江苏省镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高二数学周练1

**基本信息** 高二数学周练卷聚焦向量、数列、立体几何等核心知识，通过基础题（如等差数列求和）与综合题（如公园草坪规划面积优化）结合，考查数学思维的推理能力与运算能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量充分条件、立体几何位置关系|基础概念辨析，如单位向量关系判断| |多选题|3/18|等差数列性质、正方体几何量|多结论辨析，如数列前n项和最值分析| |填空题|3/15|解三角形、三棱锥外接球|空间想象与运算结合，如等边三角形重心射影问题| |解答题|5/77|数列通项与求和、三角函数性质、实际应用|情境化设计，如公园草坪面积优化问题，体现数学眼光的应用意识|

江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若均为单位向量，则“”是“”的 （ C ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 2．已知等差数列的前项和为，若，则 （   D   ） A． B． C．10 D．11 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ C ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4．已知sinα－2cosα＝0，则 （ A ） A. B. C. D. 5．已知向量，满足，且，则，夹角的余弦值为 （ A ） A． B． C． D． 6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AA1与底面ABCD垂直，M，N分别在BD和B1D1上，且BD＝3BM，B1D1＝3D1N，AB＝3，AA1＝4，则异面直MN与AD1所成角的余弦值为 （ B ） A. B. C. D. 7．已知角，且，则 （ C ） A． B．或 C． D．或 8．如图，已知圆的半径为2，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且是线段上的动点，则的最小值是 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：其中正确结论的序号为（  AB  ） A． B． C． D．数列中的最大项为 10．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则 （ ACD ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 11．如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则 （ ABD ） A. 四面体的体积与表面积的数值之比为 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成的角为 D. 过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设等差数列的前n项和为，若，，则 > 0， < 0.(填“<”或“>”) 13．在中，角所对的边分别为，若，且，则 ；面积为 . 14．在三棱锥中，为等边三角形，，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值. 15．解：（1）设的公差为d，则， 解得， 所以. （2）， 所以当或时，取得最小值，最小值为. 16．在数列中，，， (1)令，求证：是等差数列； (2)在（1）的条件下，设，求 16．解：（1）证明：由，得． 又因为， ∴， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）得， ∴. ∴ . 所以. 17．已知函数f(x)＝sin4x－cos4x＋sin xcos x－1. （1）求f(x)的最小正周期和图象的对称中心； （2）当时，函数g(x)＝af(x)＋b的最大值为11，最小值为3，求实数a，b的值. 17．解：（1）函数 ， 所以的最小正周期. 由得， 所以函数的对称中心是. （2）， 由，得， 则. 当时，的最大值为，最小值为， 所以解得 当时，的最大值为，最小值为， 所以解得 综上所述，或. 18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O. （1）试用向量，表示向量，； （2）若，求的值. 18．解：（1）， 设，，则， 又, 所以，解得， 所以； （2） ， 则，所以， 所以，所以. 19．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，AD＝2千米，△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形.设∠BAD＝θ，. （1）当时，求小路AC的长度（千米）； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度（千米）. 19．解：（1）当，时，， 由， 所以. 由正弦定理得， 解得：， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形， 所以，且， ， 在中，， 所以千米. （2） ， 其中，， 而，所以， 当时，四边形的面积最大，即， 此时， 由（1）得：， 所以，即千米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2026-2027上学期高二数学周练1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若均为单位向量，则“”是“”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 2．已知等差数列的前项和为，若，则 （   ） A． B． C．10 D．11 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4．已知sinα－2cosα＝0，则 （ ） A. B. C. D. 5．已知向量，满足，且，则，夹角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AA1与底面ABCD垂直，M，N分别在BD和B1D1上，且BD＝3BM，B1D1＝3D1N，AB＝3，AA1＝4，则异面直MN与AD1所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 7．已知角，且，则 （ ） A． B．或 C． D．或 8．如图，已知圆的半径为2，是圆的一条直径，是圆的一条弦，且是线段上的动点，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前n项的和为，且，有下面4个结论：其中正确结论的序号为（     ） A． B． C． D．数列中的最大项为 10．已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则 （   ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 11．如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则 （ ） A. 四面体的体积与表面积的数值之比为 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线与所成的角为 D. 过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．设等差数列的前n项和为，若，，则 0， 0.(填“<”或“>”) 13．在中，角所对的边分别为，若，且，则 ；面积为 . 14．在三棱锥中，为等边三角形，，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值. 16．在数列中，，， (1)令，求证：是等差数列； (2)在（1）的条件下，设，求 17．已知函数f(x)＝sin4x－cos4x＋sin xcos x－1. （1）求f(x)的最小正周期和图象的对称中心； （2）当时，函数g(x)＝af(x)＋b的最大值为11，最小值为3，求实数a，b的值. 18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O. （1）试用向量，表示向量，； （2）若，求的值. 19．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，AD＝2千米，△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形.设∠BAD＝θ，. （1）当时，求小路AC的长度（千米）； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度（千米）. 4 学科网（北京）股份有限公司 $