专题04因式分解精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册

该初中数学导学案以“因式分解”为核心，目标是帮助学生认清与整式乘法的互逆关系，掌握“一提、二套、三叉、四查”标准化解题流程，精准识别公式结构并规避典型失误。通过“概念-方法-应用”的递进式设计，从基础题型到提升题型构建完整学习路径，体现知识建构的系统性。 亮点在于“统一解题四步法”的结构化训练和典型失误集锦，结合简便运算、整体代入求值等应用任务，培养学生的运算能力和模型意识。分层题型设计与解题思路指导，既促进深度学习又支持个性化学习，为教师实施单元复习提供清晰的教学框架和实用资源。

专题04因式分解精讲学案 核心立意 认清因式分解和整式乘法的互逆关系，牢固掌握“一提、二套、三叉、四查”标准化解题流程；精准识别平方差、完全平方式、可十字分解的三项式结构，规避各类典型失误；会利用因式分解做简便运算、整体代入求值，为分式约分扫清前置障碍。 因式分解的概念 1.定义：把多项式化成若干整式相乘。 2.互逆关系：整式乘法：积→多项式；因式分解：多项式→积。 3.判定标准：等式右边只有乘积，不含加减。 4.收尾硬性要求：有理数范围内分解至不能再拆分。 提取公因式法 1.公因式选取：系数取各项系数最大公因数；字母取各项共有字母；指数取同字母最低次幂。 2.操作流程：找出完整公因式；公因式移到括号外侧；括号内留存剩余项。 3.负号处理：首项系数为负，连同负号一并提出，括号内首项为正，括号内每一项全部变号。 4.特殊要点：某一项被整体提出公因式，括号对应位置补1，不能空缺。 公式法 1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，适配两项式；两项一正一负，都能写成平方形式。 2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(ab)2，适配三项式；首尾是平方项，中间项=2×底数1×底数2。 3.先后顺序：先提公因式，再套公式。 十字相乘法（二次项系数=1） 1.恒等式：x2+px+q=(x+a)(x+b)}，条件：ab=q,a+b=p。 2.操作流程：拆分常数项为一对整数；验算和等于一次项系数；写出因式。 3.符号速判：常数项＞0，两因数同号；常数项＜0，两因数异号。 统一解题四步法（必背） 1.提：提取全部公因式。 2.套：两项试平方差；三项试完全平方、十字相乘。 3.查：逐个检查因式，确认还能不能继续分解。 4.整：化简括号；相同因式写成幂；清理多余括号。 实际应用 1.简便运算：改写为乘积形式，简化大数计算。 2.代数式求值：先分解因式，整体代入，减少运算步骤。 3.求待定系数：对比分解前后同类项系数，求出参数。 重点辨析 1.因式分解、整式乘法：区分看变形方向，化成乘积为因式分解，展开乘积是整式乘法。 2.提公因式、公式法：提公因式处理公共因子；公式法依靠平方结构，经常搭配使用。 3.完全平方式辨识：不能只看首尾平方项，必须核验中间项带有系数2。 4.十字相乘校验：乘积对得上常数项的同时，因数之和要匹配一次项系数。 5.终止条件：有理数范围不能再分解即可停止。 1.分不清变形方向，把因式分解做成整式展开。 2.公因式提取不全，漏掉系数、字母。 3.提公因式之后括号漏写1。 4.提出负号，括号内部分项忘记变号。 5.跳过提公因式直接套用公式。 6.完全平方公式缺中间项的倍数2。 7.十字相乘仅核对常数项，忽略一次项。 8.分解半途停止，剩余因式还能继续分解。 9.写完因式又把括号展开。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：判断是否是因式分解 解题思路：①对照因式分解定义，确认左边是多项式，右边是若干整式相乘的形式；②核验等式左右两边相等；③给出判断结论。 1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不合题意； B、等号右边为，不是积的形式，不合题意； C、等号右边展开为，与左边不相等，变形错误，不合题意； D、等号右边是两个整式的积，展开后为，与左边相等，符合因式分解定义，符合题意． 2．下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可； 【详解】解：A：，右边是多项式加法的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，所以A不符合题意； B：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，所以B符合题意； C：，是整式的乘法运算，是从积的形式化为多项式，不属于因式分解，所以C不符合题意； D：，右边中不是整式，不符合因式分解的要求，所以D不符合题意． 3．下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，需要同时满足定义要求和变形正确，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵因式分解的定义是：将一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形结果正确， A. 由，得，原变形结果错误，不是正确的因式分解，不符合题意； B. ，符合完全平方公式，变形后是整式积的形式，是因式分解，符合题意； C. 等号右边是差的形式，不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D. 该变形是整式乘法，将整式的积化为多项式，不是因式分解，不符合题意． 题型二 已知因式分解的结果求参数 解题思路：①将因式展开成多项式；②与原式对比各项系数；③建立等式求出参数的值。 4．已知多项式有一个因式是，则________． 【答案】 【分析】根据因式分解的定义，多项式一定能分解为与另一个整式的乘积；令，从而将代入代数式即可求出的值． 【详解】解：令， 当时，， 解得． 5．已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解m，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果． 【详解】解：， 根据题意可得， 可得， 解得． 6．若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 7．若，则m+n的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1 【答案】D 【详解】先将展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可． 【解答】解：∵， 又∵， ∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5， 解得n＝2，m＝﹣3， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是根据等式的性质求出参数m和n的值． 题型三 公因式 解题思路：①求出各项系数的最大公因数；②找出全部项共有的相同字母；③取相同字母的最低次幂，组合得到公因式。 8．对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式中，系数2与8的最大公约数为2，两项共有的字母为，的最低次数为1，仅在第二项出现，不属于共有字母， ∴应提取的公因式是． 9．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此即可获得答案． 【详解】解：多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母x与y，x的最低次数为1，y的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 10．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 11．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 题型四 提公因式法分解因式 解题思路：①确定多项式各项的公因式；②多项式每一项除以公因式；③写成公因式与剩余多项式相乘的形式。 12．分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：． 13．计算得（     ） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴原式. 14．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 15．若，，则的值为 （    ） A． B．1011 C．2022 D．2024 【答案】A 【分析】将已知等式利用提公因式法变形，整理可得，进而可得，所以，由于，即，从而可得出答案． 【详解】解：∵， ， 即， 整理得， ， ∵， ， ， 即， ， ，即， ． 题型五 判断能否用公式法分解因式 解题思路：①观察多项式的项数；②比对平方差、完全平方公式的结构特征；③判断是否满足公式对应的条件。 16．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握和是解答本题的关键． 公式法因式分解指使用平方差公式或完全平方公式．选项C符合完全平方公式，其他选项均无法用公式法分解． 【详解】解： 选项A： 为平方和，无法用公式法因式分解； 选项B：，无法用公式法因式分解； 选项C：，符合完全平方公式，能用公式法因式分解； 选项D：，使用提公因式法，无法公式法因式分解． 故选C． 17．下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，公式法分解因式主要利用平方差公式和完全平方公式，注意多项式的形式是否符合公式要求． 检查每个多项式是否能使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【详解】解：①，能用平方差公式分解； ②，能用平方差公式、完全平方公式分解； ③，无法写成平方差或完全平方形式，故不能用公式法分解； ④，平方和不能分解，故不能用公式法分解； 综上，能用公式法分解的有2个， 故选：B． 18．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 题型六 平方差公式分解因式 解题思路：①把两项写成平方的形式；②确定公式中a、b对应的整式；③套用平方差公式写成和与差的乘积。 19．因式分解：________． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：． 20．下列多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴A错误． ∵，分解正确， ∴B正确． ∵，且无法因式分解， ∴C错误． ∵，且无法进一步分解， ∴D错误． 21．因式分解：________． 【答案】 【分析】先将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解后化简即可得到结果 【详解】解： 22．对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 【详解】解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 题型七 完全平方公式分解因式 解题思路：①首尾两项写成平方形式；②检验中间项是否等于2ab；③选用和或差对应的完全平方公式分解。 23．因式分解：____________． 【答案】 【详解】解：． 24．__ ． 【答案】1 【详解】解：原式 ． 25．若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形得到，再根据非负数的性质即可求出M的最小值． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴M的最小值是2020． 故选：C． 26．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】①③⑥ 【分析】根据能用完全平方公式分解因式的多项式特点，即多项式为三项，两个平方项符号相同，中间项为两个平方项的两底数乘积的，逐个判断即可． 【详解】解：①，符合完全平方公式分解因式的条件； ②，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 题型八 综合运用公式法分解因式 解题思路：①观察多项式项数和结构；②匹配对应的乘法公式进行分解；③检验因式能否继续分解，直到不能再分解。 27．因式分解：______． 【答案】． 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式进行计算，然后再用平方差公式进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 28．下列各式用公式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案． 【详解】A.不能用公式法分解因式，故错误；     B.，正确； C. 不能用公式法分解因式，故错误；     D.不能用公式法分解因式，故错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键． 29．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 解题思路：①第一步先提取整体公因式；②对剩下的多项式判断是否可以套用公式；③检查分解是否彻底。 30．分解因式：＝________________________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解得到最终结果． 【详解】解：． 31．多项式，在有理数范围内分解彻底为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先提公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】 解：． 32．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，D正确； 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 解题思路：①观察算式结构特点；②因式变形（提公因数或套用公式）；③简化后再进行运算。 33．若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 故选A 【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． 34．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 35．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型十一 十字相乘法 解题思路：②拆分二次项、常数项；②十字相乘求和，核对结果等于一次项系数；③横向书写两个因式。 36．因式分解：________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 37．因式分解，正确结果（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 38．因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 39．若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 题型十二 分组分解法 解题思路：①依据多项式特征恰当分组；②每组内部先因式分解；③各组之间提取整体公因式完成分解。 40．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： 41．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 42．分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 43．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 题型十三 因式分解的应用 解题思路：①根据题意列出代数式；②对代数式因式分解；③代入数值求值或者完成推理判断。 44．若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察到原式两个括号中均含，可将其整体代换为，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式换元后为． 45．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【答案】A 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 46．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 【答案】 【分析】观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论． 【详解】解：． 解答题 1．因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】使用提公因式法，公式法进行因式分解． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 2．因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握“一提二套三分组四检查”的口诀是解题关键． （1）使用提取公因式法进行因式分解即可； （2）使用平方差公式进行因式分解即可； （3）先以为整体，提取公因式，再使用平方差公式进行因式分解即可； （4）先提取公因式，再使用完全平方公式进行因式分解即可； （5）先以为整体，将乘式展开，再使用完全平方公式将多项式的一部分合并，最后使用平方差公式进行因式分解即可； （6）以为整体，使用十字相乘法进行因式分解即可； （7）先以为整体，运用十字相乘法进行初步的因式分解，再使用完全平方公式和十字相乘法将所得的结果进一步分解； （8）先分组提取公因式，将所得的结果再提取一次公因式即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ； （5）解：， ， ， ； （6）解：， ； （7）解：， ， ； （8）解：， ， ． 3．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 4．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 5．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为18． 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值； （2）解：， ， ， ，， ，， ； （3）解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04因式分解精讲学案 核心立意 认清因式分解和整式乘法的互逆关系，牢固掌握“一提、二套、三叉、四查”标准化解题流程；精准识别平方差、完全平方式、可十字分解的三项式结构，规避各类典型失误；会利用因式分解做简便运算、整体代入求值，为分式约分扫清前置障碍。 因式分解的概念 1.定义：把多项式化成若干整式相乘。 2.互逆关系：整式乘法：积→多项式；因式分解：多项式→积。 3.判定标准：等式右边只有乘积，不含加减。 4.收尾硬性要求：有理数范围内分解至不能再拆分。 提取公因式法 1.公因式选取：系数取各项系数最大公因数；字母取各项共有字母；指数取同字母最低次幂。 2.操作流程：找出完整公因式；公因式移到括号外侧；括号内留存剩余项。 3.负号处理：首项系数为负，连同负号一并提出，括号内首项为正，括号内每一项全部变号。 4.特殊要点：某一项被整体提出公因式，括号对应位置补1，不能空缺。 公式法 1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，适配两项式；两项一正一负，都能写成平方形式。 2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(ab)2，适配三项式；首尾是平方项，中间项=2×底数1×底数2。 3.先后顺序：先提公因式，再套公式。 十字相乘法（二次项系数=1） 1.恒等式：x2+px+q=(x+a)(x+b)}，条件：ab=q,a+b=p。 2.操作流程：拆分常数项为一对整数；验算和等于一次项系数；写出因式。 3.符号速判：常数项＞0，两因数同号；常数项＜0，两因数异号。 统一解题四步法（必背） 1.提：提取全部公因式。 2.套：两项试平方差；三项试完全平方、十字相乘。 3.查：逐个检查因式，确认还能不能继续分解。 4.整：化简括号；相同因式写成幂；清理多余括号。 实际应用 1.简便运算：改写为乘积形式，简化大数计算。 2.代数式求值：先分解因式，整体代入，减少运算步骤。 3.求待定系数：对比分解前后同类项系数，求出参数。 重点辨析 1.因式分解、整式乘法：区分看变形方向，化成乘积为因式分解，展开乘积是整式乘法。 2.提公因式、公式法：提公因式处理公共因子；公式法依靠平方结构，经常搭配使用。 3.完全平方式辨识：不能只看首尾平方项，必须核验中间项带有系数2。 4.十字相乘校验：乘积对得上常数项的同时，因数之和要匹配一次项系数。 5.终止条件：有理数范围不能再分解即可停止。 1.分不清变形方向，把因式分解做成整式展开。 2.公因式提取不全，漏掉系数、字母。 3.提公因式之后括号漏写1。 4.提出负号，括号内部分项忘记变号。 5.跳过提公因式直接套用公式。 6.完全平方公式缺中间项的倍数2。 7.十字相乘仅核对常数项，忽略一次项。 8.分解半途停止，剩余因式还能继续分解。 9.写完因式又把括号展开。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★★ 题型六 平方差公式分解因式 ★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：判断是否是因式分解 解题思路：①对照因式分解定义，确认左边是多项式，右边是若干整式相乘的形式；②核验等式左右两边相等；③给出判断结论。 1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 解题思路：①将因式展开成多项式；②与原式对比各项系数；③建立等式求出参数的值。 4．已知多项式有一个因式是，则________． 5．已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 6．若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 7．若，则m+n的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1 题型三 公因式 解题思路：①求出各项系数的最大公因数；②找出全部项共有的相同字母；③取相同字母的最低次幂，组合得到公因式。 8．对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（     ） A．4 B． C． D． 9．多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 10．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 11．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型四 提公因式法分解因式 解题思路：①确定多项式各项的公因式；②多项式每一项除以公因式；③写成公因式与剩余多项式相乘的形式。 12．分解因式：__________． 13．计算得（     ） A． B． C．2 D．－2 14．把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 15．若，，则的值为 （    ） A． B．1011 C．2022 D．2024 题型五 判断能否用公式法分解因式 解题思路：①观察多项式的项数；②比对平方差、完全平方公式的结构特征；③判断是否满足公式对应的条件。 16．下列多项式能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 17．下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型六 平方差公式分解因式 解题思路：①把两项写成平方的形式；②确定公式中a、b对应的整式；③套用平方差公式写成和与差的乘积。 19．因式分解：________． 20．下列多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 21．因式分解：________． 22．对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 题型七 完全平方公式分解因式 解题思路：①首尾两项写成平方形式；②检验中间项是否等于2ab；③选用和或差对应的完全平方公式分解。 23．因式分解：____________． 24．__ ． 25．若，则M的最小值是（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 26．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 题型八 综合运用公式法分解因式 解题思路：①观察多项式项数和结构；②匹配对应的乘法公式进行分解；③检验因式能否继续分解，直到不能再分解。 27．因式分解：______． 28．下列各式用公式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 29．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 解题思路：①第一步先提取整体公因式；②对剩下的多项式判断是否可以套用公式；③检查分解是否彻底。 30．分解因式：＝________________________． 31．多项式，在有理数范围内分解彻底为（     ） A． B． C． D． 32．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 解题思路：①观察算式结构特点；②因式变形（提公因数或套用公式）；③简化后再进行运算。 33．若，则的值为（    ） A．13 B．18 C．5 D．1 34．______． 35．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型十一 十字相乘法 解题思路：②拆分二次项、常数项；②十字相乘求和，核对结果等于一次项系数；③横向书写两个因式。 36．因式分解：________． 37．因式分解，正确结果（     ） A． B． C． D． 38．因式分解：=___________ 39．若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 题型十二 分组分解法 解题思路：①依据多项式特征恰当分组；②每组内部先因式分解；③各组之间提取整体公因式完成分解。 40．因式分解：______． 41．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 42．分解因式：________． 43．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 因式分解的应用 解题思路：①根据题意列出代数式；②对代数式因式分解；③代入数值求值或者完成推理判断。 44．若，则换元后为（     ） A． B． C． D． 45．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 46．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义．如图，小明把左侧两个正方形和两个长方形拼接为右边的一个大正方形，根据题意可用等式表示一个多项式的因式分解是________． 解答题 1．因式分解 (1) (2) (3) (4) 2．因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 3．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 4．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 5．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $