精品解析：重庆市南开中学校2026-2027学年九年级上学期开入学学情自测试题

数学（一） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6. 根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线交于点，交于点．若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 24 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数） 9. 如图，在正方形中，点，，分别为，，上的点，连接，交于点，连接．若，，，，则的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 3 10. 已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（ ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 12. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 14. 为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 15. 如图，在中，，，点D为线段上动点，点E为线段上动点，且满足，则的最小值为______；当取得最小值时，的长为______． 16. 若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为．若是“公能数”，且，则四位数是______；A、B均为“公能数”，，（，，，，，，且a，b，c，d，x，y均为整数），若，且能被8整除，则满足条件的A的值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18题各8分，其余每题10分，共86分）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，连接，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的左侧作交延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明： 是的中点， ． ， ∴ ① ， 在和中， （）． ∴ ③ ∵平行四边形的两条对角线相交于点， ， ∴ ④ ， ∴四边形为平行四边形（ ⑤ ）． 20. 随着科技进步与大数据时代的到来，智能化产品逐步走进大众日常生活．研究人员对甲、乙两款产品开展用户满意度评分测试，并分别随机抽取20份评分数据，对所得数据进行整理、描述和分析（评分分数记为，将评价结果分为四个等级：不满意A：；比较满意B：；满意C：；非常满意D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：71，72，73，74，76，77，78，82，82，82，84，85，86，87，88，89，94，95，96，99． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：81，84，85，85，86，88． 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 83.5 83   乙 83.5 b 94 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为甲，乙两款产品中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可） （3）在此次测试中，有1000人对甲款产品，800人对乙款产品参与评分，估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有多少人？ 21. 如图，在四边形中，，，，，．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动，到达点时停止运动，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿射线匀速运动，当停止时，点也停止运动．两点同时出发，设点运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出与之间的函数关系式及对应的的取值范围； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若函数的图象与函数的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 22. 北关中学打算采购一批航天模型用于打造航天科创实验室．已知A款航天模型比B款航天模型每个贵10元，用1000元购买A款航天模型的数量与用800元购买B款航天模型的数量相等． （1）求A、B两款航天模型的单价； （2）学校准备采购A、B两款航天模型共40个．商场的优惠政策为：A款航天模型每个打9折，B款航天模型当购买数量不超过15个时不打折，当购买数量超过15个时，仅超过的部分打8折．现要求购买A款航天模型的数量不少于款航天模型数量的，求采购总花费的最小值． 23. 美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … （1）求与的函数表达式； （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； （3）若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，将、绕点A逆时针旋转得到、，点C的对应点为D，点B的对应点为E，连接、． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）如图2，连接，过点E作交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，连接，，当的面积S取得最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母均为常数，不是分式，的分母含字母，是分式． 2. 近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，故本选项符合题意； C、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、它不是轴对称图形，故本选项不合题意． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抓住因式分解的核心特征：左边为多项式，右边为几个整式的积的形式，且变形前后等式恒成立． 【详解】解：A、右边，与左边不相等，故A错误； B、右边仅为多项式的符号变形，不是几个整式的积的形式，故B错误； C、左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，故C错误； D、左边是多项式，右边是与两个整式的积，且变形前后等式恒成立，符合因式分解的定义，故D正确． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】需注意各特殊四边形判定定理的适用前提，逐一验证选项． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C、 平行四边形的对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定条件． 6. 根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确七月到九月共经历2次月增长，结合平均增长率关系列方程． 【详解】解：∵七月份销售额为700万元，月平均增长率为， ∴八月份销售额为万元， ∴九月份销售额为万元， ∵九月份销售额预计为1008万元， ∴可列方程． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线交于点，交于点．若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，，连接，由线段垂直平分线的性质可得，，，由直角三角形的性质并结合勾股定理求出、的长，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，，， 连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数） 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 9. 如图，在正方形中，点，，分别为，，上的点，连接，交于点，连接．若，，，，则的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，连接，先证明，说明，垂直平分，从而可得是等边三角形，根据等边三角形性质求出边长，在中，根据勾股定理即可求的长． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接， 则， 正方形中，，，， 四边形和四边形都为矩形， ， 在和中， ，， 在中，， 在中，， ，， ， ． ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 10. 已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（ ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①求出或，，进而得到，即可得出结果；②根据题意得到，，进而得到，进行判断即可；③分情况讨论进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； ∵，， ∴， ①当时，则，或；， ∵，，，，均为非零整数， ∴， 故满足条件的整式共有个；故①错误； ②当时，则，， ∴ ； ∴所有满足条件的整式都能被整除；故②正确； ③当时，或，共2种情况； 当时，由①可知，共有16种情况； 当时，则， ∴， ∴， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∵，，，，均为非零整数， ∴不存在，满足条件的整式共有0个； 当时，不存在满足条件的整式， 综上：所有满足条件的整式共有个．故③错误； 故正确的只有②，共1个. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：由题意得，，， 解得． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是分式为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为.这两个条件缺一不可． 12. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 14. 为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过树状图找出所有等可能的选取结果总数，再找出恰好选中1名男生1名女生的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，得树状图如下： 由图可知，共种等可能结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果共种， ∴所求概率为． 15. 如图，在中，，，点D为线段上动点，点E为线段上动点，且满足，则的最小值为______；当取得最小值时，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据题意用含的代数式表示，进而表示；过点作于点，构造，利用勾股定理表示； 第一空利用二次函数配方法求的最小值； 第二空设，转化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求W的最小值及对应的，进而求出即可． 【详解】解：设， ， ． ， ，+ ． 过点作于点， 在中，， ∴， ， ， 在上，， ， 在中，， 在线段上， ， 即． 解得． ， ，， 当时，取得最小值． ②设， 则． 两边平方得， 整理得． 为实数， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 此时方程可变形为， 解方程得， ． 16. 若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为．若是“公能数”，且，则四位数是______；A、B均为“公能数”，，（，，，，，，且a，b，c，d，x，y均为整数），若，且能被8整除，则满足条件的A的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：根据公能数定义，列出两个方程，联立求解得到的值，再验证数字互不相同得到四位数． 第二空：先利用公能数性质化简、，代入等式化简得到关于，的方程，试值确定，；再结合能被8整除，确定，求出，验证数字互不相同，得到． 【详解】解：∵是公能数， ，即， ∵， ， 联立， 解得 ∴四位数是． 是公能数， ， ， 是公能数， ， ， ， ， 化简得：， ，为整数，， ，或， 情形一，把代入，， ，解得（舍去）， 能被8整除， 能被4整除， ，为整数， ，，， ，， ， 当时，，数字重复，舍去； 当时，，，数字互不相同，符合条件； 当时，，不是个位数，舍去． 把代入，得， ， 解得（舍去）， 此时，此情形应舍去． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18题各8分，其余每题10分，共86分）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时乘以转换为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法计算即可； （2）先判定，再运用求根公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 等式两边同时乘以得， ， 去括号合并同类项得 ，， 系数化为1得，， 经检验，当时，原分式方程无意义， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式；再根据零指数幂求出的值，代入最简分式计算结果． 【详解】解： ， 其中， 原式． 19. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，连接，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的左侧作交延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明： 是的中点， ． ， ∴ ① ， 在和中， （）． ∴ ③ ∵平行四边形的两条对角线相交于点， ， ∴ ④ ， ∴四边形为平行四边形（ ⑤ ）． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图即可． （2）根据内错角相等，对顶角相等，全等三角形的性质，等量代换，进行作答即可． 【小问1详解】 ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，线段长为半径作弧，交前一条弧于点；④连接和．即为所求角． 【小问2详解】 略 20. 随着科技进步与大数据时代的到来，智能化产品逐步走进大众日常生活．研究人员对甲、乙两款产品开展用户满意度评分测试，并分别随机抽取20份评分数据，对所得数据进行整理、描述和分析（评分分数记为，将评价结果分为四个等级：不满意A：；比较满意B：；满意C：；非常满意D：）． 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：71，72，73，74，76，77，78，82，82，82，84，85，86，87，88，89，94，95，96，99． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：81，84，85，85，86，88． 甲、乙两款产品满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 83.5 83   乙 83.5 b 94 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为甲，乙两款产品中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可） （3）在此次测试中，有1000人对甲款产品，800人对乙款产品参与评分，估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）乙款满意度更好 理由：乙的众数（）远高于甲的众数（），说明乙获得更多用户的相同高分评价；且乙的非常满意（D组）占比高于甲的 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义分别求得的值，结合C组数据求得其占比，从而求得的值； （2）从众数分析即可求； （3）用样本估计总体，分别计算这两款产品非常满意的人数，再求和，即可求解． 【小问1详解】 解：根据甲款评分数据，出现了3次，出现次数最多，故； 乙款评分数据共20个，A组个，B组个，C组6个，D组个 排序后第，个数据落在C组，分别是和，故， ，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：估计此次测试中对这两款产品非常满意的共有人． 21. 如图，在四边形中，，，，，．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动，到达点时停止运动，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿射线匀速运动，当停止时，点也停止运动．两点同时出发，设点运动时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出与之间的函数关系式及对应的的取值范围； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）若函数的图象与函数的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）图象如图所示： 由图象可知：当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据三角形的面积公式，进行求解即可； （2）根据（1）中的解析式，分别画出和的图象，再根据图象写出一条性质即可； （3）先求出直线恒过定点，然后分两种情况讨论：当直线过点时，；当直线过点时，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 且， ∴， ∴， ∴点在上的运动时间为，在上的运动时间为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿射线匀速运动， ∴． ∴当时，； 当时，点在上运动，如图所示，作， ∵， ∴， ∴在中，， 且， ∴， ∴， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数， ∴直线恒过定点． 如图所示， 当直线过点时，此时函数的图象与抛物线有一个交点， 把点代入中，解得， 当直线从定点向左上方翘时，符合题意，此时的越来越大， ∴； 当直线过点时，此时函数的图象与线段有一个交点， 把点代入中，解得， 当直线从定点向右下方倾斜时，符合题意，此时的越来越小， ∴； 综上所述，若函数的图象与函数的图象只有一个交点，则的取值范围为或． 22. 北关中学打算采购一批航天模型用于打造航天科创实验室．已知A款航天模型比B款航天模型每个贵10元，用1000元购买A款航天模型的数量与用800元购买B款航天模型的数量相等． （1）求A、B两款航天模型的单价； （2）学校准备采购A、B两款航天模型共40个．商场的优惠政策为：A款航天模型每个打9折，B款航天模型当购买数量不超过15个时不打折，当购买数量超过15个时，仅超过的部分打8折．现要求购买A款航天模型的数量不少于款航天模型数量的，求采购总花费的最小值． 【答案】（1）A款航天模型单价为50元，B款航天模型单价为40元． （2）采购总花费的最小值为1530元． 【解析】 【分析】（1）根据两款模型的购买数量相等列分式方程求解单价． （2）先由A款与B款的数量关系确定自变量取值范围，再结合优惠政策分段表示总花费，根据一次函数增减性求最小值． 【小问1详解】 解：设B款航天模型的单价为x元，则A款航天模型的单价为元， ∵ 用1000元购买A款模型的数量与用800元购买B款模型的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A款航天模型单价为50元，B款航天模型单价为40元． 【小问2详解】 解：设采购B款航天模型m个，则采购A款航天模型个，总花费为W元， ∵ 购买A款的数量不少于B款数量的， ∴， 解得，又，且m为整数， 当时，A款折后单价为元， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，最小值为：（元） 当时，B款超过15个的部分单价为元， ∴B款总花费为， ∴总花费， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，最小值为：（元） 综上所述，采购总花费的最小值为1530元. 23. 美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … （1）求与的函数表达式； （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； （3）若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】（1） （2）不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【小问1详解】 解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）；的最小值为 （3）符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，将、绕点A逆时针旋转得到、，点C的对应点为D，点B的对应点为E，连接、． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）如图2，连接，过点E作交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，连接，，当的面积S取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，过点B作，交延长线于点M，交于点N， 由旋转可得：，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作交于点G，先证明四边形是矩形，利用旋转的性质和矩形的性质求出和的长度，再利用勾股定理即可求得结果； （2）过点B作，交延长线于点M，交于点N，利用旋转的性质得出相关线段和角度的关系，再利用等腰三角形的判定与性质得出，通过角度和差关系求出，由平行线的性质得到，进而证明，从而证得结论； （3）过点F作交于点P，过点B作交延长线于点K，证得，由平行线的性质推导出，进而得出点K的轨迹是以为直径的圆，当为直径时最大，此时点K与点B重合，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出和的长度，最终可求出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点B作交于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵、绕点A逆时针旋转得到、， ∴， ∴， 在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点F作交于点P，过点B作交延长线于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，点K的轨迹是以为直径的圆， 当为直径时最大，此时点K与点B重合， 在中，， ∴， 过点D作交于点Q， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $