江苏省镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年高二上学期数学周练3

**基本信息** 以数列为核心，融合《周髀算经》节气影长、“三角垛”等传统文化素材与正方形面积求和实际情境，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配高二周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比数列定义与性质|第2题以《周髀算经》节气影长考查等差数列应用，体现文化传承| |多选题|3/18|数列前n项和与递推关系|第10题结合Sn与an关系，考查等比数列判定及求和，注重逻辑推理| |填空题|3/15|等比数列性质与极限|第14题正方形嵌套面积求和，渗透极限思想，培养数学建模意识| |解答题|5/77|数列通项、求和及不等式证明|第19题综合数列与函数不等式，考查运算求解与综合应用能力|

江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练3 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列各项为正数，满足，，则 （ C ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 2．《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为： （ A ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有一个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为 （ D ） A． B． C． D． 4．已知为正项等比数列，满足 （ D ） A． B． C． D． 5．已知正项等比数列的前n项和为，若 （ D ） A． B． C． D． 6．已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是 （ C ） A． B． C． D． 7．已知数列满足．记数列的前n项和为．若对任意的，都有，则实数k的取值范围为 （ A ） A． B． C． D． 8. 已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为 （ A ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 9 【详解】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 原问题即：恒成立，当时，，即>3， 综上可得：的最大值为3.本题选择A选项. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ACD） A．的公差 B．当，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列 中最小项为 10．设为数列的前n项和，，则 （ACD） A． B． C．数列为等比数列 D． 数列的前n项和为，则 11．已知数列的的前n项和为，且满足，则下列说法正确的有 （BCD） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设是实数成等比数列，且成等差数列，则的值是________ 13．已知等比数列的前项和为，且 . 14. 如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数_______8________． 【详解】设第n个正方形的边长为，第个正方形的边长为， 即，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于8，故答案为：8. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列，前项和为，又． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 15．解：（1）设等差数列的公差为，首项为， 因为，所以， 所以，由，解得， 又，所以； （2） 设，的前项和为，得， ，得 当时，，即，所以 当时，得 ，所以， 则 综上所述： 16．已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列，并求. 16．解：（1）因为， 所以. （2）因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 则. :17．已知数列的前项和为，且（）． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17．解：（1）令得 因为（）， 所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即， 所以（，），又，所以（）． （2）由（1）， 所以． 18．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）已知数列满足：，求数列的前项和. 18．解：（1）数列的前项和， 则，即，解得， 当时，， 即，整理得，而， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，即，当时，， 当时，，符合的情况，因此，， 则， 所以， 两式相减得， 所以. 19．已知数列的前项和为，数列满足1点在直线上. （1）求数列的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 19．解：（1）因为①， 当n＝1时，解得． 当n≥2时，②， ①﹣②得， 整理得，即，且， 所以数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列； 所以. 数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上． 所以bn+1﹣bn＝2， 所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以bn＝2n﹣1． （2）由（1）得 则①， ②， ①﹣②得， 整理得． （3）由（1）得， 所以， 所以数列单调递减数列， 所以，即的最大值为， 因为对所有的正整数n都有都成立， 所以，由可得， 所以恒成立，只需满足即可， 又， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故，则k的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练3 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列各项为正数，满足，，则 （ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 2．《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为： （ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有一个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为 （ ） A． B． C． D． 4．已知为正项等比数列，满足 （ ） A． B． C． D． 5．已知正项等比数列的前n项和为，若 （ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．已知数列满足．记数列的前n项和为．若对任意的，都有，则实数k的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 8. 已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为 （ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 9 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A．的公差 B．当，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列 中最小项为 10．设为数列的前n项和，，则 （ ） A． B． C．数列为等比数列 D． 数列的前n项和为，则 11．已知数列的的前n项和为，且满足，则下列说法正确的有 （ ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设是实数成等比数列，且成等差数列，则的值是________ 13．已知等比数列的前项和为，且 . 14. 如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数_______________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列，前项和为，又． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．已知数列满足，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列，并求. :17．已知数列的前项和为，且（）． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）已知数列满足：，求数列的前项和. 19．已知数列的前项和为，数列满足1点在直线上. （1）求数列的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围. 3 学科网（北京）股份有限公司 $