26.2二次函数的图象和性质—— y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数顶点式图象性质，以递进式考点构建知识逻辑，通过精选例题与变式题强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |y=ax²+k|4例+4变式|判断开口/顶点/增减性、作图|基础顶点式，参数a,k对图象的影响| |y=a(x-h)²|4例+4变式|对称轴判断、函数值比较、图象辨析|顶点平移至x轴，参数h对对称轴的作用| |y=a(x-h)²+k|5例+5变式|综合应用、取值范围、实际情境|一般顶点式，整合a,h,k的综合影响，形成完整认知链|

y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质专项训练 y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质专项训练 考点目录 y=ax²+k的图象和性质 y=a（x-h）²的图象和性质 y=a（x-h）²+k的图象和性质 考点一 y=ax²+k的图象和性质 例1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 【答案】 减小 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标和增减性． 将函数化为顶点式可直接得到顶点坐标，再根据开口方向判断增减性． 【详解】解：二次函数可化为， 因此顶点坐标为，对称轴为直线， 由于， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， 当时，函数在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 故答案为：，减小． 例4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： (2)图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 变式1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·新疆昌吉·阶段检测）二次函数的图像与直线交于点． (1)求a、m的值； (2)写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像； (3)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (4)若该抛物线上两点的横坐标满足，则 　．（比较大小）． 【答案】(1)， (2) 解：如图所示 ； (3)0， (4) 【分析】本题考查二次函数的相关知识，包括函数图像上点的坐标特征、二次函数的解析式、图像、对称轴、顶点坐标以及函数的单调性，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质并能灵活运用． （1）利用点在直线上的性质求出的值，再将点代入二次函数求出的值； （2）根据求出的值确定二次函数解析式，然后通过列表、描点、连线画出图像； （3）根据二次函数的性质直接得出对称轴和顶点坐标； （4）根据二次函数的单调性比较和的大小． 【详解】（1）解：因为点在直线上， 将代入直线解析式可得：， 又因为点在二次函数上， 将代入可得：，即，解得． 答：，； （2）略 （3）解：对称轴公式为，代入可得对称轴为， 当时，，所以顶点坐标是， 故答案为：0，； （4）解：二次函数的图像开口向下，对称轴是轴，在对称轴右侧（时），随的增大而减小， 因为，所以． 故答案为：． 考点二 y=a（x-h）²的图象和性质 例1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 例2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的增减性，先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据开口方向判断函数的增减区间即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴该函数图象开口向上， 又∵该函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， 故选：D． 例3．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为，又，故当时，函数有最大值为，从而得出的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) 描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ∴符合条件的只有选项D； 故选D． 变式2．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 【答案】 向下 直线 增大 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：， ， 开口方向向下； 对称轴是直线， 顶点坐标为， 当时，抛物线开口向下， 在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大． 故答案为：①向下；②直线；③；④增大． 变式4．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴， ∴， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：将代入中， 得：， 解得：； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 考点三 y=a（x-h）²+k的图象和性质 例1．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 例2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 例3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 例4．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 例5．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． 变式1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 变式2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 变式3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 变式4．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【分析】根据抛物线已给出顶点式形式，对照顶点式的结构即可直接得到顶点坐标． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 变式5．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． （3）解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质专项训练 y=ax²+k的图象和性质、y=a（x-h）²的图象和性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质专项训练 考点目录 y=ax²+k的图象和性质 y=a（x-h）²的图象和性质 y=a（x-h）²+k的图象和性质 考点一 y=ax²+k的图象和性质 例1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 例4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 变式1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·重庆开州·期末）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 变式3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 变式4．（25-26九年级上·新疆昌吉·阶段检测）二次函数的图像与直线交于点． (1)求a、m的值； (2)写出二次函数的解析式，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像； (3)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (4)若该抛物线上两点的横坐标满足，则 　．（比较大小）． 考点二 y=a（x-h）²的图象和性质 例1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 例2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知二次函数中，若，则的取值范围是______． 例4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 变式1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的开口_________，对称轴是_________，顶点坐标是_________，对称轴左侧，随的增大而_________． 变式4．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 考点三 y=a（x-h）²+k的图象和性质 例1．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 例2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 例3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例4．（2026·广东江门·三模）已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 例5．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 变式1．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 变式3．（2026·河南周口·二模）已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式4．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）抛物线的顶点坐标为_____． 变式5．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $