1.2 课时5 公式法解一元二次方程 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级数学“公式法解一元二次方程”同步练，以“概念理解-技能应用-综合拓展”分层设计，通过推导过程深化推理意识，规范步骤培养运算能力，综合应用发展应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|求根公式的推导、求根公式|选择/填空题考查推导逻辑（如第1题反推方程），夯实抽象能力| |技能应用层|公式法步骤、注意事项|解答题规范解题流程（如第9题按步骤解方程），提升运算能力| |综合拓展层|公式法适用性及综合应用|结合几何情境（如第6题矩形动点问题）和多方法对比（如课时训练第9题），发展应用意识|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．2 一元二次方程的解法 课时5 公式法解一元二次方程 ▌课时目标 1. 理解求根公式的推导过程，掌握通过配方法将一般形式化为求根公式的完整逻辑，明确推导的前提条件。 2. 熟记一元二次方程的求根公式，能明确公式中的含义及符号要求，理解公式适用的前提。 3. 掌握公式法解一元二次方程的步骤，能准确代入计算并规范写出解题过程，体会公式法作为通用解法的价值。 ▌课时目录 知识点01：求根公式的推导 知识点02：一元二次方程求根公式 知识点03：公式法解一元二次方程的步骤 知识点04：公式法解一元二次方程的注意事项 知识点05：公式法适用于所有一元二次方程 ▌知识点01：求根公式的推导 对于形如（）的方程用配方法推导： 完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方得，； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 当时， 移项得求根公式：。 1．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． (1)一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； (2)小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第_步开始出错的，其错误原因是_． 解：∵（第一步） ∴（第二步） ∴（第三步） ∴（第四步） (3)请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1) (2)一，未将所给方程化为一般式 (3)正确过程见解析 【分析】（1）根据求根公式完成填空即可； （2）找出所给求解过程的错误步骤即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 当时，它的求根公式是x． （2）解：观察所给解题过程可知， 小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是未将所给方程化为一般式． （3）解：， ， ， 则， ∴． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 【答案】(1) (2)c的最小值为2 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值； （2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2． 【详解】（1）解：∵用公式法解得方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴， 而， ∴， ∴， ∴c的最小值为2． 4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）以下是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程：小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以a，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理左边得，后续步骤未完成． 请根据以上信息完成问题： (1)小明的推导过程中，第______步存在错误； (2)请写出正确的推导过程； (3)已知方程（m为整数）的两个根均为整数，利用求根公式求出整数m的所有可能值． 【答案】(1)③ (2) 解：①由，得； ②两边同时除以a，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理左边得， 当时， ， ∴， 即 (3) 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． （1）按照求根公式的推导过程进行解答即可； （2）按照配方法写出正确的推导过程； （3）根据公式法得到或，再根据方程（m为整数）的两个根均为整数进行分析即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的推导过程中，第③步存在错误，两边应该同时加上一次项系数一半的平方，即应该加上； 故答案为：③ （2）略 （3） 由题意可知，，即一定有两个实数根， ∴， ∵m为整数， ∴， 或， ∵方程（m为整数）的两个根均为整数， ∴是整数， 则的值为． ▌知识点02：一元二次方程求根公式 由，当时，两边开平方得，移项即得求根公式：。 其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，代入时必须连同符号一起代入。例如：对2x2－3x－1＝0，a＝2,b＝－3,c＝－1。 5．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 6．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 7．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】方程无法直接因式分解，可采用一元二次方程公式法求解； 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 8．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）解方程：． 【答案】， 【详解】（解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； ▌知识点03：公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解方程的规范步骤： 1. 化为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 计算判别式，判断根的情况； 3. 若，将a、b、c代入求根公式求出方程的根；若，直接写出“方程无实数根”； 4. 写出最终答案。 例如：解方程2x²－7x＋3＝0→a＝2，b＝－7，c＝3→Δ＝49－24＝25＞0→x＝(7－5)→x₁＝3，x₂＝0.5。注意：代入公式时b的值要连同符号代入（如b＝－7代入后为－(－7)＝7）。 9．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解方程：； 【答案， 【详解】解：整理，得， ∵， ∴， ∴，． 10．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：即， ∴， ， ∴，. （2）解：， ∴， ， ∴，． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】移项后提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：对于方程， 得 即 12．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）解方程： 【答案】， 【详解】解：， 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． ▌知识点04：公式法解一元二次方程的注意事项 1. 必须先化为一般形式，再确定a,b,c，注意符号（如x2－3x＋2＝0中b＝－3,c＝2）； 2. 若不是完全平方数，结果保留根号形式，如x＝； 3. 当b为负数时，－b为正，不能写成b； 4. 分母2a包含a，不能遗漏； 5. 公式法只要求时有实数解，无需额外讨论。 13．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解：方程中，，，， ∴， ∴， 解得； （2）解：方程中，，，， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 14．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】化为标准式后套用求根公式求解； 【详解】∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 15．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）解方程： 【答案】 【详解】解： 其中， ∴ ， ∴ ， 即 ； 16．（2026·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】， 【分析】利用公式法解一元二次方程即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． ▌知识点05：公式法适用于所有一元二次方程 公式法的前提是方程已化为一般形式且a≠0，只要，公式法总能求出实数解；当＜0时，方程在实数范围内无解。 与配方法、因式分解法相比，公式法不需要特殊的因式分解技巧，也不受方程结构限制，是一种通用解法。 但计算量较大，实际解题时可优先观察是否有更简便的方法（如因式分解），再决定是否使用公式法。 17．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】，； 【详解】解：， 整理得， ，，， ， ∴， ∴，； 18．（25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程：． 【答案】(，． 【详解】解：， ， ， ， ，． 19．（25-26八年级下·山西大同·期末）计算：解方程∶． 【答案】， 【详解】解： 其中，，， ∴ ∴ ∴，． 20．（25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． ▌课时训练 一、选择题 3．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 4．（2026·贵州黔南·一模）下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解法解题即可． 【详解】解：A：， ， ∴，；故该选项符合题意； B：， ， ∴，；故该选项不合题意； C：， ∴，；故该选项不合题意； D：， ， ∴；故该选项不合题意． 5．（25-26八年级下·安徽六安·期中）我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 6．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，是矩形对角线的交点，，，点在边上，连接并延长交于，若，且与不平行，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用全等三角形得到线段关系，设未知数，利用中位线和勾股定理列方程，解方程，舍去不符合题意的解即可． 【详解】解：∵是矩形对角线交点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 即． 设，已知， 则， 由得． 过作于， ∵是中点，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理：， ∵， ∴ 即， 解得或． 当时，为中点，为中点，此时，与题目条件矛盾，舍去， 因此． 二、填空题 8．（2026·山东威海·模拟预测）已知，则___________． 【答案】或 【分析】将两个已知等式作差分解因式，分和两种情况计算的值． 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 9．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 10．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 11．（2026·河南郑州·模拟预测）在中，，，，P是上的动点，当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】在平行四边形中，利用对边平行且相等的性质确定各边长和角度．过、分别向所在直线作垂线，利用含角的直角三角形性质求出垂足位置和高，再用勾股定理表示和，分、、三种等腰情况列方程求解，舍去不在范围内的解． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ， 过作于，过作交延长线于， 在中，，， ，， 在中，，， ，， ， 设在上，，，则， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， ， 解得或， ，，均不在范围内， 此情况无解， 当时， ， ， ， ， 当时， ， ， 解得或， ，舍去， 满足， ， 综上所述，的长为或． 三、解答题 9．（25-26九年级下·内蒙古·开学考试）按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期末）我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则_． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是_． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 课时5公式法解一元二次方程 课时目标 理解求根公式的推导过程，掌握通过配方法将一般形式化为求根公式的完整逻辑，明 确推导的前提条件。 2.熟记一元二次方程的求根公式，能明确公式中的含义及符号要求，理解公式适用的前 提。 掌握公式法解一元二次方程的步骤，能准确代入计算并规范写出解题过程，体会公式 法作为通用解法的价值。 课时目录 知识点01：求根公式的推导 知识点02：一元二次方程求根公式 知识点03：公式法解一元二次方程的步骤 知识点04：公式法解一元二次方程的注意事项 119 知识点05：公式法适用于所有一元二次方程 知识点01：求根公式的推导 对于形如ar2+bx+c=0(a≠0)的方程用配方法推导： 完整步骤： x+5x+C=0 化二次项系数为l:方程两边同除以a,得aa; x+ c 一x= 移项： a a 配方得， b)2 b2-4ac x+ 左边写成完全平方式： 2a 4a2 x b b2-4ac 当b2-4ac20时， +2a 4ai -b±Vb2-4ac x= 移项得求根公式： '2a 1.(25-26九年级上贵州黔南期末)某一元二次方程的根用求根公式表示为 x=-（-2)±-2-4x3x(-) 2×3 ,则该一元二次方程为() A.-2x2+3x-1=0 B.3x2-2x-1=0 C.2x2-3x+1=0 D.3x2-2x+1=0 2.(25-26八年级下·山东烟台期中)在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程 ar2+bx+c=0(a≠0 ,可以得到一元二次方程的求根公式. 219 (-般地，对于一元一次方程+x+c=0(口≠0) 当b-4ac之0时，它的求根公式是x=,我们也 把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法： (2)小明在用公式法解方程x2-6x=5时出现了错误，解答过程如表：请问，小明的解答过程是从第_步 开始出错的，其错误原因是_ 解：，a=1,b=-6,c=5(第一步) 、P-4ac=(6-4x1x5=16(第二步) ”=6±√16_6±4 2 2(第三步) x=5,x32=1 (第四步) (3)请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程. 3.(25-26九年级上·福建泉州期末)已知实数a,b,c,且abc≠0 (I)若4，b,c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程 的根为2生原+8 2 ,求a+b+c的值.（一元二次方程的一般形式为a2+bx+c=0,求根公式为： x=-b±vB-4ae 2a (2)若c>0,且a+2b+c=0,abc=1,求c的最小值. 4,(25-26九年级上·福建龙岩阶段检测)以下是小明推导的一元二次方程+r+c=0(a0 求根公式 的部分过程：小明步骤： ①由ax2+bx+c=0,得ax2+bx=-c: ②两边同时除以a,得2+6x=-9 b aa: 3/9 b )2 b2-4ac ④整理左边得x+ 2 Aa 后续步骤未完成. 请根据以上信息完成问题： (1)小明的推导过程中，第 步存在错误： (2)请写出正确的推导过程： (3)已知方程 mx2+(m-3)x-3=0 (为整数)的两个根均为整数，利用求根公式求出整数m的所有可 能值， 知识点02：一元二次方程求根公式 x+ b）2 b2-4ac b b2-4ac 由 2a x+ 4a2,当b2-4ac20时，两边开平方得2a 4a2 移项即得求 x=bb-4ac 根公式： 2a 0 其中a,b,c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，代入时必须连同符号一起代入。例 如：对2x2-3x-1=0,a=2,b=-3,c=-1。 25-26九年级上河北唐山期中)）在用求根公式x=6士V62 2a 求一元二次方程的根时，佳琪正确 -3±V32-4×2×(-可 地代入了a,b,c得到x= 2×2 则她求解的一元二次方程是() A.2x2-3x-1=0 B.2x2+3x-1=0 C.2x2+3x+1=0 D.2x2-3x+1=0 6.(25-26八年级上·上海杨浦期中)一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑， 4/9 对于任意有实数根的一元二次方程x+br+c=0,其求根公式为x=一： 7.(26-27九年级上四川成都开学考试)解方程：2x2-2x-1=0. 5y2-5y+1=0 8.(26-27九年级上江苏南京开学考试)解方程： 知迟点03：公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解方程的规范步骤： 化为一般形式ar2+br+c=0,确定a、b、c的值（注意符号）； 计算判别式△=b2-4ac,判断根的情况： =-b±vB2-4ac 若△≥0，将a、b、c代入求根公式 2a 求出方程的根：若△<0，直接写出 “方程无实数根”； 写出最终答案。 例如：解方程2x2-7x十3=0→a=2,b=-7,c=3→4=49-24=25>0→x=4(7 5)→x1=3,x2=0.5。注意：代入公式时b的值要连同符号代入（如b=-7代入后为一(-7） =7)。 9.(26-27九年级上四川达州开学考试)解方程： (y+3)1-3y)=1+2y2 10.(26-27九年级上陕西西安·开学考试)用公式法解下列方程： )3r+5x+2=0 (2)2.x2-5x+1=0 11.(26-27九年级上北京开学考试)解方程：x2-4x-6=0. 12.(26-27九年级上北京东城开学考试)解方程：2x2-10x=3 知识点04：公式法解一元二次方程的注意事项 5/9 必须先化为一般形式，再确定a,b,c,注意符号（如x2-3x十2=0中b=一3，c=2): -1±V5 若△=b-4ac不是完全平方数，结果保留根号形式，如x=2: 当b为负数时，一b为正，不能写成b: 分母2a包含a,不能遗漏： 公式法只要求△≥0时有实数解，无需额外讨论。 13.(25-26九年级上甘肃酒泉期中)解方程： 0r+3x+1=0 2r-2x-1=0 6)3x(x-1)=x-1 14.(26-27九年级上四川达州开学考试)解方程：2x2-8x+3=0. 15.(26-27九年级上陕西西安开学考试)解方程：x2-2x-1=0 16.(2026江苏无锡中考真题)解方程：x2-3x+1=0: 知识点05：公式法适用于所有-元二次方程 公式法的前提是方程已化为一般形式且a≠0，只要b-4c≥0，公式法总能求出实数解： 当△=b2-4ac<0时，方程在实数范围内无解。 与配方法、因式分解法相比，公式法不需要特殊的因式分解技巧，也不受方程结构限制， 是一种通用解法。 但计算量较大，实际解题时可优先观察是否有更简便的方法（如因式分解），再决定是否 使用公式法。 17.(25-26八年级下陕西咸阳期末)解方程：3x2=4-2x. 18.(25-26九年级下山东烟台期末)解方程：-3x=1-x2 6/9 19.(25-26八年级下·山西大同期末)计算：解方程：x2-8x+1=0. 20.(25-26九年级下山东烟台期末)解方程： 0)x-16=2(x+4) 20.4r2-0.8x-1=0 课时训练 一、选择题 3.(26-27九年级上：河北张家口开学考试)在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了a、b、 3±V9-4×2×(-1) c得到x= 4 ,则她求解的一元二次方程是() A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x+1=0 4.(2026贵州黔南一模)下列一元二次方程的两个根互为相反数的是() A.x2-9=0 B.x-1)2=4 C.x(x-2)=0 D.x2-6x+9=0 5.(25-26八年级下·安徽六安期中)我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b=a2-3ab,如 3*5=32-3×3x5=9-45=-36,若x+2列★x=1 ,则的值为() 7/9 A,-1或2 B.-1+万或-1-√7 -1+7-1-V万 1+71-7 C.2或2 D.2或2 6.(25-26八年级下·安徽准北期末)如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AB=2,BC=4,点E在 AD边上，连接EO并延长交BC于F,若EF=CF,且EF与CD不平行，则DE的长为() A B 2 A. B.√5 C.3 D.1 二、填空题 8.(2026山东威海模拟预测)已知 =2y+5.少=2x+5,则+y+ 9.(25-26九年级下·浙江温州期中)方程x2-2x-1=0的正根介于正整数m与m+1之间，则m= 10,(2026:山东菏泽二模)已知+x=2+V2 则= 11.(2026河南郑州模拟预测)在口ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,BC=6,P是BC上的动点，当 △APD是等腰三角形时，PC的长为 三、解答题 9.(25-26九年级下·内蒙古开学考试)按要求解方程： ①3(x-2-27=0 (用直接开平方法) 2)r-6r-4=0 ；(用配方法) 6)r-3x-1=0 (用公式法) 8/9 5x(x-3)+2(x-3)=0 (4) ；(用因式分解法) 10.(25-26八年级下浙江金华期末)我们把形如a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0，b≠0且c≠0 )的多项式叫做关于x的二次三项式.通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程.反过来，也 可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解.例如：一元二次方程 2+10x+12=0的两个根为=-2,5=-3，则=次三项式2+10x+12因式分解的结哭是 2(x+2)(x+3) (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元=次方程2+x+6=0〈a≠0：且公-4c≥0)的两个实数根为5=+。】 2a =b-1b2-4ac 2a 则o-x-)=ax -b+b2-4ac (x- 2a -)=ax2+bx+c 即r+br+c=a(x-xx-x) ②己知关于x的一元二次方程+mr+m=0(m,”是常数)的两个实数根为 =-32=4 ,则二 次三项式x+mx+n因式分解的结果是_ 3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式3x2-8x-4进行因式分解. 919