例4】．下列各式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．下列选项中不能运用平方差公式的有（　　） A． B． C． D． 题型3：平方差公式的图形应用 【典例7】．一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例8】．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差．求这两个正方形的边长． 【典例9】．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 题型4：利用平方差公式求代数式的值 【典例10】．若，，则 ． 【典例11】．若，则的值是（    ） A．24 B．16 C．8 D．4 【典例12】．已知，则的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．25 【典例13】．若，则（　　） A．3 B．6 C． D． 题型5：多重平方差公式问题（含构造平方差公式） 【典例14】． 【典例15】．计算结果等于（   ） A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232 【典例16】．计算：． 【典例17】．式子 化简的结果为（   ） A． B． C． D． 题型6：平方差公式的代数应用 【典例18】．已知：，，则、的大小关系是 . 【典例19】．对于任何整数m，多项式都能被（    ）整除． A．8 B．m C． D． 【典例20】．设，，则的近似值为（    ） A．13 B．25 C．50 D．101 题型7：材料、规律题 【典例21】．则 . 【典例22】．若n为正整数，观察下列各式： ①；②；③． 根据观察计算并填空： (1)______； (2)______； (3)计算：． 题型8：图形应用的难点分析 【典例23】．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；    【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　； ②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)． 【拓展】计算的结果为　　　　． 【典例24】． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现． (1)填表：【数的角度】 a b a＋b a－b a2－b2 2 1 3 1 3 3 －2 1 5 (2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ． (3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ． (4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1． 【典例25】．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式是 ； （2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）． 【典例26】．操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 【典例27】．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【典例28】．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 一、单选题 1．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D．1 4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．±12 6．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．计算的值是（    ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b） 10．若……，则A的值是 A．0 B．1 C． D． 二、填空题 11．在括号中填上适当的整式： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；            （4）( )． 12．填空 （1） ；（2） ． 13．用简便方法计算： ． 14．(1) = . (2) ；. 15．计算= ． 16．已知，，则 ． 17．若，，则 ． 18．若，则 ， . 三、解答题 19．运用平方差公式计算： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． 20．计算： （1）；                     （2）； （3）；                   （4）； （5）；              （6）． 21．计算： （1）；                  （2）； （3）；                    （4）； （5）；                 （6）． 22．先化简，再求值：，其中． 23．（1）用简便方法计算： （2）先化简，再求值： ，其中   24．已知，求的值． 25．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 26．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 　　． A．     B． C．     D． (2)应用这个公式完成下列各题． ①已知，，求的值； ②计算：． 27．观察下列一组等式： ； ； ； ． 利用你从以上这些等式中发现的规律： (1)填空：______； ______； （______）． (2)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______． A．    B． C．    D． (3)计算：． 28．阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得：． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$