26.2二次函数的图象和性质—— 待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移问题、二次函数与一次函数图像综合问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数解析式求解、图像平移及与一次函数综合三大核心模块，以题载知，构建从基础方法到综合应用的逻辑训练体系，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |待定系数法求解析式|10题（5例+5变式）|含三点、图像、表格、顶点等条件|从具体条件（点/图像/数据）抽象解析式形式（一般式/顶点式），强化方程思想| |二次函数平移|8题（4例+4变式）|给定平移方向或顶点变化求解析式|基于“左加右减，上加下减”规律，通过顶点变换推导解析式，培养空间观念| |与一次函数图像综合|6题（3例+3变式）|图像匹配及系数符号判断|综合二次函数开口/顶点与一次函数斜率/截距，发展推理意识与数形结合能力|

待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移问题、二次函数与一次函数图像综合问题专项训练 待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移问题、二次函数与一次函数图像综合问题专项训练 考点目录 待定系数法求二次函数解析式 二次函数的平移问题 二次函数与一次函数图像综合问题 考点一 待定系数法求二次函数解析式 例1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 例4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且形状与函数的图象相同，开口向下，则该抛物线对应的函数解析式为___________ 例5．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级上·河南周口·期中）形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 变式4．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 变式5．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 考点二 二次函数的平移问题 例1．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 例4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 变式1．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 变式3．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 变式4．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 考点三 二次函数与一次函数图像综合问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级上·四川凉山·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移问题、二次函数与一次函数图像综合问题专项训练 待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移问题、二次函数与一次函数图像综合问题专项训练 考点目录 待定系数法求二次函数解析式 二次函数的平移问题 二次函数与一次函数图像综合问题 考点一 待定系数法求二次函数解析式 例1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 例2．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 例3．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且形状与函数的图象相同，开口向下，则该抛物线对应的函数解析式为___________ 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线解析式的几种表达形式并会灵活应用是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标设解析式，再根据图象相同，得到值相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为, ∵所求抛物线与的图象相同，开口向下， ∴， ∴ 所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解： 因为抛物线的顶点坐标为， 则令二次函数的解析式为， 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为， 故选：A． 变式2．（24-25九年级上·河南周口·期中）形状、开口方向与抛物线相同，且顶点为的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵二次函数的图象形状与开口方向和抛物线相同， ， 则， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】已知二次函数图象经过三个点，可设二次函数一般式，利用待定系数法代入坐标列方程组求解系数，即可得到解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将三个点分别代入解析式， 得， ，得 解得， 将代入方程组得，， ，得 解得， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 变式4．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，和时函数值相等，可得二次函数顶点坐标为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为，展开整理得． 变式5．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 考点二 二次函数的平移问题 例1．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 例2．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 例3．（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·江西赣州·期末）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 变式1．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 变式3．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 变式4．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 考点三 二次函数与一次函数图像综合问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 例2．（24-25九年级上·四川凉山·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图形确定a、b的符号，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：由二次函数图象，得出，对称轴为，则， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B正确； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D错误． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 变式1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，先判断出函数与轴交于负半轴，再结合二次函数与一次函数的性质分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴函数与轴交于负半轴，故ABC不符合题意； 当时，函数开口向下，函数经过二、三、四象限，故D符合题意； 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．先根据二次函数必须过原点，排除A和D两个选项，再分别根据一次函数的图象得出a的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．二次函数的图象没有过原点，不符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，符合题意； C．由二次函数图象可得，则一次函数图象应该过一、三、四象限，不符合题意； D．二次函数的图象没有过原点，不符合题意． 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $