暑假预习：一次函数与二次函数图像问题、二次函数图象与各项系数符号、二次函数平移问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数与二次函数图像综合识别、系数符号判断及平移变换，通过分层例题与变式题构建从图像观察到性质推理的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与二次函数图像问题|3例+3变式（含重庆、福建等地期末题）|多选项图像匹配，考查函数基本性质（开口、斜率、截距）的关联判断|从函数表达式到图像特征的双向转化，培养几何直观与空间观念| |二次函数图象与各项系数符号|4例+4变式（含中考真题）|结合图像判断a/b/c符号及代数式关系，多结论辨析|深化二次函数性质理解，发展推理能力与符号意识| |二次函数平移问题|4例+4变式（含模拟题）|给定平移方向求解析式或顶点坐标，正向/逆向变换|落实图像变换规律，强化模型意识与应用能力|

暑假预习：一次函数与二次函数图像问题、二次函数图象与各项系数符号、二次函数平移问题专项训练 暑假预习：一次函数与二次函数图像问题、二次函数图象与各项系数符号、二次函数平移问题 专项训练 考点目录 一次函数与二次函数图像问题 二次函数图象与各项系数符号 二次函数平移问题 考点一 一次函数与二次函数图像问题 例1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 例3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 变式1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与二次函数的图像的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图像与性质． 分析每个选项中一次函数与二次函数的的符号与图像的关系即可． 【详解】解：A．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向下，错误； B．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向上，正确； C．由一次函数解析式可得图像过原点，但是选项中一次函数图像未经过原点，故错误； D．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向上，错误． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 考点二 二次函数图象与各项系数符号 例1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 例2．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 例3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 例4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 变式2．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 变式4．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 考点三 二次函数平移问题 例1．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 例3．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______________．（填一般式） 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为． 例4．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 变式1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 变式4．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”原则即可作答． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度， 所得的函数表达式为，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一次函数与二次函数图像问题、二次函数图象与各项系数符号、二次函数平移问题专项训练 暑假预习：一次函数与二次函数图像问题、二次函数图象与各项系数符号、二次函数平移问题 专项训练 考点目录 一次函数与二次函数图像问题 二次函数图象与各项系数符号 二次函数平移问题 考点一 一次函数与二次函数图像问题 例1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C． D． 例2．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 例3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图像大致是（    ） A．B．C． D． 变式2．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C． D． 变式3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 考点二 二次函数图象与各项系数符号 例1．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 例2．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 变式2．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 考点三 二次函数平移问题 例1．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______________．（填一般式） 例4．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 变式1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 变式4．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $