26.1 二次函数的概念3种高频考法讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数概念的三大高频考法，系统构建从定义识别到参数求解再到实际建模的学习支架。先解析二次函数定义的整式性、次数性、系数性三大核心要素，再通过参数方程与不等式结合培养推理能力，最后以面积、利润等实际问题引导列函数关系式。 资料以“知识点解析-解题思路-例题变式”闭环设计，通过教材定义与中考真题结合，培养学生抽象能力与模型意识。如利润问题中用降价x元表利润y，既强化运算能力，又提升应用意识，课中助教师分层教学，课后供学生查漏补缺。

二次函数的概念3种高频考法讲义 二次函数的概念3种高频考法讲义 考点目录 二次函数的定义与识别 根据二次函数的定义求参数 列二次函数关系式 考点一 二次函数的定义与识别 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 教材标准定义 形如（为常数，且）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项。 1. 定义的三个核心要素 · 整式性：函数表达式右边必须是关于自变量的整式，不能含有分式、二次根式等； · 次数性：自变量的最高次数为； · 系数性：二次项系数不能为，一次项系数、常数项可以为任意实数。 补充：当时，；当时，；当时，，均为二次函数。 1. 识别原则 判断一个函数是否为二次函数，必须先化简整理，再对照三个核心要素逐一验证，不能只看表面形式。 二、解题思路 1. 先化简：将函数表达式展开、合并同类项，整理为按降幂排列的形式； 1. 验整式：检查右边是否为整式，排除含分式、根式的函数； 1. 看次数：确认自变量的最高次数为； 1. 查系数：验证二次项系数不为。 四个条件同时满足，即可判定为二次函数。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 例2．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 例3．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数．选项A是含有分式的函数，选项B和C是一次函数，只有选项D符合定义． 【详解】解：A、，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是一次函数，故选项B不符合题意； C、，是一次函数，故选项C不符合题意； D、是二次函数，故选项D符合题意． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如，注意二次项的系数不能为零． 根据二次函数的定义，需为整式且最高次项为二次，且二次项系数不为零，对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数形式为， 选项A：，含分式，非整式，故不是二次函数，不符合题意； 对于B：，为一次函数，故不是二次函数，不符合题意； 对于C：，即，故是二次函数，符合题意； 对于D：，若，则非二次函数，∴不一定是二次函数，不符合题意； 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）二次函数的二次项系数是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式． 通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数． 【详解】解：变形为， 二次项系数为． 故答案为：． 考点二 根据二次函数的定义求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心依据 函数为二次函数，需同时满足两个条件： ① 最高次数为2（自变量）； ② 二次项系数不为0。 1. 常见题型特征 函数表达式中，次数或二次项系数含有未知参数，需要根据定义列方程与不等式，求解参数的取值。 典型形式：，求的值。 二、解题思路 1. 定二次项：找到表达式中的最高次项，明确其系数与次数； 1. 列方程：令最高次项的次数等于，解出参数的可能值； 1. 列不等式：令二次项的系数不等于，排除使系数为0的参数值； 1. 取交集：方程的解与不等式的解集取公共部分，得到参数的最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴指数部分，且系数， 解方程 移项得， 因式分解得， ∴或 又∵，即， ∴． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2且系数不为零． 【详解】解：函数是二次函数， 且． 解得． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 变式2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 考点三 列二次函数关系式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 本质 根据实际问题或几何问题中的数量关系，建立因变量与自变量之间的二次函数对应关系，是二次函数应用的基础。 1. 常见应用类型 · 面积类：矩形面积、组合图形面积、动点图形面积等，核心是面积公式； · 利润类：销售总利润=单件利润×销售数量，核心是价格变化对应销量变化； · 运动类：抛体运动的高度与时间的关系、行程问题等； · 增长率类：连续两次增长/下降的总量问题。 1. 最终形式要求 一般整理为二次函数的一般式：，并注明自变量的取值范围。 二、解题思路 1. 设变量：明确自变量和因变量，理清二者的关联逻辑； 1. 找等量：根据问题对应的公式（面积公式、利润公式等），确定核心等量关系； 1. 代换表示：用含的代数式表示出等量关系中的各个相关量； 1. 列式化简：将各量代入等量关系，整理为二次函数的标准形式； 1. 定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围（如长度、数量为正）。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A：，故圆的周长与半径具有一次函数关系，不符合题意； B：由题意得：，即；故一边长与它邻边具有一次函数关系，不符合题意； C：由图可知： ，， ∴； 故正三角形的面积与边长具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程与时间成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 例2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 例3．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【答案】(1)、、 (2)关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式． （1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式； （2）根据二次函数的定义进行解答． 【详解】（1）解： 圆柱的底面半径为，底面周长为， ； 又圆柱的高为，底面半径为，圆柱的体积为， ． 设圆柱的高为，底面周长为，圆柱的体积为， ． 综上所述，关于、关于、关于的函数关系式分别是：、、． （2）解：根据二次函数的定义知，关于的关系式是二次函数，关于的关系式是二次函数． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为：，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的概念3种高频考法讲义 二次函数的概念3种高频考法讲义 考点目录 二次函数的定义与识别 根据二次函数的定义求参数 列二次函数关系式 考点一 二次函数的定义与识别 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 教材标准定义 形如（为常数，且）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项。 1. 定义的三个核心要素 · 整式性：函数表达式右边必须是关于自变量的整式，不能含有分式、二次根式等； · 次数性：自变量的最高次数为； · 系数性：二次项系数不能为，一次项系数、常数项可以为任意实数。 补充：当时，；当时，；当时，，均为二次函数。 1. 识别原则 判断一个函数是否为二次函数，必须先化简整理，再对照三个核心要素逐一验证，不能只看表面形式。 二、解题思路 1. 先化简：将函数表达式展开、合并同类项，整理为按降幂排列的形式； 1. 验整式：检查右边是否为整式，排除含分式、根式的函数； 1. 看次数：确认自变量的最高次数为； 1. 查系数：验证二次项系数不为。 四个条件同时满足，即可判定为二次函数。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例3．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列函数（，，是常数）中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）二次函数的二次项系数是 ___________． 考点二 根据二次函数的定义求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心依据 函数为二次函数，需同时满足两个条件： ① 最高次数为2（自变量）； ② 二次项系数不为0。 1. 常见题型特征 函数表达式中，次数或二次项系数含有未知参数，需要根据定义列方程与不等式，求解参数的取值。 典型形式：，求的值。 二、解题思路 1. 定二次项：找到表达式中的最高次项，明确其系数与次数； 1. 列方程：令最高次项的次数等于，解出参数的可能值； 1. 列不等式：令二次项的系数不等于，排除使系数为0的参数值； 1. 取交集：方程的解与不等式的解集取公共部分，得到参数的最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 例3．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 变式2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 考点三 列二次函数关系式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 本质 根据实际问题或几何问题中的数量关系，建立因变量与自变量之间的二次函数对应关系，是二次函数应用的基础。 1. 常见应用类型 · 面积类：矩形面积、组合图形面积、动点图形面积等，核心是面积公式； · 利润类：销售总利润=单件利润×销售数量，核心是价格变化对应销量变化； · 运动类：抛体运动的高度与时间的关系、行程问题等； · 增长率类：连续两次增长/下降的总量问题。 1. 最终形式要求 一般整理为二次函数的一般式：，并注明自变量的取值范围。 二、解题思路 1. 设变量：明确自变量和因变量，理清二者的关联逻辑； 1. 找等量：根据问题对应的公式（面积公式、利润公式等），确定核心等量关系； 1. 代换表示：用含的代数式表示出等量关系中的各个相关量； 1. 列式化简：将各量代入等量关系，整理为二次函数的标准形式； 1. 定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围（如长度、数量为正）。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 例2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·青海西宁·阶段检测）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 例4．（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）设圆柱的高为，底面半径为，底面周长为，圆柱的体积为． (1)分别写出关于、关于、关于的函数关系式； (2)这三个函数中，哪些是二次函数？ 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 变式3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 变式4．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $