26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时 总结提升与综合应用复习） 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质综合应用，通过复习配方步骤、对称轴公式及函数值比较方法导入，搭建从基础到区间最值、数形结合等进阶内容的学习支架，衔接旧知与综合提升目标。 特色在于分模块探究解析式确定、系数与图象关系等要点，典例覆盖配方、分类讨论等考点，结合拱桥问题培养数学眼光（数形结合）和数学思维（分类讨论），帮助学生构建知识体系提升解题能力，为教师提供系统复习框架明确重难点。

26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质 （第2课时 总结提升与综合应用复习）教学设计 课题 26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象和性质（第2课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 复习课 教学目标 （1）系统熟记二次函数一般式的全套图象与性质，精准掌握 a、b、c、△ 对抛物线的影响；能熟练用待定系数法、配方法、公式法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等综合问题，规避常见易错点； （2）通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范； （3）通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识。 教学重点 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）图象与性质的综合拔高应用；由 a、b、c、△ 的符号判断抛物线图象特征、由图象特征反推系数符号；闭区间内动态最值问题、多点函数值大小比较的高阶方法。 教学难点 对称轴在区间内、外或内部的分类最值讨论；利用「点到对称轴的距离」比较任意多点函数值大小；数形结合双向推理的综合应用。 教学方法 复习梳理、典例精讲、分类讨论、数形结合、错题纠错 教学准备 多媒体课件、方格纸、平面直角坐标系网格 课后练习 必做：课本习题26.2第6、7、8题；探究性作业：课本习题26.2第9题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景， 引入新课 复习回顾，唤醒旧知： （1）二次函数一般式配方的关键步骤是什么？ 学生回顾：提取二次项系数 a，括号内配平方（加减一次项系数一半的平方），再整理为顶点式。 （2）对称轴、顶点坐标公式是什么？ 师生共答：对称轴是直线 ，顶点坐标为 。 （3）比较抛物线上两点的函数值，除了代入计算，有没有更快捷的方法？ 师生互动：当开口方向确定时，离对称轴越近，函数值（与开口方向对应）越接近最值，可用「对称轴距离法」快速比较函数值大小。 由此明确本课提升目标：区间分类最值、对称轴距离比较函数值、数形结合双向推理。 回顾配方步骤、公式 与顶点坐标，思考用对称轴距离速比函数值 以进阶问题唤醒旧知，直指学生薄弱难点，明确本课是从「基础会做」走向「难题会思、方法最优」的拔高复习课，为综合例题学习做思维铺垫。 二、探究点1： 二次函数解析式的确定 探究点1：二次函数解析式的确定。 根据一般式、顶点式等特征，用待定系数法求抛物线的解析式。 问题1：已知抛物线 y=ax²+bx 经过 (1,3)、(2,8) 两点，求抛物线的解析式。 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，正确代点、准确解方程组是解题关键，可用一般式直设。 【详解】解：∵ 抛物线过 (1,3)、(2,8)， ∴ ，， 消去 b 得 ，即 ，与 联立解得 ，。 ∴ 抛物线的解析式为 。 方法提炼：已知抛物线上三个点的坐标，设一般式 y=ax²+bx+c，代点解三元一次方程组；若已知顶点 (h,k)，设顶点式 y=a(x−h)²+k 可少设一个待定系数。 由过两点设 ，解方程组得解析式并提炼待定系数法 复习待定系数法求解析式，巩固代点、解方程组的基本功，提炼一般式与顶点式两种设式策略，为系数符号判断与综合应用打基础。 三、探究点2： 系数与图象的对应关系 探究点2：系数与图象的对应关系。 结合图象系统归纳核心规律： 1. a 决定开口方向、开口大小：a>0 开口向上，a<0 开口向下，|a| 越大开口越小； 2. a、b（左同右异）决定对称轴位置：对称轴 x=−b/2a 在 y 轴左侧，需 ab>0；在右侧需 ab<0； 3. c 决定抛物线与 y 轴的交点（纵截距）：c>0 交 y 轴正半轴、c=0 过原点、c<0 交负半轴； 4. △=b²−4ac 决定与 x 轴交点个数：△>0 两个点、△=0 相切一个点、△<0 无交点。 问题2：如图，在直角坐标系中描点作图，完成对二次函数 y=x²−4 的研究。 （1）列表：取 x= −3、−2、−1、0、1、2、3，对应 y 值依次为 5、0、−3、−4、−3、0、5； （2）描点画图，得开口向上、对称轴 、顶点 的抛物线如下： （3）由图可知：与 x 轴交于 、，与 y 轴交于 ，顶点坐标 ，对称轴为 。 教师点拨：对称轴 x=0 恰为 y 轴，此时 b=0；这正是「左同右异」中 b=0 时对称轴位于 y 轴的特例。 归纳 a、b、c、△ 与图象对应关系，画 并读顶点、对称轴与交点 通过数形双向推理建立系数符号与图象特征的对应关系，借助具体函数作图强化读图能力，落实「由式判图、由图反推」的数形结合核心方法。 四、探究点3： 二次函数的综合应用 探究点3：二次函数的综合应用。 解题关键是掌握二次函数图象性质的综合应用，会待定系数法求式、代点求值。 问题3：已知抛物线 y=x²+bx+c 经过点 (0,−3)、(1,−4)。 （1）求 b、c 的值； （2）若 (m,−3) 是抛物线上的点，求 m 的值。 【分析】用待定系数法将两点代入，解二元一次方程组得 、；再由点在图象上、纵坐标为 −3 反代求横坐标。 【详解】（1）∵ 过 (0,−3)，∴ ；过 (1,−4)，∴ ，解得 ； （2）函数为 ，点 (m,−3) 在抛物线上，则 ，即 ，解得 或 。 代点求 、，由点在图象上求 m=0 或 2 巩固待定系数法确定函数关系式与根据自变量值求函数值，熟练「点在图象上⇔坐标代入解析式成立」这一核心转化技巧。 五、探究点4： 二次函数的实际应用 探究点4：二次函数的实际应用（抛物线型拱桥）。 建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数型问题。 问题4：一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米。已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； （3）已知一艘货船的高为3米、宽为4米，其截面如图3所示。为保证这艘货船可安全通过拱桥，水面在正常水位基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1米） 【分析】建立的坐标系要便于计算：以正常水面所在直线为 x 轴、拱桥最高点在 y 轴上，设顶点式用待定系数法求解；水位上涨时令对应 y 值反求 x；货船安全通过时，货船顶部两侧对拱桥而言最为危险，将货船宽所对应横坐标代入求净空。 【详解】（1）如图，以水面宽 AB（ 米）的中点为原点 O，AB 所在直线为 x 轴、CO 所在直线为 y 轴建系，则 、、： 设抛物线的表达式为 ，将 代入得 ，解得 ，故 ； （2）水位上涨2米后即 y=2，由 得 ，故 ，此时水面宽度为 米； （3）货船高3米、宽4米，两侧在 处，正常水位时该处拱桥高度为 米；设正常水位基础上最多上升 h 米，则货船顶部离原水面 米，须满足 ，解得 ，即水面最多能上升 米。 建系设 ，求涨水后水面宽与货船安全过桥最高水位 通过抛物线型拱桥实际建模，让学生体会「先建系、再设式、后求解」的完整路径，强化待定系数法在应用问题中的迁移，提升数学建模与运算素养。 六、典型例题 【典型例题】综合复习·突破难点 例1：已知抛物线的顶点是 (1,−4)，且经过点 (2,−3)，求该抛物线的函数解析式。 【详解】设 ，将 (2,−3) 代入得 ，解得 ，故 ，即 。 例2：已知二次函数 y=−x²+2x+3，完成下列问题： （1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标；（2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数； （3）当 0≤x≤3 时，求函数的最大值和最小值；（4）若点 A(1,y₁)、B(2,y₂) 在抛物线上，比较 y₁、y₂ 的大小。 【分析】综合性复习典例，全覆盖配方变形、公式应用、系数图象对应、区间最值、函数值比较：先配方确定基础特征，再结合对称轴、开口分析增减性，最后求解区间最值、比较函数值。 【详解】（1），故对称轴 、，顶点 ； （2）a=−1<0 开口向下；，与 x 轴有两个交点；x=0 时 y=3，与 y 轴交正半轴； （3）对称轴 x=1 在区间 0≤x≤3 内、开口向下，故当 时取最大值 4；比较端点：x=0 时 y=3，x=3 时 ，故当 时取最小值 0； （4）开口向下，对称轴 x=1，当 x>1 时 y 随 x 增大而减小，且 ，故点 A(1,·) 对应的函数值更大，即 （也可看离对称轴距离：A 在对称轴上取得最大值）。 例3（新定义阅读题）：若二次函数 g(x) 的图象与 f(x) 的图象顶点纵坐标互为相反数，且开口方向相反，则称 g(x) 是 f(x) 的「问真二次函数」。 （1）请写出 的一个「问真二次函数」；（2）已知抛物线 恰是 的「问真二次函数」，求 a 的值。 【详解】（1），顶点 、开口向上，则「问真二次函数」顶点纵坐标为 1、开口向下，可取 ，即 （答案不唯一）； （2），顶点 、开口向上；而 的对称轴为 ，顶点纵坐标为 、开口向下，要使两者互为「问真」，须 ，解得 。 例4：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6、BC=8。点 P 从 A 出发沿 AC 方向以 2cm/s 匀速运动，同时点 Q 从 C 出发沿 CB 方向以 1cm/s 匀速运动。设运动时间为 t 秒（0<t<3）。 （1）试写出 △PCQ 的面积 S 与 t 之间的函数表达式；（2）当 t 为何值时，△PCQ 的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】（1），，故 （0<t<3）； （2），当 秒时，面积最大为 。 配方求最值、区间内分类讨论，用对称轴距离比较函数值，构造面积函数求最值 通过四道综合例题整合配方、公式、符号判断、区间最值与函数值比较等全部核心考点，规范解答步骤，训练拆解题干、分类讨论、对称轴距离判断，实现学以致用。 七、当堂检测 1. 已知抛物线 y=x²−6x+5，用配方法将其化为 y=a(x−h)²+k 的形式，并写出对称轴与顶点坐标。 【详解】，对称轴 ，顶点 。 2.（排球过网问题）如图，排球从点正上方2米处沿抛物线飞行，离发球点水平距离4米时到达最高点（排球运行的最大高度为 m 米），以发球点为原点建系，排球飞行高度 y 与水平距离 x 满足二次函数关系。 （1）若排球运行的最大高度为 m 米，求排球飞行高度 y（单位：米）与水平距离 x（单位：米）之间的函数关系式；（2）判断这次发球能否过网（球网位于中线、高2.24米）是否出界。 【详解】设 ，过点 (0,2) 得 （m 已知时可求出），代点可判断能否过网。 3.（2025·河南）在二次函数 y=ax²+bx−2 中，x 与 y 的几组对应值如表所示。相应表格（x：−2、0、1；y：−2、−2、1）。 （1）求二次函数的表达式；（2）求图象的顶点坐标，并在坐标系中画出图象；（3）将图象向右平移 n 个单位后，当 0≤x≤3 时图象对应函数最大值与最小值之差为5，直接写出 n 的值。 【解答】（1）由表格得对称轴 ，设 ，过 (0,−2)、(1,1) 得 、，故 ；（2）顶点 ）； （3）平移后 ，对称轴 ，分 、、 三种情况讨论可得 n=1 或 n=4。 4.（2026·江门）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6、BC=8。点 P 从 A 出发沿 AB 向 B 以 1cm/s 匀速移动，点 Q 从 B 出发沿 BC 向 C 以 2cm/s 匀速移动。P、Q 同时出发，点 P 到达 B 时两点同时停止。设运动时间为 t 秒。 （1）填空：BP=____，BQ=____；用含 t 的式子表示 △PBQ 的面积 S；（2）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 8？（3）当 t 为何值时，△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】，，（0<t≤4）； （2）令 ，即 ，解得 或 ，均满足 0<t≤4； （3）配方 ，当 秒时，面积最大，最大面积是 9。 配方求对称轴顶点，用对称轴距离比较函数值，分类讨论平移后区间最值 由课本练习到中考真题逐级提升，帮助学生明确考试方向、熟悉题型，检验成果、查漏补缺，训练区间最值分类讨论与对称轴距离判断，提升应考能力与学习动力。 八、课堂小结 本节课复习了哪些核心知识、方法与易错点？ 1. 知识技能：（1）熟练完成一般式与顶点式互化，熟记公式：对称轴 x=−b/2a、顶点坐标(−b/2a,(4ac−b²)/4a)；（2）会用待定系数法（一般式/顶点式）求解析式；（3）掌握 a、b、c、△ 数形双向判断图象特征；（4）掌握区间分类讨论求最值、对称轴距离法速比函数值。 2. 思想方法：（1）数形结合：以形助数、以数释形；（2）分类讨论：对称轴与区间位置分类求最值；（3）模型思想：固化「求式→判图→析性→解最值」的综合题解题模板。 3. 易错提醒：（1）区间最值必须对比顶点与端点，不能只盯顶点；（2）开口方向不同，距对称轴远近对应的函数值大小规律相反；（3）配方提取系数后，常数项要整体整理强调通分符号；（4）多点比较函数值优先看离对称轴距离，勿盲目代入。 核心口诀：先配方、再读式；求最值、看区间；比大小、看距离。 梳理公式 、顶点公式与综合题解题模板，牢记易错点 对本课方法与易错点进行结构总结，将零散题型串成「求式→判图→析性→解最值」的固定解题链条，增强学习主动性与系统性。 板书设计 26.2.3 二次函数 y=ax²+bx+c （第2课时）图象和性质综合应用 主板书 一、核心公式 1. 对称轴：直线 x=-b/2a 2. 顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b²)/4a)（配方法） 3. 一般式⇌顶点式(配方互化) 二、系数与图象（数形双向） 1. a：开口方向与|a|宽窄 2. a、b：左同右异定对称轴 3. c：纵截距（y轴交点） 4. △：与x轴交点个数 三、拔高题型 1. 区间最值：顶点+端点对比、分类 2. 比函数值：比到对称轴距离 3. 待定系数：一般式/顶点式设式 四、致命易错 区间最值只盯顶点、配方漏符号、 开口不同比距离规律相反 副板书 典型例题（综合拔高） 例题、学生练习板演 学生板演区 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