精品解析：重庆市礼嘉中学校2026-2027学年第一学期九年级入学考试数学试题

数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题下面，都给出了代号A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，●，■，16，10，4，4，11，其箱线图如下：则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 4. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ）之间 A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 6. 如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（ ） A. 9 B. 22 C. 25 D. 19 7. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略黏，是餐桌上的佳品某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前了两天完成任务，设原计划每天收割，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（    ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A. ①③ B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④ 9. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在上，点在延长线上．记，则可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为自然数，n，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将每个小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 分解因式：_________________． 12. 一个多边形每个外角都等于其相邻内角的，则这个多边形是_____边形． 13. 学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 14. 如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 15. 如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则______；将沿翻折得到，若，则________． 16. 若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为零，其中满足，则称这个四位正整数为“贰玖数”．例如，故2673是“贰玖数”，则最大的“贰玖数”为______；对于“贰玖数”，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为，记，，若能被7整除，且为整数，则满足条件的的最大值为______． 三．解答题：本题共9小题，17、18小题8分，其余每题10分，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将每题的答案写在答题卡对应方框内． 17. （1）计算：． （2）解不等式组 18. 已知：如图，中，，，为上一点，平分交于． （1）使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进两种型号的清洁机器人，每台型机器人比每台型机器人平均每小时少清扫3平方米，一台型机器人清扫60平方米所用时间是一台型机器人清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台型机器人和每台型机器人平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司计划用不超过52000元共购进20台机器人，型机器人2000元／台，型机器人3000元／台，公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，该物业公司有哪几种购买方案（两种都要买），并计算出哪种方案才能使总成本最低？ 21. 某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 （1）根据上述信息可得：_______，_______，_______， _______； （2）根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 22. 如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为． （1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ． （3）结合图象，当时，直接写出的取值范围． 23. 某学校为庆祝六一儿童节，举办了趣味游园活动，如图，四边形是该学校的平面示意图，甲、乙两名同学同时从教学楼A出发，分别步行前往篮球馆B和图书馆D参加游园活动，最后到达食堂C吃饭、已知A位于B的西北方向上，位于D的南偏西方向上，B位于C的南偏西方向上，位于D的正南方向70米处，D位于C的北偏西方向上．（参考数据：） （1）求之间的距离（结果保留根号）； （2）游园活动结束后，甲、乙分别从同时出发，沿步行前往食堂吃饭．已知途中分别设有一个兑奖点，两兑奖点之间的距离为40米．若乙的步行速度是甲的步行速度的2倍，当他们同时到达各自途中的兑奖点时，请问此时甲距离B多少米（结果保留为整数）？ 24. 在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于、两点，直线与轴和轴分别交于，两点，与交于点，其中且． （1）求直线的解析式； （2）点为直线上一个动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）已知点在轴上，点在直线上．是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，，点E是的中点，连接，点F是上的一点，连接． （1）如图1，若点F是的中点，，求线段的长度； （2）如图2，过点A作于点Q，交于点D，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以为斜边在下方作等腰，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题下面，都给出了代号A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，即二次根式的被开方数为非负数， ∴， 解得：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂运算的基本规则，包括同底数幂相乘、相除，幂的乘方与积的乘方，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 3. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，●，■，16，10，4，4，11，其箱线图如下：则下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，这组数据的第一四分位数是4，原说法正确，不符合题意； B、由箱线图可知，这组数据的中位数是，原说法错误，符合题意； C、由箱线图可知，这组数据的第三四分位数是15，原说法正确，不符合题意； D、由箱线图可知，这组数据的最大值为18，最小值为3，故被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，原说法正确，不符合题意． 4. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线定义及平行线性质证，在中求，再证为直角三角形，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， 在中，． 5. 估计的值在（ ）之间 A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的大小，即可得到原式的取值范围． 【详解】解：， ， ，即原式的值在和之间． 6. 如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（ ） A. 9 B. 22 C. 25 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形得出规律第个图形中，黑色棋子的个数为，再令，计算即可得出结果． 【详解】解：第个图形中，黑色棋子的个数为； 第个图形中，黑色棋子的个数为； 第个图形中，黑色棋子的个数为； …， 第个图形中，黑色棋子的个数为， 故第7个图形中黑色棋子的个数为． 7. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略黏，是餐桌上的佳品某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前了两天完成任务，设原计划每天收割，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，根据实际工作效率比原计划提高，得出实际每天收割面积，再根据提前2天完成任务，列出原计划天数与实际天数之差的方程． 【详解】解：设原计划每天收割，则实际每天收割， 原计划所需天数为， 实际所需天数为． ∵ 提前2天完成任务， ∴ ． 故选：D． 8. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（    ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A. ①③ B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． 根据速度等于路程除以时间求解． 先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． 根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． 用总路程减去甲走过的路程即可． 【详解】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 9. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在上，点在延长线上．记，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转性质得出 ，，然后分别求出，，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：设与相交于点O， 矩形， ∴ 矩形绕点顺时针旋转得到矩形 ，， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴ ． 10. 已知整式：，其中为自然数，n，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过时列出所有的二次三项式，得出非负数的整式的个数，即可求解． 【详解】解：①∵为自然数，n，，，…，为正整数， ∴当时，则有，即， ∴当，时，整式A为，当时，整式A不可能为单项式， 当时， ∵，，，为正整数， ∴整式A不可能为单项式， ∴满足条件的所有整式A有且仅有1个单项式，故①正确； ②当时，，即， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式A的和为，故②正确； ③∵多项式为二次三项式， ∴， ∴且， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， ∵， ，不一定是非负数， ， ∴，两种都满足条件， 当时，， ∴的解为，， ∴对应的整式A为，， ∵，， ∴，都满足条件， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵， ∴满足条件， 当时，不存在符合条件的整式， 综上，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共有5个，故③正确， ∴正确的个数是3个． 二．填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将每个小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一个多边形每个外角都等于其相邻内角的，则这个多边形是_____边形． 【答案】十八 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和外角的综合应用，设一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数为，进而得到，求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：设多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形是十八边形； 故答案为：十八． 13. 学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的各项得分和对应权重，利用加权平均数的计算方法求出该选手的最终成绩． 【详解】解： 分， 故该选手的最终成绩88分． 14. 如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 15. 如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则______；将沿翻折得到，若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，延长，交于点，易得，进而求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，折叠的性质，得到，三线合一，推出，证明四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可． 【详解】解：延长，交于点，过作， ∵与均为的高线，交于点F， ∴为的高线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 16. 若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为零，其中满足，则称这个四位正整数为“贰玖数”．例如，故2673是“贰玖数”，则最大的“贰玖数”为______；对于“贰玖数”，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为，记，，若能被7整除，且为整数，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. 8814 ②. 5844 【解析】 【分析】第一问，要得到最大的“贰玖数”，需使千位数字尽可能大，再结合“贰玖数”的条件，且各数位不为零确定各数位即可．第二问，先将，用数位上的数字表示，化简 ，结合已知条件得到的可能取值，再根据为整数，结合要最大，确定的值，进而得到． 【详解】解：第一空：四位正整数，各数位不为零，满足，，要使最大，需千位最大， 因为 ，所以，故， ， 要使最大，百位最大， ，，故最大，， 因此最大的“贰玖数”为 ． 第二空：由题意得： ，对调后得到 ， ∴ ， ， 则 ， 代入，得： ， 因为 ， 所以能被整除，则 能被整除， 又因为（ ，），且为整数， 验证得仅时，，能被整除， 故， ， 由条件为整数，，代入得：， 因为该式为整数，，为整数，， 故是的因数，的因数为 ， 仅或符合条件，即或， 要使最大，取，则， 故 ． 三．解答题：本题共9小题，17、18小题8分，其余每题10分，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将每题的答案写在答题卡对应方框内． 17. （1）计算：． （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后计算加减即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为． 18. 已知：如图，中，，，为上一点，平分交于． （1）使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2）证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的作法作图即可； （2）先证明，再根据余角的性质证明，然后根据证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进两种型号的清洁机器人，每台型机器人比每台型机器人平均每小时少清扫3平方米，一台型机器人清扫60平方米所用时间是一台型机器人清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台型机器人和每台型机器人平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司计划用不超过52000元共购进20台机器人，型机器人2000元／台，型机器人3000元／台，公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，该物业公司有哪几种购买方案（两种都要买），并计算出哪种方案才能使总成本最低？ 【答案】（1）每台A型机器人平均每小时清扫30平方米，每台B型机器人平均每小时清扫33平方米. （2）共有3种购买方案，分别为①购买A型机器人8台，B型机器人12台；②购买A型机器人9台，B型机器人11台；③购买A型机器人10台，B型机器人10台.购买A型机器人10台，B型机器人10台时总成本最低，最低总成本为50000元. 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人平均每小时清扫平方米，根据A型清扫60平方米的时间是B型清扫33平方米时间的2倍列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设购买A型机器人台，根据总费用不超过52000元、每小时清扫面积不低于630平方米列不等式组，求出的整数取值得到所有方案，再根据一次函数的增减性求出最低总成本． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人平均每小时清扫平方米，则每台B型机器人平均每小时清扫平方米. 由题意得： ， 解方程得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每台A型机器人平均每小时清扫30平方米，每台B型机器人平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，为正整数. 由题意得： ， 解不等式组得：； ∵为正整数，且两种机器人都要买， ∴， 因此共有3种购买方案： 方案一：购买A型机器人8台，B型机器人12台； 方案二：购买A型机器人9台，B型机器人11台； 方案三：购买A型机器人10台，B型机器人10台． 设总成本为元，则：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值10时，取得最小值，最小值， 答：共有3种购买方案，购买A型机器人10台，B型机器人10台时总成本最低，最低总成本为50000元． 21. 某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 （1）根据上述信息可得：_______，_______，_______， _______； （2）根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 【答案】（1）15；48；50； （2）男生的体育成绩更好； 因为男生的体育成绩的中位数大于女生的体育成绩的中位数48．（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】（1）计算扇形统计图中的百分比，女生成绩的中位数，男生成绩的众数，下四分位数d即可； （2）比较男女生成绩，通过中位数判断成绩好坏； （3）利用样本中49分及以上的比例，估计总体中相应的人数． 【小问1详解】 解：因为扇形统计图各部分百分比之和为， 所以， 女生抽取20人，中位数是第 、个数的平均数， 组有人，B组有人，组有人，D组有6人，那么前四组共有人，组有人， 所以第 、个数都在组的最后两个数，组成绩为， 所以第10个数是48，第11个数是48，则， 男生成绩中50出现的次数最多， 所以； 将男生成绩从小到大进行排序，排在第5的是44，第6的是45，因此下四分位数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：据题意得：（人）， ∴估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有1020人． 22. 如图1，在矩形中，，．动点P从B出发以的速度向C运动，动点Q从C出发以的速度向B运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为，且，的长度记为． （1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ． （3）结合图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 、的函数图象如下图所示， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）由两个动点的移动速度可知，，点P与点Q相遇前，点P与点Q相遇后，，由此可得的函数关系式；过点E作于点F，根据证明，推出，可得； （2）根据（1）中所求函数关系式，在坐标系内描点连线即可； （3）根据（2）中所画图象，找出图象在图象上方部分对应的t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 当点P与点Q相遇时，， 当点Q到达点B时，两点停止运动，此时， 当点P与点Q相遇前，， 当点P与点Q相遇后，， ； 如图1，过点E作于点F， 由旋转得，， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上可知，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，、的图象有交点， 解方程组，得， 、的图象的交点坐标为， 结合函数图象可知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一次函数图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两条直线交点与二元一次方程组的关系等，解题的关键是求出、的函数关系式． 23. 某学校为庆祝六一儿童节，举办了趣味游园活动，如图，四边形是该学校的平面示意图，甲、乙两名同学同时从教学楼A出发，分别步行前往篮球馆B和图书馆D参加游园活动，最后到达食堂C吃饭、已知A位于B的西北方向上，位于D的南偏西方向上，B位于C的南偏西方向上，位于D的正南方向70米处，D位于C的北偏西方向上．（参考数据：） （1）求之间的距离（结果保留根号）； （2）游园活动结束后，甲、乙分别从同时出发，沿步行前往食堂吃饭．已知途中分别设有一个兑奖点，两兑奖点之间的距离为40米．若乙的步行速度是甲的步行速度的2倍，当他们同时到达各自途中的兑奖点时，请问此时甲距离B多少米（结果保留为整数）？ 【答案】（1）米 （2）此时甲距离B为米 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，利用含的直角三角形的边长关系，列方程即可解答； （2）设途中的兑奖点分别为，过点作于点，证明为等边三角形，设米，则米，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点， 由题意可得米，， ， ， ， 设米， 在直角三角形中，， ， 米， 则可得， 解得， 米 【小问2详解】 解：如图，设途中的兑奖点分别为，过点作于点， 根据题意可得， 为等边三角形， ， 乙的步行速度是甲的步行速度的2倍，且同时到达各自途中的兑奖点， ， 设米，则米， 米，， 米，米， 米， 在直角三角形中，， 可得， 解得（负数舍去）， 米 答：此时甲距离B为米． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于、两点，直线与轴和轴分别交于，两点，与交于点，其中且． （1）求直线的解析式； （2）点为直线上一个动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）已知点在轴上，点在直线上．是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在；或或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）设点，先得出直线的解析式为，设直线与轴的交点为，然后可得，进而根据铅垂法进行求解即可； （3）根据题意易得，设，然后根据中点坐标公式及平行四边形对角线互相平分进行分类求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点，直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，如图所示： 令时，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； 【小问3详解】 解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 联立，解得：， ∴， 设， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴情况1：当，为对角线时， 根据平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得：， 解得：， ∴； 情况2：当，为对角线时，同理可得：， 解得：， ∴； 情况3：当，为对角线时，同理可得：， 解得：， ∴； 综上所述：或或． 25. 在中，，点E是的中点，连接，点F是上的一点，连接． （1）如图1，若点F是的中点，，求线段的长度； （2）如图2，过点A作于点Q，交于点D，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以为斜边在下方作等腰，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点M，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：过点作于点，过点作交于点，交于点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质可得，利用勾股定理即可解答； （2）过点作于点，过点作交于点， 交于点，证明，得到，证明，得到； （3）将顺时针旋转到，连接，，可得当三点共线时，最短，为的长度，再利用等腰直角三角形的性质得到，则需求的最小值，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点，利用直线瓜豆得到点在线段上运动，当时，取最小值，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，取的中点，连接， 点F是的中点， ， , ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将顺时针旋转到，连接，， ， 线段绕点B顺时针旋转得到线段， ， ，即， ， ， ， 当三点共线时，最短，为的长度， ， ， 为等腰直角三角形， ，则需求的最小值， 如图，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 在上运动，且以为斜边在下方作等腰， 点在线段上运动， 当时，取最小值， 是的中点， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 根据面积法可得的最小值为， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $