专题01 因式分解综合应用（七大题型）（专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题01 因式分解综合应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知因式分解的结果求参数（常考点） 1 题型二、十字相乘法分解因式（重点） 2 题型三、分组分解法分解因式（常考点） 5 题型四、综合提公因式和公式法分解因式重点） 6 题型五、综合运用公式法分解因式（重点） 8 题型六、完全平方公式的变形 （难点） 11 题型七、因式分解的应用 （难点） 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知因式分解的结果求参数 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【答案】11 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 4． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 【答案】6 【详解】解：设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为：6 题型二、十字相乘法分解因式 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： 7．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为 ：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 原式 故答案为：. 10．（25-26七年级上·上海闵行·期中）两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是 ． 【答案】 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 【答案】9或12或21 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 13．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 题型三、分组分解法分解因式 16．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 17．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 18．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 19．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】． 【详解】解： ． 题型四、综合提公因式和公式法分解因式 20．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 21．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 22．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 25．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 26．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 27．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 28．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解：            ． 29．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 30．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 31．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解：原式 . 32．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 【详解】解：小明做得不正确，从第③步出错， 小明在步骤③中错误地将加法运算视为乘法运算，并且错误地改变了因式，导致因式分解错误． ． 题型五、综合运用公式法分解因式 33．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 34．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】7 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 35．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ． 36．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 37．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： =          =                     =                        =                =． 38．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 39．（25-26七年级上·上海·阶段练习）利用因式分解简便计算：． 【答案】16 【详解】解： ． 40．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）若，，，求代数式的值． 【答案】． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 41．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 【答案】 【详解】解：设， ∴ ． 题型六、完全平方公式的变形 42．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 【答案】2 【详解】由周长公式得： 设，则，且 ， 代入方程： 故长方形面积为平方米。 故答案为：2． 43．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】300 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴﹒ ∴ 44．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意得，． ． （2）解：． ． 45．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明： 【详解】解：∵ ， ， ∴， 即， 整理得， ∵ ， ∴． 46．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 题型七、因式分解的应用 47．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，，则 ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 48．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ． 【答案】 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 49．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 50．（24-25七年级上·上海·阶段练习）试说明能被整除． 【详解】证明： ， ∴能被整除． 51．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【详解】解：设， 则， ， 解得， ． 52．（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 【详解】（1）∵恒成立， ∴ ∴； （2）设， ∴， ∴， 多项式的另一因式是． 53．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【详解】（1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 54．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 【详解】（1）解：当时， ， ∴是整式的一个因式； （2）当整式的一次项系数变为时， ， ∵是它的一个因式， ∴， 解得：； （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴和、就是整式的因式， ∴． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 【详解】（1）图2九个部分的面积和为，整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：设， 由图4可知，，， ． 因为当的长度变化时，的值始终保持不变，即的系数为0， 所以． 设 ， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． 作图如下图所示： 1．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 2．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即智慧优数为，， 所以，第2025个智慧优数为． 故答案为：8104． 4．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 【答案】31或175或1631 【详解】解：设这个正整数为a，则，，， ， 对81因式分解，可以分解为3和27，或1和81，或9和9， 所以：，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 故答案为：31或175或1631． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 【答案】 【详解】解： 6．（25-26七年级上·上海松江·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式 ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)（为大于2的正整数）． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 11．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【详解】（1）解：解法一：， 则原式， ； 解法二：设， 则原式， ； （2）设， 原式 ． 13．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：图（1）中立方体的体积可表示为； 图（1）中立方体的体积也可表示为即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：81． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解综合应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知因式分解的结果求参数（常考点） 1 题型二、十字相乘法分解因式（重点） 1 题型三、分组分解法分解因式（常考点） 2 题型四、综合提公因式和公式法分解因式重点） 3 题型五、综合运用公式法分解因式（重点） 5 题型六、完全平方公式的变形 （难点） 6 题型七、因式分解的应用 （难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知因式分解的结果求参数 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 2．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是，则 ． 题型二、十字相乘法分解因式 4．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 5．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 7．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）因式分解： ． 8．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期中）两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是 ． 11．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为 ． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 13．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 14．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 题型三、分组分解法分解因式 16．（25-26七年级上·上海静安·期中）分解因式：． 17．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 18．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 19．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 题型四、综合提公因式和公式法分解因式 20．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 21．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： ． 22．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： ． 23．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 24．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 26．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 27．（25-26七年级上·上海普陀·期中）因式分解：． 28．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 29．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：． 30．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 31．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 32．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）以下是小明因式分解的过程： 小明做得正确吗？如果不正确，他是从第几步出了错？请你写出正确的因式分解过程． 题型五、综合运用公式法分解因式 33．（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 34．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 35．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 36．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）因式分解： 37．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解： 38．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 39．（25-26七年级上·上海·阶段练习）利用因式分解简便计算：． 40．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）若，，，求代数式的值． 41．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读下列解题过程： 分解因式： 分析：题中是，把分别看作，用公式法分解因式，即可得 解：设则 原式 像这样因式分解的方法叫做运用换元法的因式分解． 请你参照上述方法因式分解：． 题型六、完全平方公式的变形 42．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 43．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求代数式的值． 44．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： (1)； (2)． 45．（22-23七年级上·上海青浦·期中）证明： 46．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 题型七、因式分解的应用 47．（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，，则 ．（填“”“ ”或“”） 48．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ． 49．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 50．（24-25七年级上·上海·阶段练习）试说明能被整除． 51．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 52．（24-25七年级上·上海·阶段练习）阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 53．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 54．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）阅读材料 我们学过因式分解，如：，这时就说和是的因式． 那么，不进行因式分解能不能判断这样的式子是不是某个整式的因式呢？ 对于整式我们分别计算： 当时，原式；当时，原式； 当我们把和分别代入，整式的值都等于0，那么和就是整式的两个因式．通过归纳发现： 如果当时，一个整式的值等于0，那么就一定是这个整式的一个因式． 反过来，如果是整式的一个因式，那么当时，这个整式的值一定等于0． 请你根据上述材料解决以下问题：已知整式， (1)请判断是否是整式的一个因式； (2)当整式的一次项系数变为时，而仍是它的一个因式．求此时的值； (3)请尝试将整式进行因式分解． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． (1)小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． (2)如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 1．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 2．（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 3．（25-26七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 4．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）因式分解： 6．（25-26七年级上·上海松江·期中）分解因式： (1) (2) (3) 7．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 8．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 9．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)（为大于2的正整数）． 10．（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 11．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 12．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 【材料一】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 【材料二】将因式分解． 解法一：原式； 解法二：原式 对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 13．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料： 在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、． (1)将图（3）中三块长方体体积和因式分解：_________． (2)图（1）中立方体的体积和图（3）中三块长方体体积和相同，利用等体积法能得到等式：________． (3)利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：_________． (4)应用：若已知，，则的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $