专题05分式及其性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦分式概念、性质及应用，通过分数知识类比迁移，明晰分式定义与整式的区别，构建从分数到分式的知识脉络，为后续分式运算筑牢基础。 资料包含知识梳理表格、常见误区提示及16种分层题型，解题思路清晰，注重培养学生抽象能力、推理意识和运算能力，帮助规范恒等变形与严谨检验，提升分式学习效率与数学思维。

专题05分式及其性质精讲学案 核心立意 依托分数知识进行类比迁移，明晰分式概念，准确区分整式与分式；掌握分式有意义、无意义、值为零的限定条件；吃透分式基本性质与符号法则，规范完成系数整数化、最高次项系数转正、约分等恒等变形；理清分式求值的完整流程，树立严谨的检验意识，为本章后续分式运算筑牢根基。 分式的概念 1.定义：形如，A、B均为整式，分母B内含字母，则称作分式。 2.判定要点：判别依据仅限分母，和分子有无字母无关；属于常数，不得视作字母。 3.有理式分类：有理式分为整式、分式两类。 分式有意义、无意义、值为0的条件 1.分式有意义：B0，解对应的不等式，写明字母取值范围。 2.分式无意义：B=0，解方程，求出对应的字母取值。 3.分式值为0：先令A=0算出候选值；再校验B≠0，剔除无效取值；两项条件必须同时成立。 分式的基本性质 1.性质：分式分子、分母同时乘或者除以同一个不为0的整式M，分式的值保持不变。 2.公式：：，（C是整式，C0） 3.关键点：C0是分式恒等变形必不可少的前提。 分式符号法则 = 1.法则：分子、分母、分式本身三处符号，同步改变两处，分式的值不变。 2.用途：专门用来完成分子、分母最高次项系数转正的变形。 分式基本性质的应用 1.系数化为整数：求取所有分数系数分母的最小公倍数；分子分母整体同乘该公倍数；分子、分母的每一项都要相乘，杜绝漏乘。 2.最高次项系数转正：定位分子、分母中的最高次项；借助符号法则调整负号位置；检查确认最高次项系数为正数。 约分与最简分式 1.约分步骤：分子、分母是多项式时，优先因式分解；找出分子分母的公因式进行约去。 2.注意事项：只允许约乘积形式的因式；由加减号相连的项不能直接约分。 3.最简分式定义：因式分解完成后，分子、分母除去1不存在其他公因式。 4.硬性要求：约分最终结果务必化成最简分式。 分式求值 1.取值校验：代入前先把待测数值代入原始分母验算；若分母等于0，该取值无效，严禁代入运算。 2.化简优先：条件允许时先将分式约分化简，再代入数值，减小运算量，降低计算失误。 3.代入运算：合规数值替换式中字母，严格遵循四则运算顺序计算。 4.结果规范：计算得到分数结果时，整理成最简分数。 重点辨析 1.整式与分式：判定唯一标准是分母是否含有字母，分子不影响判定结果。 2.分数与分式：分数分母是固定常数，字母约束不存在；分式分母含有字母，取值受B≠0限制。 3.分式恒等变形：乘除运算必须同步施加给分子分母，单独改变分子或分母，分式值会发生变化。 4.约分适用范围：仅乘积形式的因式可以约去，加减相连的项不可直接消去。 5.分式求值：求值可以先化简后代入，也可以直接代入；原始分母为零的取值，即便化简后也不能使用。 1.判定分式时误将当成字母。 2.求解分式值为0，只令分子等于0，省略分母校验环节。 3.运用分式基本性质，遗漏M≠0这个前提条件。 4.处理多项式分式，约分前不做因式分解，直接消去其中某项。 5.系数化为整数的变形当中，发生漏乘项的失误。 6.约分结束，最终结果没有化为最简分式。 7.求值环节跳过分母校验，代入无效数值；未化简直接代入，计算量大产生运算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 分式的判断 ★ 题型二 分式的规律性问题 ★★★ 题型三 按要求构造分式 ★★ 题型四 分式有意义的条件 ★ 题型五 分式无意义的条件 ★ 题型六 分式值为零的条件 ★★ 题型七 分式的求值 ★★ 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 ★★★ 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 ★★★ 题型十 判断分式变形是否正确 ★★ 题型十一 求使分式变形成立的条件 ★★ 题型十二 用分式的基本性质判断分式值的变化 ★★ 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 ★★ 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 ★★ 题型十五 最简分式 ★ 题型十六 约分 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：分式的判断 解题思路：①先看形式是不是分数形式，分子分母均为整式；②检查分母内是否含有字母，π属于常数不算字母；③结合前两步判断是不是分式。 1．下列式子中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．代数式中是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 分式的规律性问题 解题思路：①拆分给出各项，分开观察符号、分子、分母；②分别找出随序号变化的规律；③写出第n项的分式，选取已知项代入验证正误。 4．其中第10个分式是______． 5．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 6．已知（且），，，，，则的值为________． 题型三 按要求构造分式 解题思路：①编写分母，分母必须含有字母；②根据题干条件填写分子；③逐项核对条件，保证分母不会恒为0。 7．根据表格中的信息，请写出一个含的分式：______． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 8．请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是__（写出一个即可）． 9．学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本元，共花费600元，很快借阅一空；第二次又花费600元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C．D． 题型四 分式有意义的条件 解题思路：①找到分式的分母；②列出分母≠0的不等式；③求解不等式，写出未知数的取值范围。 10．若分式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．若分式有意义，则的值应满足______． 12．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 题型五 分式无意义的条件 解题思路：①找到分式的分母；②令分母等于0；③解方程，求出未知数的值。 13．使分式无意义的是（     ） A． B． C． D． 14．已知当时，分式无意义，则的值为__________． 15．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 题型六 分式值为零的条件 解题思路：①令分子等于0，算出候选数值；②把候选值代入分母检验，去掉会让分母等于0的值；③写出最终结果。 16．若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B． C．3 D．4 17．分式的值为0，则x应满足的条件是________． 18．已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 19．已知分式的值为0，那么的值是（   ） A． B．0 C．3 D． 题型七 分式的求值 解题思路：①检验代入的数值不能让分母等于0；②将数值代入分式当中；③依照运算顺序算出结果。 20．当时，分式的值为（     ） A． B． C． D． 21．已知，且，则的值为______． 22．已知，则______． 23．已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题思路：①分式为正则分子分母同号，分式为负则分子分母异号，列出对应的不等式组；②逐个解出各组不等式；③整合所有符合条件的解集，排除分母等于0的取值。 24．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 25．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 解题思路：①变形分式，拆分出整数部分；②保证分母能够整除剩余部分的分子；③列出所有整数解，剔除分母等于0的情况。 27．分式的值是正整数，则整数x＝________． 28．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 29．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十 判断分式变形是否正确 解题思路：①看清分子、分母进行乘除哪一种运算；②核对二者是否同时乘除同一个不为0的整式；③给出正误判断。 30．下列各式从左到右变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 31．下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 32．以下各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十一 求使分式变形成立的条件 解题思路：①找出分子分母共同乘除的整式；②令这个整式不等于0；③解不等式，写出未知数需要满足的限制条件。 33．已知实数，若，则的最大值为________． 34．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 35．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 解题思路：①把原式记作(b≠0)；②按照题目要求同步更改分子a、分母b；③化简新分式，和原式对比，判断数值变化情况。 36．分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 37．若，则________． 38．若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 解题思路：①找出分子与分母的最高次项；②运用分式符号法则调整负号位置；③确认最高次项系数是正数。 39．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 40．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 41．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C．D． 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 解题思路：①找出全部分数系数分母的最小公倍数；②分子分母整体同乘该公倍数；③化简完成后检查所有系数都是整数。 42．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 43．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 44．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 题型十五 最简分式 解题思路：①把分子、分母分别因式分解；②查看除去±1以外有没有公因式；③作出判定。 45．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 46．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 47．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 题型十六 约分 解题思路：①将分子、分母因式分解；②找出分子分母的公因式；③约去公因式，化简成最简分式。 48．约分的结果是（     ） A． B． C． D． 49．已知，且，则的值为______． 50．下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 2．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 3．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 4．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 5．观察下列一组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)根据规律，写出第5个等式． (2)猜想第个等式（为正整数），并运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式及其性质精讲学案 核心立意 依托分数知识进行类比迁移，明晰分式概念，准确区分整式与分式；掌握分式有意义、无意义、值为零的限定条件；吃透分式基本性质与符号法则，规范完成系数整数化、最高次项系数转正、约分等恒等变形；理清分式求值的完整流程，树立严谨的检验意识，为本章后续分式运算筑牢根基。 分式的概念 1.定义：形如，A、B均为整式，分母B内含字母，则称作分式。 2.判定要点：判别依据仅限分母，和分子有无字母无关；属于常数，不得视作字母。 3.有理式分类：有理式分为整式、分式两类。 分式有意义、无意义、值为0的条件 1.分式有意义：B0，解对应的不等式，写明字母取值范围。 2.分式无意义：B=0，解方程，求出对应的字母取值。 3.分式值为0：先令A=0算出候选值；再校验B≠0，剔除无效取值；两项条件必须同时成立。 分式的基本性质 1.性质：分式分子、分母同时乘或者除以同一个不为0的整式M，分式的值保持不变。 2.公式：：，（C是整式，C0） 3.关键点：C0是分式恒等变形必不可少的前提。 分式符号法则 = 1.法则：分子、分母、分式本身三处符号，同步改变两处，分式的值不变。 2.用途：专门用来完成分子、分母最高次项系数转正的变形。 分式基本性质的应用 1.系数化为整数：求取所有分数系数分母的最小公倍数；分子分母整体同乘该公倍数；分子、分母的每一项都要相乘，杜绝漏乘。 2.最高次项系数转正：定位分子、分母中的最高次项；借助符号法则调整负号位置；检查确认最高次项系数为正数。 约分与最简分式 1.约分步骤：分子、分母是多项式时，优先因式分解；找出分子分母的公因式进行约去。 2.注意事项：只允许约乘积形式的因式；由加减号相连的项不能直接约分。 3.最简分式定义：因式分解完成后，分子、分母除去1不存在其他公因式。 4.硬性要求：约分最终结果务必化成最简分式。 分式求值 1.取值校验：代入前先把待测数值代入原始分母验算；若分母等于0，该取值无效，严禁代入运算。 2.化简优先：条件允许时先将分式约分化简，再代入数值，减小运算量，降低计算失误。 3.代入运算：合规数值替换式中字母，严格遵循四则运算顺序计算。 4.结果规范：计算得到分数结果时，整理成最简分数。 重点辨析 1.整式与分式：判定唯一标准是分母是否含有字母，分子不影响判定结果。 2.分数与分式：分数分母是固定常数，字母约束不存在；分式分母含有字母，取值受B≠0限制。 3.分式恒等变形：乘除运算必须同步施加给分子分母，单独改变分子或分母，分式值会发生变化。 4.约分适用范围：仅乘积形式的因式可以约去，加减相连的项不可直接消去。 5.分式求值：求值可以先化简后代入，也可以直接代入；原始分母为零的取值，即便化简后也不能使用。 1.判定分式时误将当成字母。 2.求解分式值为0，只令分子等于0，省略分母校验环节。 3.运用分式基本性质，遗漏M≠0这个前提条件。 4.处理多项式分式，约分前不做因式分解，直接消去其中某项。 5.系数化为整数的变形当中，发生漏乘项的失误。 6.约分结束，最终结果没有化为最简分式。 7.求值环节跳过分母校验，代入无效数值；未化简直接代入，计算量大产生运算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 分式的判断 ★ 题型二 分式的规律性问题 ★★★ 题型三 按要求构造分式 ★★ 题型四 分式有意义的条件 ★ 题型五 分式无意义的条件 ★ 题型六 分式值为零的条件 ★★ 题型七 分式的求值 ★★ 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 ★★★ 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 ★★★ 题型十 判断分式变形是否正确 ★★ 题型十一 求使分式变形成立的条件 ★★ 题型十二 用分式的基本性质判断分式值的变化 ★★ 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 ★★ 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 ★★ 题型十五 最简分式 ★ 题型十六 约分 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：分式的判断 解题思路：①先看形式是不是分数形式，分子分母均为整式；②检查分母内是否含有字母，π属于常数不算字母；③结合前两步判断是不是分式。 1．下列式子中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中，只有C选项中的式子是分式． 2．代数式中是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分式的定义进行判断即可，分式定义为：若是整式，且中含有字母，，则是分式，注意是常数不是字母． 【详解】解：的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母是常数，是整式，不是分式； 中是常数，分母为常数，是整式，不是分式； 的分母含字母，是分式； 是整式，不是分式． 综上可知，符合分式定义的代数式共个． 3．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 题型二 分式的规律性问题 解题思路：①拆分给出各项，分开观察符号、分子、分母；②分别找出随序号变化的规律；③写出第n项的分式，选取已知项代入验证正误。 4．其中第10个分式是______． 【答案】 【分析】本题是一道找规律的题，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，对于本题而言，有三处发生变化：分子、分母、分式的符号，理解题意找到变换规律，并用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是解题关键． 【详解】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为， 分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为， 分数符号为−，+，−，+，…， 第个式子是， 故第10个式子 故答案为：． 5．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 6．已知（且），，，，，则的值为________． 【答案】/ 【分析】先计算前几项，得到循环规律，再计算除以循环周期，即可确定的值． 【详解】由题意得： ， ， ， ， 每三项循环一次， ． 题型三 按要求构造分式 解题思路：①编写分母，分母必须含有字母；②根据题干条件填写分子；③逐项核对条件，保证分母不会恒为0。 7．根据表格中的信息，请写出一个含的分式：______． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的值，分式无意义的条件，根据时，分式的值无意义可知分母含有因式，再根据时，分式的值为解答即可． 【详解】解：满足条件的分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是__（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一，如0． 【分析】要想使得分式的值为整数，分子必须是分母的倍数，因此，m-1只能是1,2,4或-1，-2，-4，分别计算，选择一个即可． 【详解】分式的值为整数，也是整数， ∴m-1只能是1,2,4或-1，-2，-4， 的值可以是，，0，2，3，5． 故答案为：0．答案不唯一． 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值为整数的条件是分母是分子的约数，这是解题的关键． 9．学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本元，共花费600元，很快借阅一空；第二次又花费600元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据“数量=总花费÷单价”，分别求出两次购进读物的数量，再用第二次的数量减去第一次的数量，即可得到结果． 【详解】∵第一次采购单价为每本元，总花费为元， ∴第一次购进读物的数量为本， ∵第二次每本价格比第一次降低元，总花费仍为元 ∴第二次采购单价为每本元，第二次购进读物的数量为本 ∴第二次购进的读物数量比第一次多本． 题型四 分式有意义的条件 解题思路：①找到分式的分母；②列出分母≠0的不等式；③求解不等式，写出未知数的取值范围。 10．若分式有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 11．若分式有意义，则的值应满足______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求解即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分母是否恒不为零． 分别分析每个选项的分母，判断其是否可能为零，若分母恒不为零，则该分式无论取何值都一定有意义． 【详解】解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； D、， ，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意． 故选：D． 题型五 分式无意义的条件 解题思路：①找到分式的分母；②令分母等于0；③解方程，求出未知数的值。 13．使分式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为，列方程解答即可． 【详解】解：∵分式无意义时，分式的分母等于， ∴令， 解得 ∴使分式无意义的是． 14．已知当时，分式无意义，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式没有意义的条件是分母等于，掌握分式无意义的条件是解决此题的关键． 分式无意义时分母为零，将代入分母并令其等于零，解方程求即可． 【详解】解：当时，分式无意义，则分母， 代入得， 即， 解得， 故答案为：． 15．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 【详解】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 题型六 分式值为零的条件 解题思路：①令分子等于0，算出候选数值；②把候选值代入分母检验，去掉会让分母等于0的值；③写出最终结果。 16．若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件：分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． 17．分式的值为0，则x应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据分式值为零需满足分子为0，同时分母不等于0计算即可． 【详解】解：由题意得且， 解，得， 由，得， 因此． 18．已知分式的值为零，则的值为  （    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式值为零需同时满足两个条件：分子等于零，分母不等于零，据此计算即可得到结果． 【详解】解：分式的值为零， ， 解， 可得：或， 解， 可得：， 不符合要求，舍去， ． 19．已知分式的值为0，那么的值是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 根据分式的值为0，则分子为0且分母不为0解答即可． 【详解】解：∵ 分式 的值为0， ∴ 分子 ，且分母 ． ∴ ，∴ 或 ； ，∴． ∴ ． 故选：C． 题型七 分式的求值 解题思路：①检验代入的数值不能让分母等于0；②将数值代入分式当中；③依照运算顺序算出结果。 20．当时，分式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的的值代入分式计算即可得到结果. 【详解】解：把代入分式，得： . 21．已知，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 22．已知，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 23．已知，则分式的值为（     ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】将待求分式的分子分母同除以，转化为含已知式的形式，整体代入求值． 【详解】解：由题意得，， 将的分子、分母同时除以，得， ∵， ∴原式． 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题思路：①分式为正则分子分母同号，分式为负则分子分母异号，列出对应的不等式组；②逐个解出各组不等式；③整合所有符合条件的解集，排除分母等于0的取值。 24．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 25．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 26．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 解题思路：①变形分式，拆分出整数部分；②保证分母能够整除剩余部分的分子；③列出所有整数解，剔除分母等于0的情况。 27．分式的值是正整数，则整数x＝________． 【答案】3或9 【分析】本题考查分式的值，根据题意得出的值求解即可． 【详解】由题意可知：或7 当时， ∴，符合题意 当时， ∴； 综上所述，或9； 故答案为：3或9． 28．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 29．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 题型十 判断分式变形是否正确 解题思路：①看清分子、分母进行乘除哪一种运算；②核对二者是否同时乘除同一个不为0的整式；③给出正误判断。 30．下列各式从左到右变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A选项，，故A错误． 对于B选项， ，故B正确． 对于C选项，，故C错误． 对于D选项， 与没有公因式，无法约分，，故D错误． 31．下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 32．以下各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式，分式的值不变， A选项给分子分母同时加，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； B选项给分子分母同时减，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； C选项给分子分母同乘不为的，符合分式基本性质，，成立，C正确； D选项给分子分母分别平方，不符合分式基本性质，等式不成立，D错误． 题型十一 求使分式变形成立的条件 解题思路：①找出分子分母共同乘除的整式；②令这个整式不等于0；③解不等式，写出未知数需要满足的限制条件。 33．已知实数，若，则的最大值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的性质，将原式变形为，结合，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 34．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 35．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型十二 利用分式的基本性质判断分式值的变化 解题思路：①把原式记作(b≠0)；②按照题目要求同步更改分子a、分母b；③化简新分式，和原式对比，判断数值变化情况。 36．分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】A 【详解】解：∵， ∴将分式中的，的值都扩大为原来的3倍，分式的值不变． 37．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 38．若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：x，y的值均扩大为原来的2倍，即新变量为，， 选项A：，与原分式相等，值保持不变，符合要求； 选项B：，值改变，不符合要求； 选项C：，值改变，不符合要求； 选项D：，值改变，不符合要求． 题型十三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 解题思路：①找出分子与分母的最高次项；②运用分式符号法则调整负号位置；③确认最高次项系数是正数。 39．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 40．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 41．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 题型十四 将分式的分子分母各项系数化为整数 解题思路：①找出全部分数系数分母的最小公倍数；②分子分母整体同乘该公倍数；③化简完成后检查所有系数都是整数。 42．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 43．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 44．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 题型十五 最简分式 解题思路：①把分子、分母分别因式分解；②查看除去±1以外有没有公因式；③作出判定。 45．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，逐一判断各选项能否约分，即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 对选项B：的分子与分母没有公因式，不能约分，是最简分式； 对选项C：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 对选项D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 46．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 【答案】①⑤ 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式； ⑤是最简分式； ⑥，不是最简分式； 综上，是最简分式的有①⑤． 47．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 题型十六 约分 解题思路：①将分子、分母因式分解；②找出分子分母的公因式；③约去公因式，化简成最简分式。 48．约分的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出分式分子分母的公因式，即可约分． 【详解】． 49．已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 50．下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式约分需先确定分子与分母的公因式，多项式形式的分子或分母需先因式分解，再约去公因式． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B：无法分解出因式，无公因式可约，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 解答题 1．先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为0 【详解】解： 当，时，原式． 2．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【答案】(1)整数的值为 (2)整数的值为 【详解】（1）由分式有意义的条件知，故， 因为3的整数因数为3,1，，， 故， 解得 （2），故分式的值为整数即的值为整数，且， 由第（1）问知 3．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 4．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小； （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大； （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2； （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，． 5．观察下列一组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)根据规律，写出第5个等式． (2)猜想第个等式（为正整数），并运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)猜想：， 推理说明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立． 【分析】（1）先观察给出的前4个等式的分子、分母、乘的整数、加的整数和等式序号的对应关系，确定各部分随序号变化的规律，以此写出第5个等式； （2）根据归纳出的规律，用含正整数的式子分别表示第个等式的左右两边，得到猜想的等式，对猜想的等式左右两边分别利用分式的运算法则进行化简，验证两边是否相等． 【详解】（1）略； （2）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $