专题 26.2（2）二次函数y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象与性质，从基础的y=ax²出发，通过上下平移（上加下减）得到y=ax²+k，再经左右平移（左加右减）得到y=a(x-h)²，最终整合为y=a(x-h)²+k，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等核心性质，构建递进式知识支架。 资料以知识梳理（含表格对比、易错点警示）、分层题型（夯实基础含图象性质与平移，巩固提升涉及增减性、最值参数及几何综合）和全面检测为特色。通过例题变式与真题应用，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识（逻辑分析）和应用意识（几何综合），课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识理解与应用。

专题 26.2（2）二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数的图象与性质 1 【知识点二】二次函数的图象与性质 2 【知识点三】二次函数的图象与性质 3 【知识点四】二次函数与的平移关系 3 【知识点五】本节易错重点（必记） 4 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】二次函数的图象与性质 4 【题型 2】二次函数的图象与性质 5 【题型 3】二次函数的图象与性质 6 【题型 4】二次函数的平移 6 三.题型精析（巩固提升） 7 【题型 5】二次函数的增减性 7 【题型 6】二次函数的最值与参数 8 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 9 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数的图象与性质 1. 图象平移规律（重点） 抛物线可由抛物线经过上下平移得到： 当时，向上平移个单位； 当时，向下平移个单位。 口诀：上加下减（常数项变化，上下平移） 2. 图象基本特征 形状、开口大小、对称轴与完全相同，仅顶点位置发生上下移动。 3. 函数完整性质 性质 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线（即轴） 直线（即轴） 顶点坐标 最值 顶点为最低点，当时，，无最大值 顶点为最高点，当时，，无最小值 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小 【知识点二】二次函数的图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值情况 当 时，，无最大值 当 时，，无最小值 增减性 1. ， 随 增大而减小； 2. ， 随 增大而增大 1. ， 随 增大而增大 2. ， 随 增大而减小 图象 平移 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 【知识点三】二次函数的图象与性质 函数 性质 （开口向上） （开口向下） 开口 方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 坐标 最值 时， 时， 增减性 1.对称轴左侧：，随增大而减小2.对称轴右侧：，随增大而增大 1.对称轴左侧：，随增大而增大2.对称轴右侧：，随增大而减小 平移 规律 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 【知识点四】二次函数与的平移关系 1. 基础平移关系：抛物线 经过上下平移可得到 ： 当 ：向上平移个单位，得到 ； 当 ：向下平移个单位，得到 。 2. 逆向平移关系 抛物线 ：，向下平移个单位；，向上平移个单位；即可得到 。 【知识点五】本节易错重点（必记） 1：h符号陷阱： 即 ，对称轴为 ，顶点横坐标为； 2：平移口诀：括号内左加右减，括号外上加下减，切勿混淆； 3：增减性判断：永远以对称轴 为分界线，不是以； 4：开口宽窄：只与有关，与无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数的图象与性质 【例题1】（2025九年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【变式2】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）抛物线上有两点、，若，则___________ 【变式3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）抛物线与直线的一个交点为， （1）求和． （2）求另一个交点的坐标． 【题型 2】二次函数的图象与性质 【例题2】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【题型 3】二次函数的图象与性质 【例题3】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． （1）求该抛物线解析式中，，的值； （2）直接写出当时，函数值的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【变式2】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是________； （2）求抛物线线中b，c的值． 【题型 4】二次函数的平移 【例题4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【变式1】（2024九年级上·广西南宁·专题练习）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的二次函数表达式为__________． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． （1） ； ； ； （2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】二次函数的增减性 【例题5】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点． （1）求该二次函数的表达式（结果写顶点式）； （2）当时，求y的取值范围； （3）当时，求x的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 （1）求此二次函数的解析式； （2）表格中的 ； （3）当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【题型 6】二次函数的最值与参数 【例题6】（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）抛物线，当时，的最小值是 _____，的最大值是 _____． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题7】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，以点为顶点的二次函数图象交y轴于点，将该二次函数图象向下平移n个单位，交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． （1）求该二次函数的表达式． （2）若，求n的值． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，若为等边三角形，则a值为（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1）_______． （2）周长的最小值为_______． 【变式3】（2024·广东潮州·一模）如图所示，直线与抛物线交于点和，点在第三象限． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）抛物线与轴另一交点为A，直线交抛物线对称轴于点，求的面积． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于（   ） A．7 B．15 C．7或15 D．或 4．（24-25九年级上·河北衡水·阶段检测）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 5．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 6．（25-26九年级上·河北保定·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 8．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 12．（25-26九年级上·福建福州·期中）若一个二次函数的最小值为，则该二次函数的解析式是______（写出一个符合题意的解析式）． 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 14．（24-25九年级上·全国·期中）将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 15．（25-26九年级下·广东河源·开学考试）已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·周测）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为________． 17．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）函数在有最大值6，则实数的值是________． 18．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象． （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． （1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； （2）在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（m是常数）． （1）若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； （2）求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.2（2）二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】二次函数的图象与性质 1 【知识点二】二次函数的图象与性质 2 【知识点三】二次函数的图象与性质 3 【知识点四】二次函数与的平移关系 3 【知识点五】本节易错重点（必记） 4 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】二次函数的图象与性质 4 【题型 2】二次函数的图象与性质 7 【题型 3】二次函数的图象与性质 10 【题型 4】二次函数的平移 13 三.题型精析（巩固提升） 15 【题型 5】二次函数的增减性 15 【题型 6】二次函数的最值与参数 19 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 21 四.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.知识梳理与解读 【知识点一】二次函数的图象与性质 1. 图象平移规律（重点） 抛物线可由抛物线经过上下平移得到： 当时，向上平移个单位； 当时，向下平移个单位。 口诀：上加下减（常数项变化，上下平移） 2. 图象基本特征 形状、开口大小、对称轴与完全相同，仅顶点位置发生上下移动。 3. 函数完整性质 性质 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线（即轴） 直线（即轴） 顶点坐标 最值 顶点为最低点，当时，，无最大值 顶点为最高点，当时，，无最小值 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小 【知识点二】二次函数的图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值情况 当 时，，无最大值 当 时，，无最小值 增减性 1. ， 随 增大而减小； 2. ， 随 增大而增大 1. ， 随 增大而增大 2. ， 随 增大而减小 图象 平移 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 【知识点三】二次函数的图象与性质 函数 性质 （开口向上） （开口向下） 开口 方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 坐标 最值 时， 时， 增减性 1.对称轴左侧：，随增大而减小2.对称轴右侧：，随增大而增大 1.对称轴左侧：，随增大而增大2.对称轴右侧：，随增大而减小 平移 规律 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 【知识点四】二次函数与的平移关系 1. 基础平移关系：抛物线 经过上下平移可得到 ： 当 ：向上平移个单位，得到 ； 当 ：向下平移个单位，得到 。 2. 逆向平移关系 抛物线 ：，向下平移个单位；，向上平移个单位；即可得到 。 【知识点五】本节易错重点（必记） 1：h符号陷阱： 即 ，对称轴为 ，顶点横坐标为； 2：平移口诀：括号内左加右减，括号外上加下减，切勿混淆； 3：增减性判断：永远以对称轴 为分界线，不是以； 4：开口宽窄：只与有关，与无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数的图象与性质 【例题1】（2025九年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 【答案】图见分析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可． 解：画出这两个函数的图象如图所示． 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下； ②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大； ③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 【变式2】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）抛物线上有两点、，若，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，得到函数图像开口向下，对称轴为，然后得到时，随的增大而减小，根据，即可得到与的关系． 解：抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下， 对称轴为，， 两点均在对称轴右侧， 随的增大而减小， ． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）抛物线与直线的一个交点为， （1）求和． （2）求另一个交点的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 解：（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 【题型 2】二次函数的图象与性质 【例题2】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】（1）此抛物线的解析式为；（2）①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 解：（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 解：（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 【题型 3】二次函数的图象与性质 【例题3】（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． （1）求该抛物线解析式中，，的值； （2）直接写出当时，函数值的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 【变式2】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是________； （2）求抛物线线中b，c的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解． （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 解：（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，… ∴抛物线的顶点横坐标是， 代入，则， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． （2），当时，抛物线的顶点坐标是， 由顶点式得： ，展开得． ∴，． 【点拨】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 【题型 4】二次函数的平移 【例题4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题： （1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可； （2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解． 解：（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【变式1】（2024九年级上·广西南宁·专题练习）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的二次函数表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解． 解：将原函数 的图象向右平移2个单位长度，得 ； 再向上平移5个单位长度，得 ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． （1） ； ； ； （2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】（1），，；（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 解：（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】二次函数的增减性 【例题5】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点． （1）求该二次函数的表达式（结果写顶点式）； （2）当时，求y的取值范围； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查用顶点式二次函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）设二次函数顶点式，把相应点代入即可求得； （2）由抛物线的开口方向及对称轴确定时，的取值范围； （3）求出当时，当时的值，再结合函数图象及可求解． 解：（1）解：设二次函数的解析式为； 把代入解析式得， 解得； ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵，顶点为， ∴开口向上，当时，y有最小值为； ∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：当时，，解得：或； 当时，，解得：或； 由于二次函数开口向上，当 时，的取值范围为：或． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 （1）求此二次函数的解析式； （2）表格中的 ； （3）当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）1， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的对称性是解题的关键； （1）根据对称性求出对称轴，进而确定顶点坐标，设顶点式，代入其中一个点，即可得解． （2）根据对称性即可得解； （3）根据抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解即可． 解：（1）解：观察表格可知，是对称点， 抛物线的对称轴是直线， 由表格可知，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：抛物线的对称轴是直线， 是对称点， ， 故答案为：； （3）解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴是直线，， 当时，y有最大值，y最大， ， ， 当时，y有最小值，y最小， 故答案为1，． 【题型 6】二次函数的最值与参数 【例题6】（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． （2）当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质． （1）将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线，得出在对称轴的左侧，则当时，y最小为，得出，解得．再根据，则，得到，代入即可求解． 解：（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． （2）解：∵1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧， ∴当时，y最小为， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 此时二次函数的解析式为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）抛物线，当时，的最小值是 _____，的最大值是 _____． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， ∵， ∴若，当时，函数取最小值， 将代入，得， ∴的最小值为，最大值为3． 故答案为：，3． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式3】（23-24九年级上·吉林·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值，结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 解：（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：二次项系数， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：，， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值是， ∴． 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题7】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，以点为顶点的二次函数图象交y轴于点，将该二次函数图象向下平移n个单位，交x轴于B，C两点（点B在点C左侧）． （1）求该二次函数的表达式． （2）若，求n的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的平移、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求得函数解析式即可； （2）如图：设该抛物线的对称轴l交x轴于点D，易得，再根据抛物线的对称性可得，即点B的横坐标2，然后将代入解析式求得y的值即可解答． 解：（1）解：由题意得该二次函数图象的顶点是点， ∴设该二次函数的表达式为， 把点代入得，解得∶ ， ∴该二次函数的表达式为． （2）解：如图：设该抛物线的对称轴l交x轴于点D， ∴． 设平移后的解析式为 由抛物线的对称性可知，关于对称轴l对称， ∴， ∵， ∴，即点B的横坐标2， ∴ 把代入，解得：． ∴n的值是． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，若为等边三角形，则a值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为为等边三角形，且轴， ∴． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，等边三角形的性质，得出是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1）_______． （2）周长的最小值为_______． 【答案】 8 【分析】（1）将代入得，计算即可得解； （2）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，求出，得到，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，则，由轴对称的性质可得：，的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，再由勾股定理求出的长即可得解． 解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， 如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接， ， 则， 由轴对称的性质可得：， ∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小， ∵， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式3】（2024·广东潮州·一模）如图所示，直线与抛物线交于点和，点在第三象限． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）抛物线与轴另一交点为A，直线交抛物线对称轴于点，求的面积． 【答案】（1）抛物线的表达式为，线的表达式为；（2） 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质等知识点，解题的关键是找到对应点的坐标，然后运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． （1）把点的坐标代入抛物线方程，即可求得抛物线的解析式；把代入确定点D的坐标，然后在运用待定系数法求解即可； （2）把代入求得点A的坐标，然后再根据抛物线的性质求得点E的坐标，最后根据及三角形面积公式即可解答． 解：（1）解：把代入，得，解得． 抛物线的表达式为． 把代入，得，解得． 点在第三象限， ． 把代入，得，解得 直线的表达式为． （2）解：把代入，得，解得， ． 抛物线的对称轴是直线， 把代入，得． ． ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 解：A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于（   ） A．7 B．15 C．7或15 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和把二次函数解析式化为顶点式；抛物线顶点到轴的距离是，即顶点纵坐标的绝对值为． 先配方把二次函数解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标表达式，解方程即可． 解：∵ ∴顶点坐标为 依题意， 解得：或 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北衡水·阶段检测）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 5．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 6．（25-26九年级上·河北保定·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减； 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 再向上平移1个单位长度，得到抛物线， ∴得到新的抛物线的解析式是， 故选：C． 7．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 8．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性确定对称轴的位置． 先判断二次函数的开口方向，确定其增减性与对称轴的关系；再根据“时随 增大而减小”的条件，得出对称轴与的位置关系，进而求出的取值范围． 解：二次函数，其二次项系数，故抛物线开口向上． ∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小，且该函数的对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴需满足． 故选：C． 9．（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移． 先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解． 解：原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 10．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质（顶点式、x的范围内的最值），解题的关键是根据对称轴与自变量x的范围的位置关系分情况讨论． 由二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2（最小值），但题目中最小值为6，故对称轴不在这个范围内；分（时取最小值）和（时取最小值）两种情况，代入函数求并验证． 解：二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2． ∵时，的最小值为， ∴不在这个范围内． ①当时，时取最小值，代入得， 即， 解得或（舍去）． ②当时，时取最小值，代入得， 即， 解得（舍去）或． 综上，或6， 故选：B． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数（a，k为常数，）的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据抛物线开口向上，图象全部在x轴上方则最小值大于零，据此求解即可． 解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，其顶点坐标为，最小值为b． ∵图象全部在x轴上方， ∴， ∴b可取任意正数，如1（答案不唯一）． 故答案为1（答案不唯一）． 12．（25-26九年级上·福建福州·期中）若一个二次函数的最小值为，则该二次函数的解析式是______（写出一个符合题意的解析式）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式形式可知，其顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且最小值为，因此，只需取即可满足条件，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴要使函数有最小值，需， ∴取，得解析式， 此时当时，函数取得最小值，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图像的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在x轴上； 丙：对称轴是直线． 请写出这个二次函数的表达式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线，可得抛物线的顶点坐标为，再由抛物线的形状、开口方向与的相同，即可求解． 解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的形状、开口方向与的相同， ∴可设二次函数的表达式为． 故答案为： 14．（24-25九年级上·全国·期中）将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点的坐标．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 解：依题意，抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线， ∴将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为， 故答案为：． 15．（25-26九年级下·广东河源·开学考试）已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可． 解：， ∴顶点坐标为， ∵函数图象开口向下， ∴当时，函数值y随x的增大而增大，此时的取值范围是． 故答案为： 16．（25-26九年级上·江苏苏州·周测）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）函数在有最大值6，则实数的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称轴远近确定最值点是解题关键． 由二次函数解析式可知：抛物线的对称轴为，再分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 解：因为二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，离抛物线的对称轴越远函数值越大， （1）当时，即时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 18．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象． （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】（1）答案见分析；（2）上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 解：（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． （1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； （2）在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为；（2）不存在．理由见分析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 解：（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）点在此抛物线上；（2），见分析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 解：（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与函数平移的特点． （1）设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”解答即可． 解：（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（m是常数）． （1）若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； （2）求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】（1）①；②2；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握其图像性质是解题的关键． （1）将代入得到二次函数，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，验证顶点坐标是否在二次函数上即可； （3）由（2）可知该二次函数开口向下，对称轴为，根据当时，总有，说明当时，随的增大而减小，据此解答即可． 解：（1）解：当时，二次函数， ①该函数的顶点坐标为， 故答案为：； ②由①知该函数的顶点坐标为， 由于， 则当时，该函数的最大值为2， 故答案为：2； （2）证明：二次函数， 则顶点坐标为， 将代入得， 因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为， 当时，总有， 则当时，随的增大而减小， 由于该二次函数开口向下，对称轴为， 则， 故答案为：． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）对称轴为直线、顶点坐标为；（3）存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； （3）解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $