26.2二次函数的图象和性质——y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数三种形式y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过上下平移（上加下减）、左右平移（左加右减）到综合顶点式的递进，构建从基础到综合的学习支架，系统梳理平移规律、顶点坐标、对称轴等核心要素。 资料特色在于结合各地阶段检测例题与变式训练，通过列表描点画图、对比平移规律培养几何直观和推理意识，解题思路结构化助力学生形成严谨思维，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺。

y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质讲义 y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质讲义 考点目录 y=ax²+k的图象和性质 y=a（x-h）²的图象和性质 y=a（x-h）²+k的图象和性质 考点一 y=ax²+k的图象和性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 图象本质与平移规律 由抛物线 沿 轴上下平移得到，形状与 完全一致。 平移规律：上加下减——，向上平移 个单位；，向下平移 个单位。 1. 核心几何要素 · 顶点坐标： · 对称轴： 轴（直线 ） 1. 开口方向与宽窄 · ：开口向上，抛物线有最低点； · ：开口向下，抛物线有最高点； · 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 1. 增减性 · 时：， 随 的增大而减小；， 随 的增大而增大； · 时：， 随 的增大而增大；， 随 的增大而减小。 1. 最值 · ： 时， 有最小值 ； · ： 时， 有最大值 。 二、解题思路 1. 由 的正负判断开口方向，由 判断开口宽窄； 1. 直接写出顶点坐标 与对称轴 ； 1. 以对称轴为界，结合开口方向分析左右两侧的增减性； 1. 顶点的纵坐标 即为函数的最值； 1. 对比 ，根据 的正负判断上下平移的方向与距离。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴A、B、D都不正确，C正确． 故选C． 例2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，当时，随的增大而减小的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，根据二次函数的性质和一次函数的性质即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为轴，开口向下，当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； B. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，，对称轴为轴，开口向上，当时，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；     故选：A． 例3．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）二次函数，当时，与的大小关系___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质．由于函数的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，由此即可确定与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴开口向下，对称轴是y轴， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， 当时，两个点都在对称轴的右侧，因而自变量的值越大，对应的函数值越小， ∴与的大小关系为． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】(1)， 画出函数的图象如图： (2)①②． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．开口向上 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．分析开口方向、对称轴、最值及增减性，逐项判断即可． 【详解】A．函数中，二次项系数，抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为，即函数有最小值1，而非最大值，说法错误； B．，抛物线开口向上，说法正确； C．对称轴为轴（），当时（对称轴左侧），函数值随的增大而减小，说法正确； D．二次函数的对称轴是y轴，说法正确； 故选：A． 变式2．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知二次函数，当时，y的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 变式4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）抛物线与轴交于点． (1)求出的值并画出这条抛物线； (2)求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标： (3)取什么值时，抛物线在轴上方？ (4)取什么值时，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)3， 画图如下： (2)， (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，五点法作图即可； （2）令，求出它与轴的交点，根据二次函数的图象直接写出顶点坐标即可； （3）根据图象法进行求解即可； （4）根据图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 列表如下： 0 1 2 2 3 2 （2）由（1）可知：， 当时，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为：； 由图可知，抛物线的顶点坐标为：； （3）由图象可知：时，抛物线在轴的上方； （4）由图象可知，当时，的值随值的增大而减小． 考点二 y=a（x-h）²的图象和性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 图象本质与平移规律 由抛物线 沿 轴左右平移得到，形状与 完全一致。 平移规律：左加右减——解析式为 的形式， 向右平移 个单位， 向左平移 个单位。 注意： 等价于 ，对应 ，向左平移 2 个单位。 1. 核心几何要素 · 顶点坐标： · 对称轴：直线 1. 开口方向与宽窄：与 完全一致，由 决定。 1. 增减性 · 时：， 随 的增大而减小；， 随 的增大而增大； · 时：， 随 的增大而增大；， 随 的增大而减小。 1. 最值 · ： 时， 有最小值 ； · ： 时， 有最大值 。 二、解题思路 1. 由 判断开口方向与宽窄； 1. 将解析式化为 的标准形式，确定 的值，得到顶点横坐标与对称轴； 1. 以 为界，结合开口方向分析增减性； 1. 顶点在 轴上，纵坐标为 ，即函数的最值； 1. 对比 ，根据 的正负与大小判断左右平移的方向与距离。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 例2．（25-26九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 例4．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 例5．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）请在同一坐标系中 (1)画出二次函数①；②的图象． (2)说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． (3)当时，求二次函数的最大值． 【答案】(1) 连线，如图． (2) 抛物线向右平移2个单位得到抛物线（或抛物线向左平移2个单位得到抛物线），中， 故开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，最值，平移，解题的关键是正确的画出函数的图象． （1）根据列表、描点、连线即可画出图象； （2）根据“左加右减”即可确定出平移方式，根据顶点式即可获取开口方向，对称轴，顶点坐标； （3）由直线比直线更远离抛物线的对称轴，则当，函数取得最大值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 3 4 2 0.5 0 0.5 2 2 0.5 0 0.5 2 （2） 略 （3）解：∵对称轴为直线，， ∴直线比直线更远离抛物线的对称轴， ∴当，函数取得最大值，， ∴最大值为． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，， (2) 如图，    (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图像即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）略 （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、图像的画法、函数值的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 考点三 y=a（x-h）²+k的图象和性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 图象本质与平移规律 由抛物线 先左右平移、再上下平移得到，是二次函数的顶点式标准形式，形状与 完全相同。 平移规律：相对于 ，按“左加右减、上加下减”平移，平移顺序不影响最终位置。 1. 核心几何要素 · 顶点坐标：（顶点式的核心，可直接读出） · 对称轴：直线 1. 开口方向与宽窄：与 完全一致，由 决定。 1. 增减性 · 时：， 随 的增大而减小；， 随 的增大而增大； · 时：， 随 的增大而增大；， 随 的增大而减小。 1. 最值 · ：开口向上，顶点为最低点， 时， 有最小值 ； · ：开口向下，顶点为最高点， 时， 有最大值 。 二、解题思路 1. 提取参数：将解析式化为标准顶点式，直接读出 、、，重点确认 的符号； 1. 定核心要素：写出顶点坐标 、对称轴直线 ，由 判断开口方向； 1. 析性质：以对称轴为界，结合开口方向分析增减性，顶点纵坐标 即为函数最值； 1. 判平移：以 为基准，按平移规律描述图象的平移过程。 【例题分析】 例1．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与y轴交点坐标的求解，y轴上所有点的横坐标为0，因此只需令，计算出对应的y值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交点的横坐标为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． 例4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）函数，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握好二次函数的增减性是解题关键． 二次函数开口向上，顶点处取得最小值，结合自变量范围确定函数值范围． 【详解】解：对于二次函数，其开口向上，对称轴为直线． ∵， ∴当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大， ∴当时，取最小值3，同时没有最大值， ∴当时，． 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·北京·期中）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)向下，，，，， (2) 描点作出函数图象： (3) (4)< 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）根据，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，令，即，进行计算即可得； （2）根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点连线即可得； （3）根据图象，当时，的取值范围是，即可得； （4）根据点在轴下方，而在轴上方，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）略 （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 【变式训练】 变式1．（2026·河南周口·模拟预测）抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为 ． ∵， ∴抛物线开口向上，A说法正确； 抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误； 抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，D说法正确． 变式2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较得到结果． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴，二次函数开口向下，对称轴为直线 ． 分别计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 又， ∴ ． 变式3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的顶点坐标是 ____． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为， ∴顶点坐标为． 变式4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 变式5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将A点坐标代入求出h即可； （2）先根据平移规律写出平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入即可求出n； （3）先确定p，q关于对称轴对称，再设，则，，求得m与t的关系，利用二次函数的性质求得m的范围． 【详解】（1）解∶∵二次函数（h为常数）的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数为． （2）原抛物线． 先向右平移n个单位，得： 再向上平移5个单位，得到： ∵平移后的图象经过原点， ∴ 解得：，， ∵， ∴不符合， ∴； （3）∵点和在抛物线上，且纵坐标相等， ∴p，q关于对称轴对称或， ∵两点不同， ∴， ∴p，q关于对称轴对称． 设，则，． 将代入抛物线， 得：， ∴， 即， ∴， ∵， ∴ 解得： ∴且． ∴， 为二次函数，图象（如图）为抛物线，开口向下，对称轴为， 当时，最大为， 当时，， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 2 学科网（北京）股份有限公司 $y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质讲义 y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质讲义 考点目录 y=ax²+k的图象和性质 y=a（x-h）²的图象和性质 y=a（x-h）²+k的图象和性质 考点一 y=ax²+k的图象和性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 图象本质与平移规律 由抛物线 沿 轴上下平移得到，形状与 完全一致。 平移规律：上加下减——，向上平移 个单位；，向下平移 个单位。 1. 核心几何要素 · 顶点坐标： · 对称轴： 轴（直线 ） 1. 开口方向与宽窄 · ：开口向上，抛物线有最低点； · ：开口向下，抛物线有最高点； · 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 1. 增减性 · 时：， 随 的增大而减小；， 随 的增大而增大； · 时：， 随 的增大而增大；， 随 的增大而减小。 1. 最值 · ： 时， 有最小值 ； · ： 时， 有最大值 。 二、解题思路 1. 由 的正负判断开口方向，由 判断开口宽窄； 1. 直接写出顶点坐标 与对称轴 ； 1. 以对称轴为界，结合开口方向分析左右两侧的增减性； 1. 顶点的纵坐标 即为函数的最值； 1. 对比 ，根据 的正负判断上下平移的方向与距离。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 例2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，当时，随的增大而减小的是(   ) A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）二次函数，当时，与的大小关系___________． 例4．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．开口向上 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 变式2．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知二次函数，当时，y的最小值为________． 变式4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）抛物线与轴交于点． (1)求出的值并画出这条抛物线； (2)求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标： (3)取什么值时，抛物线在轴上方？ (4)取什么值时，的值随值的增大而减小？ 考点二 y=a（x-h）²的图象和性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 图象本质与平移规律 由抛物线 沿 轴左右平移得到，形状与 完全一致。 平移规律：左加右减——解析式为 的形式， 向右平移 个单位， 向左平移 个单位。 注意： 等价于 ，对应 ，向左平移 2 个单位。 1. 核心几何要素 · 顶点坐标： · 对称轴：直线 1. 开口方向与宽窄：与 完全一致，由 决定。 1. 增减性 · 时：， 随 的增大而减小；， 随 的增大而增大； · 时：， 随 的增大而增大；， 随 的增大而减小。 1. 最值 · ： 时， 有最小值 ； · ： 时， 有最大值 。 二、解题思路 1. 由 判断开口方向与宽窄； 1. 将解析式化为 的标准形式，确定 的值，得到顶点横坐标与对称轴； 1. 以 为界，结合开口方向分析增减性； 1. 顶点在 轴上，纵坐标为 ，即函数的最值； 1. 对比 ，根据 的正负与大小判断左右平移的方向与距离。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 例2．（25-26九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 例4．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 例5．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）请在同一坐标系中 (1)画出二次函数①；②的图象． (2)说出两条抛物线之间是如何通过图形的变换得到的，指出②的开口方向、对称轴和顶点． (3)当时，求二次函数的最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 变式3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 考点三 y=a（x-h）²+k的图象和性质 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 图象本质与平移规律 由抛物线 先左右平移、再上下平移得到，是二次函数的顶点式标准形式，形状与 完全相同。 平移规律：相对于 ，按“左加右减、上加下减”平移，平移顺序不影响最终位置。 1. 核心几何要素 · 顶点坐标：（顶点式的核心，可直接读出） · 对称轴：直线 1. 开口方向与宽窄：与 完全一致，由 决定。 1. 增减性 · 时：， 随 的增大而减小；， 随 的增大而增大； · 时：， 随 的增大而增大；， 随 的增大而减小。 1. 最值 · ：开口向上，顶点为最低点， 时， 有最小值 ； · ：开口向下，顶点为最高点， 时， 有最大值 。 二、解题思路 1. 提取参数：将解析式化为标准顶点式，直接读出 、、，重点确认 的符号； 1. 定核心要素：写出顶点坐标 、对称轴直线 ，由 判断开口方向； 1. 析性质：以对称轴为界，结合开口方向分析增减性，顶点纵坐标 即为函数最值； 1. 判平移：以 为基准，按平移规律描述图象的平移过程。 【例题分析】 例1．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是(   ) A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 例4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）函数，当时，的取值范围是________． 例5．（25-26八年级上·北京·期中）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【变式训练】 变式1．（2026·河南周口·模拟预测）抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 变式2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的顶点坐标是 ____． 变式4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 变式5．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． (3)已知点，在二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $