26.2 二次函数的图象和性质 讲义-2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图象和性质核心知识点，从y=ax²的列表描点连线画法入手，结合对称性简化作图，逐步过渡到y=ax²+bx+c的平移规律，系统梳理顶点坐标、对称轴、增减性、最值等性质，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过分步讲解图象画法（如对称取点）和性质分析（如“左同右异”判断对称轴），搭配多样化跟踪训练（选择、填空、解答题）及详细解析，培养学生几何直观和推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

26.2二次函数的图象和性质讲义-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 知识梳理 二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 跟踪训练 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 2．（2025秋•泌阳县期末）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数．y＝x2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 3．（2025秋•滨州期末）关于抛物线y＝﹣x2+6x+7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 4．（2026•临渭区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．﹣3 5．（2026•三原县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a为常数，且a＜0）的图象经过点（﹣1，2），则下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．4a2＜4ac C．3a+c＝2 D．a﹣2c＞0 6．（2026•曹妃甸区一模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2，当自变量x满足a﹣1≤x≤a+2时，函数y的最小值为2，则a的值为（　　） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 7．（2026•合阳县二模）二次函数y＝x2+bx+b2﹣2b（b为常数）的图象经过点（0，8），且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（　　） A．4 B．﹣4 C．7 D．﹣7 8．（2026•青岛模拟）一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2026•阜阳三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c＝2 10．（2026•厦门校级模拟）将二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（　　） A．﹣2≤m≤0 B．m≤0 C．﹣2≤m≤2 D．m≤2 二．填空题（共6小题） 11．（2026•罗湖区校级三模）将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 　 　 ． 12．（2026•沛县三模）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为　 　 ． 13．（2025秋•德阳校级期末）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　 ． 14．（2026•连山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（2，1），若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB有公共点，则a的取值范围是　 　 ． 15．（2026•相城区二模）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　 　 ． 16．（2025秋•武汉期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 k … 其中0＜m＜2．以下结论： ①abc＜0； ②若抛物线经过点（﹣1，y1），（6，y2），则y2＞y1； ③当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4； ④； ⑤关于x的方程|ax2+bx+c|﹣k＝0有两个不相等的实数根． 其中正确的是　 　 ．（填写序号） 三．解答题（共5小题） 17．（2025秋•合肥校级期末）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（﹣3，4）和（1，﹣4）． （1）求b，c的值； （2）若点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上，求m的值． 18．（2026春•西湖区校级期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 19．（2026秋•同步）已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求k的值； （2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　 　 ； （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的取值范围． 20．（2026•安徽模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，并且经过点（﹣1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y＝ax+c经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p﹣4，y1），B（p，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 21．（2025•祁阳市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向下平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 26.2二次函数的图象和性质讲义-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2） 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，2）， 故选：B． 2．（2025秋•泌阳县期末）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数．y＝x2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【解答】解：当x＝﹣1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 3．（2025秋•滨州期末）关于抛物线y＝﹣x2+6x+7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 【解答】解：∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，故A选项错误， ∵对称轴为直线， ∴对称轴是直线x＝3，故B选项错误， ∵当x＝0时，y＝7， ∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，7），故C选项正确， ∵当x＝3时，y＝﹣32+6×3+7＝﹣9+18+7＝16， ∴顶点坐标是（3，16），故D选项错误， 故选：C． 4．（2026•临渭区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数），当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为（　　） A．9 B．4 C．1 D．﹣3 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+m+1＝﹣（x﹣1）2+m+2， ∴该函数的对称轴为直线x＝1，图象开口向下， ∵0≤x≤3， ∴当x＝1时，取得最大值，当x＝3时，取得最小值， ∴当0≤x≤3时，该二次函数的最大值与最小值的差为[﹣（1﹣1）2+m+2]﹣[﹣（3﹣1）2+m+2]＝4， 故选：B． 5．（2026•三原县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a为常数，且a＜0）的图象经过点（﹣1，2），则下列结论正确的是（　　） A．ac＞0 B．4a2＜4ac C．3a+c＝2 D．a﹣2c＞0 【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象上， ∴a•（﹣1）2﹣2a•（﹣1）+c＝2，则a+c＝2，故选项C正确，符合题意； 判断其余选项：由3a+c＝2得c＝2﹣3a， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴c＝2﹣3a＞2＞0． 对选项A：∵a＜0，c＞2， ∴ac＜0，故选项A错误，不符合题意； 对选项B：4a2＜4ac化简为a2＜ac， 移项得a（a﹣c）＜0， ∵a〈0，c〉0＞a， ∴a﹣c＜0， ∴a（a﹣c）＞0，即4a2＞4ac，故选项B错误，不符合题意； 对选项D：将c＝2﹣3a代入a﹣2c得a﹣2（2﹣3a）＝7a﹣4， ∵a＜0， ∴7a﹣4＜0，即a﹣2c＜0，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 6．（2026•曹妃甸区一模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2，当自变量x满足a﹣1≤x≤a+2时，函数y的最小值为2，则a的值为（　　） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【解答】解：对二次函数配方可得：y＝x2﹣2ax+a2+2＝（x﹣a）2+2， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝a，顶点纵坐标为2， ∵a﹣1≤x≤a+2， ∴a﹣1≤a≤a+2恒成立，即对称轴x＝a一定在给定区间内， ∴二次函数在x＝a处取得最小值，最小值恒为2，符合题意， ∴a为任意实数． 故选：C． 7．（2026•合阳县二模）二次函数y＝x2+bx+b2﹣2b（b为常数）的图象经过点（0，8），且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（　　） A．4 B．﹣4 C．7 D．﹣7 【解答】解：由题知， 将点（0，8）代入y＝x2+bx+b2﹣2b得， b2﹣2b＝8， 解得b＝4或b＝﹣2． 因为抛物线的对称轴在y轴左侧， 所以， 则b＞0， 所以b＝4， 所以解析式为y＝x2+4x+8＝（x+2）2+4． 因为a＝1＞0， 所以该二次函数的最小值为4． 故选：A． 8．（2026•青岛模拟）一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据一次函数图象与系数的关系，逐项分析二次函数图象与系数关系再判断如下： A：一次函数a＞0，b＞0，二次函数，可得b＜0，不符合题意； B：一次函数a＜0，b＜0；二次函数a＜0，，可得b＜0，符合题意； C：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意； D：一次函数a＜0，二次函数a＞0，不符合题意． 故选：B． 9．（2026•阜阳三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c＝2 【解答】解：把（1，2）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得a+b+c＝2，故D正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵， ∴b＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故C正确，不符合题意； ∵， ∴b＜2a， ∵a+b+c＝2， ∴a+b＝2﹣c， ∵c＜0， ∴a+b＝2﹣c＞2， ∴a+2a＞2， ∴，故A正确，不符合题意； 取a＝6，b＝11，满足b＜2a＝12，c＝2﹣a﹣b＝﹣15＜0， 此时b＝11＞10， ∴b＜10不一定成立，故B错误，符合题意． 故选：B． 10．（2026•厦门校级模拟）将二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大1．如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有交点时m的取值范围是（　　） A．﹣2≤m≤0 B．m≤0 C．﹣2≤m≤2 D．m≤2 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m（舍）或m， ∴m≤0， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•罗湖区校级三模）将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 y＝3x2﹣2　 ． 【解答】解：∵函数y＝3x2的图象向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为y＝3x2﹣2； 故答案为：y＝3x2﹣2． 12．（2026•沛县三模）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为　2　 ． 【解答】解：将解析式配方可得： 二次函数y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2， ∴当x＝3时，取得最大值，最大值为2， 故答案为：2． 13．（2025秋•德阳校级期末）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 y＝﹣2（x+1）2﹣3　 ． 【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），则沿x轴翻折后顶点坐标是（﹣1，﹣3），开口向下， ∴新抛物线解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣3， 故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣3． 14．（2026•连山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（2，1），若抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB有公共点，则a的取值范围是　　 ． 【解答】解：由题知， 因为点A（﹣1，1），B（2，1）， 所以线段AB在x轴上方且与x轴平行． 将点A坐标代入二次函数解析式得， a＝1， 将点B坐标代入二次函数解析式得， 4a＝1， a， 因为抛物线y＝ax2（a≠0）与线段AB有公共点， 所以a的取值范围是a． 故答案为：a． 15．（2026•相城区二模）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　m＜0　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m（舍）或m， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 16．（2025秋•武汉期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m ﹣4 n ﹣4 k … 其中0＜m＜2．以下结论： ①abc＜0； ②若抛物线经过点（﹣1，y1），（6，y2），则y2＞y1； ③当m＝1，t≤x≤t+2时，y的最小值是1，则t＝2或4； ④； ⑤关于x的方程|ax2+bx+c|﹣k＝0有两个不相等的实数根． 其中正确的是　①②④　 ．（填写序号） 【解答】解：由表格数据可知当x＝1和x＝3时，y＝﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x2， ∴， ∴b＝﹣4a． 当x＝0时，y＝m＝c，且0＜m＜2． 当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣4，得a﹣4a+c＝﹣4，即c＝﹣4+3a． ∴0＜﹣4+3a＜2， 解得． ∵a＞0，b＝﹣4a＜0，c＞0， ∴abc＜0，结论①正确． ∵抛物线开口向上，点（﹣1，y1）对称轴的距离3，点（6，y2）到对称轴的距离为4， ∴y2＞y1，结论②正确． 当m＝1时，c＝1，代入c＝﹣4+3a得，抛物线为，与y＝1交于x＝0和x＝4．当t≤x≤t+2时，y有最小值为1，此时t＝﹣2或4，故结论③错误． 由0＜﹣4+3a＜2直接得，结论④正确． 由表格数据和抛物线的对称性可知，当x＝0和x＝4时，y＝k＝m， 所以方程|ax2+bx+c|＝k（0＜k＜2）等价于y＝k或y＝﹣k，由于抛物线开口向上且顶点y＝n＜﹣4＜0，与y＝k和y＝﹣k各有两个交点，故有四个实数根，结论⑤错误． 故答案为：①②④． 三．解答题（共5小题） 17．（2025秋•合肥校级期末）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（﹣3，4）和（1，﹣4）． （1）求b，c的值； （2）若点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上，求m的值． 【解答】解：（1）将点（﹣3，4）和（1，﹣4）代入y＝﹣2x2+bx+c得： ， 解得：； （2）由（1）知抛物线方程为y＝﹣2x2﹣6x+4， ∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上， ∴若点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x2+bx+c的图象上，m＝﹣2×（﹣1）2﹣6×（﹣1）+4＝﹣2+6+4＝8． 18．（2026春•西湖区校级期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ∴顶点坐标为：（1，4） （2）由于抛物线的对称轴为：x＝1， ∴0＜x＜3时， ∴0＜y≤4 （3）设P（x，y） ∴△PAB的高为|y|， ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝4 ∵S△PAB＝10， ∴4×|y|＝10 ∴y＝±5， 当y＝5时， ∴5＝﹣x2+2x+3 此时方程无解， 当y＝﹣5时， ∴﹣5＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝4或x＝﹣2， ∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5） 19．（2026秋•同步）已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求k的值； （2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ； （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的取值范围． 【解答】解：（1）由是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小， 得 解得：k＝﹣3； （2）由（1）知k＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2； ∵点A（1，m）， ∴当x＝1时，m＝﹣1， ∴点A（1，﹣1） ∴点A的对称点的坐标为（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）； （3）如图所示： 当x＝﹣2时，y＝﹣22＝﹣4， 当x＝4时，y＝﹣42＝﹣16， ∴当﹣2≤x＜4时，﹣16＜y≤0， 故﹣16＜y≤0． 20．（2026•安徽模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，并且经过点（﹣1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y＝ax+c经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p﹣4，y1），B（p，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． 根据题意，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）． 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 把（﹣1，3）代入，可得3＝4a﹣1 解得a＝1， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x； （2）①根据y＝ax2+bx+c， 可得二次函数的顶点为， 把代入y＝ax+c， 得， 化简，得． ∵， ∴， ∴b＝2a， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）； ②设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2﹣1． ∴，． ＝a（p﹣3）2﹣a（p+1）2 ＝8a（1﹣p）． ∵y1＞y2， ∴8a（1﹣p）＞0， ∵a＞0， ∴1﹣p＞0， ∴p＜1． 21．（2025•祁阳市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向下平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【解答】解：（1）设， 把A（﹣2，5）代入得， 解得， ∴； （2）点B平移后的点的坐标为（1﹣m，5）， 则5＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3， 解得m＝3或m＝0（舍）， ∴m的值为3； （3）当时， ∴最大值与最小值的差为， 解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当n＞1时， 最大值与最小值的差为， 解得n1＝1或n2＝﹣2（舍去）； 综上所述，n的取值范围为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $