26.1 二次函数的概念 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理定义与一般形式（强调二次项系数a≠0）、识别的三个条件（整式、自变量最高次2、a≠0）、实际问题列关系式的步骤（审找表列定），构建从概念理解到应用的完整学习支架。 资料亮点在于分层通关设计与题型探究结合，通过基础到培优练习适配不同学生，例题及变式题强化推理意识，实际问题模型（如面积、利润）培养模型观念，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

26.1 二次函数的概念 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数的定义与一般形式 考点2：二次函数的识别与判断 考点3：根据实际问题列二次函数关系式 Part2 题型探究 题型1：二次函数的识别与判断 题型2：根据二次函数的定义求参数 题型3：根据实际问题列二次函数表达式 Part3 分层通关 【考点1：二次函数的定义与一般形式】 1、定义 一般地，形如（）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是因变量。 2、一般形式及各项名称 二次函数的一般形式为，其中：是二次项系数，是二次项；是一次项系数，是一次项；是常数项。 3、特殊形式 ①当时，；②当时，；③当时，（最简单的二次函数）。 4、注意事项 二次项系数a≠0是定义的必要条件，b和c可以为0。判断一个函数是否为二次函数，必须先将其化为一般形式，再看是否满足定义。 【考点2：二次函数的识别与判断】 1、判断标准（三个条件缺一不可） ①等式右边必须是关于自变量x的整式（不能含分式、根式等）；②自变量x的最高次数必须是2；③二次项系数a必须不等于0。 2、常见陷阱 ①含分母中自变量的函数（如y=1/x²）不是二次函数；②含根号下自变量的函数不是二次函数；③y=ax²+bx+c中未说明a≠0时，不一定是二次函数；④化简后最高次数不是2的不是二次函数。 3、各项系数的确定 给定二次函数后，先化为一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数、常数项。注意各项系数包括前面的符号。 【考点3：根据实际问题列二次函数关系式】 1、一般步骤 ①审：审清题意，明确自变量和因变量；②找：找出题目中的等量关系；③表：用含自变量的式子表示相关数量；④列：列出函数表达式，一般化为y=ax²+bx+c的形式；⑤定：根据实际意义确定自变量的取值范围。 2、常见模型 ①面积问题：利用矩形、三角形等面积公式，如矩形长为、宽为，则面积；②利润问题：总利润＝每件利润×销售量；③增长率问题：连续两次增长后的量；④几何图形问题：利用周长、面积、体积公式建立函数关系。 3、自变量取值范围 实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义。如长度、面积不能为负，人数必须为正整数等。求函数值时必须在取值范围内计算。 【题型1：二次函数的识别与判断】 【例1】下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4 C． D．y＝3x2+x﹣2 【变式1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2：根据二次函数的定义求参数】 【例2】若函数是二次函数，则m的值一定是（　　） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【变式1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】若二次函数经过原点，则的值为（ ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【题型3：根据实际问题列二次函数表达式】 【例3】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【变式1】某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【变式3】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【基础通关练】 1．下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 3．若函数是关于的二次函数，则为（ ） A． B． C． D． 4．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 5．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 6．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【提升通关练】 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 3．对于关于x的函数，下列说法错误的是( ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 4．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 5．下列各式：①；其中是的二次函数的有________（只填序号） 6．若是二次函数，则的值为______． 7．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 8．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 9．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数? (3)自变量x的取值范围是什么? 【培优通关练】 1．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 4．玩具店销售一种流行卡片，该卡片进价为6元/件，商家规定该卡片销售单价不得低于8元，且不高于11元，若以8元/件出售时，日销售量为40件，若在此基础上售价每上涨1元/件，则日销售量将减少5件． (1)若要使这种卡片日盈利为120元，则该卡片每件售价为多少元． (2)该卡片日盈利额能否达到130元？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1 二次函数的概念 目录 Part1考点突破 考点1：二次函数的定义与一般形式 考点2：二次函数的识别与判断 考点3：根据实际问题列二次函数关系式 Part2 题型探究 题型1：二次函数的识别与判断 题型2：根据二次函数的定义求参数 题型3：根据实际问题列二次函数表达式 Part3 分层通关 【考点1：二次函数的定义与一般形式】 1、定义 一般地，形如（）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是因变量。 2、一般形式及各项名称 二次函数的一般形式为，其中：是二次项系数，是二次项；是一次项系数，是一次项；是常数项。 3、特殊形式 ①当时，；②当时，；③当时，（最简单的二次函数）。 4、注意事项 二次项系数a≠0是定义的必要条件，b和c可以为0。判断一个函数是否为二次函数，必须先将其化为一般形式，再看是否满足定义。 【考点2：二次函数的识别与判断】 1、判断标准（三个条件缺一不可） ①等式右边必须是关于自变量x的整式（不能含分式、根式等）；②自变量x的最高次数必须是2；③二次项系数a必须不等于0。 2、常见陷阱 ①含分母中自变量的函数（如y=1/x²）不是二次函数；②含根号下自变量的函数不是二次函数；③y=ax²+bx+c中未说明a≠0时，不一定是二次函数；④化简后最高次数不是2的不是二次函数。 3、各项系数的确定 给定二次函数后，先化为一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数、常数项。注意各项系数包括前面的符号。 【考点3：根据实际问题列二次函数关系式】 1、一般步骤 ①审：审清题意，明确自变量和因变量；②找：找出题目中的等量关系；③表：用含自变量的式子表示相关数量；④列：列出函数表达式，一般化为y=ax²+bx+c的形式；⑤定：根据实际意义确定自变量的取值范围。 2、常见模型 ①面积问题：利用矩形、三角形等面积公式，如矩形长为、宽为，则面积；②利润问题：总利润＝每件利润×销售量；③增长率问题：连续两次增长后的量；④几何图形问题：利用周长、面积、体积公式建立函数关系。 3、自变量取值范围 实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义。如长度、面积不能为负，人数必须为正整数等。求函数值时必须在取值范围内计算。 【题型1：二次函数的识别与判断】 【例1】下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝﹣x﹣4 C． D．y＝3x2+x﹣2 【答案】D 【解答】解：根据二次函数的定义y＝ax2+bx+c（a≠0且a是常数）逐项分析判断如下： A、a＝0时不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝﹣x﹣4是一次函数，故B不符合题意； C、里含有分式，故C不符合题意； D、y＝3x2+x﹣2是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 【变式2】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 【变式3】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【题型2：根据二次函数的定义求参数】 【例2】若函数是二次函数，则m的值一定是（　　） A．3 B．0 C．3或0 D．1或2 【答案】B 【解答】解：∵此函数是二次函数， ∴， 解得m＝0． 故选：B． 【变式1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式2】若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式3】若二次函数经过原点，则的值为（ ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值． 【详解】解：二次函数的解析式为：， ∴，， 二次函数的图象经过原点， ，或， ∵，． 故选：B． 【题型3：根据实际问题列二次函数表达式】 【例3】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 【变式1】某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 【变式2】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 【变式3】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【基础通关练】 1．下列各式中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 3．若函数是关于的二次函数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 5．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解： ， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 6．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 【提升通关练】 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意； B、不是二次函数，故选项不符合题意； C、，是二次函数，故选项符合题意； D、，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 2．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 3．对于关于x的函数，下列说法错误的是( ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 4．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：①由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ②由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 5．下列各式：①；其中是的二次函数的有________（只填序号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 6．若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 7．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 8．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 9．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)销售单价应为元 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）解：根据题意可得，； （3）解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)． (1)写出y与x的函数关系式； (2)上述函数是什么函数? (3)自变量x的取值范围是什么? 【答案】(1)y＝x2－9x＋20；(2)二次函数;(3) 0＜x＜4. 【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式； （2）通过二次函数的定义可判断； （3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析. 试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．   (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x的取值范围是0＜x＜4． 【培优通关练】 1．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 4．玩具店销售一种流行卡片，该卡片进价为6元/件，商家规定该卡片销售单价不得低于8元，且不高于11元，若以8元/件出售时，日销售量为40件，若在此基础上售价每上涨1元/件，则日销售量将减少5件． (1)若要使这种卡片日盈利为120元，则该卡片每件售价为多少元． (2)该卡片日盈利额能否达到130元？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】(1)该卡片每件售价为10元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设该卡片每件售价为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设该卡片每件售价为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可。 【详解】（1）解：设该卡片每件售价为元， 由题意，， 解得或（不合题意，舍去）； 答：该卡片每件售价为10元； （2）解：不能，理由如下： 设该卡片每件售价为元， 由题意，， 整理，得， ∵， ∴原方程无实数根， ∴该卡片日盈利额不能达到130元. 学科网（北京）股份有限公司 $