1.2 课时3 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版数学九年级上册同步练，聚焦“配方法解二次项系数不为1的一元二次方程”，以“步骤拆解-技能强化-综合应用”分层设计，通过梯度训练培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|配方步骤、化1操作|选择/填空题（如第1-4题）强化步骤理解，培养抽象能力| |技能强化|完整解方程、易错规避|解答题（如第5-16题）训练完整流程，提升运算能力| |综合应用|代数式求值、跨知识点|综合题（如第17-20题及课时训练）结合最值问题，发展模型意识|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．2 一元二次方程的解法 课时3 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） ▌课时目标 1. 掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方步骤，能正确进行两边同除以二次项系数、移项、加平方项等操作，将方程化为(x＋m)2＝n的形式。 2. 能熟练运用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程，注意运算过程中的符号和分数计算，规避常见错误。 3. 理解配方法在代数式求值（如求最值）中的应用，体会配方法的工具性，提升运算变形能力。 ▌课时目录 知识点01：二次项系数不为1时的配方步骤 知识点02：两边同除以二次项系数的操作 知识点03：系数不为1时配方的易错点 知识点04：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识点05：配方法在代数式求值中的应用 ▌知识点01：二次项系数不为1时的配方步骤 二次项系数不为1时，配方前的“化1”操作是关键。 技巧要点： 1. 方程两边必须同时除以二次项系数，不能只对部分项操作； 2. 化1后，新的一次项系数为原一次项系数除以a，新的常数项为原常数项除以a； 3. 配方时添加的是“新一次项系数一半的平方”，即。 为避免分数运算，也可采用“整体配方”策略：先提取二次项系数，如2x²＋8x－10＝2(x²＋4x－5)，对括号内配方得2[(x＋2)²－9]＝2(x＋2)²－18，令其等于0求解。 这种方法在处理代数式配方时尤为便捷。 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数的定义和配方法解一元二次方程，解题的关键在于根据题意列出方程并利用配方法求解． 根据相反数的定义： 互为相反数的两数之和为可列方程，再用配方法解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 即， 移项，得， 两边同除以，得， 配方，得 ， 解得． 故答案为：或 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． ▌知识点02：两边同除以二次项系数的操作 当a≠1且a≠0时，必须将方程两边每一项都除以a，包括常数项。 例如：2x2＋8x－10＝0，两边同除以2，得x2＋4x－5＝0。 注意：不能只对部分项除以a，必须保证等式性质成立。 除以a后，二次项系数化为1，后续步骤与课时2（系数为1）完全相同。 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 则或 解得，． 7．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程：； 【答案】 【详解】解：移项、化简，得：， 因式分解，得， 则有， 解得． ▌知识点03：系数不为1时配方的易错点 常见错误类型： 1. 化1不彻底：只对二次项除以a，未对一次项和常数项同时除以a。如解方程2x²＋6x－8＝0时，错误地化为x²＋6x－8＝0（常数项未除以2）。 2. 配方常数错误：添加的不是“一次项系数一半的平方”。如x²＋6x＝7，错误地添加6²＝36而非(×6)²＝9。 3. 等式两边失衡：只在左边加配方常数，右边未同步添加。如x²＋4x＝5，左边加4得(x＋2)²，但右边仍写5。 忽略符号：一次项系数为负时，配方常数仍为正，但完全平方式中的符号不变。如x²－6x＝7，配方得(x－3)²＝16，而非(x＋3)²＝16。 9．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段检测）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则___． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 11．（25-26九年级上·广东韶关·期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】 B ③ 正确的解析过程如下： ， 移项得，， 等式两边同时除以2得，， 配方得，， 即， ∴或， ∴． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法是关键，运用配方法求解即可． 【详解】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以6得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （4）解：， 变为一般形式得：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解． ▌知识点04：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 完整流程： 1. 化为一般形式； 2. 两边同除以a； 3. 移项； 4. 配方； 5. 开平方求解。 例如：解3x2－6x－9＝0。两边同除以3得x2－2x－3＝0；移项得x2－2x＝3；配方得x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4；开平方得x－1＝±2；解得x1＝3, x2＝－1。 13．（25-26九年级上·陕西安康·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ． 14．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解： ，． 15．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程： 【答案】， 【详解】解： 或 ∴，； 16．（25-26九年级上·北京·阶段检测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． ▌知识点05：配方法在代数式求值中的应用 配方法可将二次三项式ax²＋bx＋c化为a(x＋m)²＋n的形式，从而解决代数式求值问题。 例如：已知x²－4x＋y²＋6y＋13＝0，求x、y的值。解：对原式配方得(x－2)²＋(y＋3)²＝0，由非负数性质知x－2＝0且y＋3＝0，故x＝2，y＝－3。 又如：求代数式x²－6x＋10的最小值。解：配方得(x－3)²＋1，∵(x－3)²≥0，∴当x＝3时，代数式取得最小值1。 这类问题体现了配方法在“降次”之外的另一重要用途——利用完全平方式的非负性求最值或确定参数。 17．（25-26八年级下·山东威海·期末）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 18．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 19．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 20．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·山西朔州·期中）下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（    ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．按照配方法的步骤逐步分析即可． 【详解】解：第③步出现错误，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用配方法解方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故选：D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）用配方法解下列方程时，变形不正确的是（　　） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 【分析】本题考查了配方解一元二次方程．根据配方的要求“方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方”，再逐一判断即可． 【详解】解：A、化为，正确，本选项不符合题意； B、化为，正确，本选项不符合题意； C、化为，正确，本选项不符合题意； D、应该化为，本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 7．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 8．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 三、解答题 9．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程：． 【答案】 【详解】解： 解得． 10．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 课时3配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 课时目标 掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方步骤，能正确进行两边同除以二次项系 数、移项、加平方项等操作，将方程化为(x十m)=n的形式。 2. 能熟练运用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程，注意运算过程中的符号和 分数计算，规避常见错误。 3. 理解配方法在代数式求值（如求最值）中的应用，体会配方法的工具性，提升运算变 形能力。 课时目录 知识点01：二次项系数不为1时的配方步骤 知识点02：两边同除以二次项系数的操作 知识点03：系数不为1时配方的易错点 知识点04：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 117 知识点05：配方法在代数式求值中的应用 知识点01：二次顶系数不为1时的配方步骤 二次项系数不为1时，配方前的“化1”操作是关键。 技巧要点： 方程两边必须同时除以二次项系数，不能只对部分项操作： 化1后，新的一次项系数为原一次项系数除以α，新的常数项为原常数项除以： 16 配方时添加的是“新一次项系数一半的平方”，即2a)。 为避免分数运算，也可采用“整体配方”策略：先提取二次项系数，如2x2+8x一10=2(x2 +4x一5)，对括号内配方得2[(x+2)2一9]=2x十2)2-18，令其等于0求解。 这种方法在处理代数式配方时尤为便捷。 1.(2425九年级上辽宁丹东期中)把关于x的一元二次方程2-8x+c=0配方，得x+m=Ⅱ，则 c+m的值为() A.1 B.3 C.5 D.10 2.(25,26八年级下安微合肥期中)用配方法解一元二次方程r++a=0得3x-3=6,则”的值 为 3.(25-26九年级上·全国课后作业)若代数式2x2-5x与-2x+3的值互为相反数，则x的值为 4,（25-26九年级上江苏泰州期中)已知，M=12m-3,N=2m-4m ,则MN.(填 “>”,“<”或“=”) 知识点02：两边同除以二次项系数的操作 当a≠1且a≠0时，必须将方程两边每一项都除以a,包括常数项。 例如：2x2+8x一10=0，两边同除以2，得x2+4x一5=0。 注意：不能只对部分项除以α，必须保证等式性质成立。 除以α后，二次项系数化为1，后续步骤与课时2（系数为1）完全相同。 217 5.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程：2x2-4x-5=0. 6.(25-26八年级下广东广州期末)解方程：2x2-5x+3=0. 7.(25-26八年级下·山东菏泽期末)解方程：2x2-4x+1=0. 8.(26-27九年级上·全国课后作业)解方程：3x2-6x=-3; 知识点03：系数不为1时配方的易错点 常见错误类型： 化1不彻底：只对二次项除以α，未对一次项和常数项同时除以a。如解方程2x2十6r一8= 0时，错误地化为x2+6x一8=0（常数项未除以2）。 配方常数错误：添加的不是“一次项系数一半的平方”。如2+6x=7,错误地添加62=36 而非(2×62=9。 等式两边失衡：只在左边加配方常数，右边未同步添加。如x2+4x=5,左边加4得(x+ 2)?,但右边仍写5。 忽略符号：一次项系数为负时，配方常数仍为正，但完全平方式中的符号不变。如x2一6x =7,配方得(x一3)2=16，而非(x十3)2=16。 9.(24-25八年级下安微毫州阶段检测)用配方法解方程2-6x+1=0时，若将方程化为x+m=”的 形式，则mn=. 10.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解一元二次方程： a①r-2x-2=0 24r+2=6r 11.(25-26九年级上：广东韶关·期末)阅读与思考 小明同学解一元二次方程2x2-8x-18=0的过程如下： 解：移项，得2x2-8x=18① 317 两边同除以2，得x2-4x=9② 配方，得 x2-4x+4=9③ (x-2)2=9 即 ④ .x-2=3或x-2=-3⑤ :方5为=1 ⑥ 小明解方程的方法是 (填字母)A.直接开平方法，B.配方法，C.公式法，D.因式分解 法。 他的求解过程从步骤 (填序号)开始出现错误；请你写出正确的解答过程。 12.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解方程： 03r2-4r-2=0 g6r2-2x-1=0 6)3r-6-3x x-x+2)=-3 知识点04：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 完整流程： 化为一般形式： 两边同除以a: 移项： 配方： 开平方求解。 例如：解3x2-6r一9=0。两边同除以3得x2-2x-3=0:移项得x2-2x=3;配方得x2-2x +1=3十1，即(x-1)2=4:开平方得x-1=±2；解得x1=3,2=-1。 13.(25-26九年级上陕西安康期中)解方程：2x2-4x-9=0. 417 14.(25-26八年级下辽宁大连期末)解方程：2x2-4x-1=0. 15,(2526九年级上四川南充阶段检测)解方程：式+x=2 3x2+1=2√3x 16.(25-26九年级上·北京阶段检测)解方程： 知识点05：配方法在代数式求值中的应用 配方法可将二次三项式a2+bx十c化为ax十m)+n的形式，从而解决代数式求值问题。 例如：已知x2-4x+y2+6y+13=0,求x、y的值。解：对原式配方得(x一2)？+y+3) 0,由非负数性质知x一2=0且y十3=0，故x=2,y=一3。 又如：求代数式x2-6x+10的最小值。解：配方得(x一3P+1,,(一3P≥0，∴.当x=3 时，代数式取得最小值1。 这类问题体现了配方法在“降次”之外的另一重要用途一一利用完全平方式的非负性求最 值或确定参数。 17 (25-26八年级下山东威海期末)将一元二次方程r-x=0配方后变形为(x+=6 则a的值为 () A.-1 B.1 C. 1 D.-2 18.(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)用配方法解一元二次方程x2-2x-5=0时，将它化为 (x+a'=b的形式，则2a+b的值为 19.(25-26八年级下·黑龙江绥化阶段检测)当x=时，二次三项式-2x+4x-5有最大值，最大值 为 W=2x2-4xy+3y2-2y+4x+6 20.(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测)若 (x、y为实数)，则W的 最小值为 课时训练 一、选择题 517 1.(25-26八年级下山东威海期末)一元二次方程2x2-8x+1=0配方后可变形为() A.2(x-2=-7B.2(x-2}=7 c.2(x-4}=7 D.2(x+4)}=-9 2.(2425九年级上山西朔州期中)下列用配方法解方程3x2-x-9=0的步骤中，开始出现错误的是 () 第①步：3x2-x=9, 第2步：2-x=3 3 第③步：2-x+ 31 1 39 9 第④步： A.第①步 B.第②步 C.第③步 D.第④步 3.(2425九年级上山东德州开学考试)用配方法解方程2x2=7x-3,方程可变形为() A（-引- c.〔=名 （君 4.(2024九年级全国·竞赛)用配方法解下列方程时，变形不正确的是() A.x2+2x-1=0化为(x+1)2=2 B.2-7-40化为(--g C.x2-2x-8-0化为(x-I)2=9 0--20-引- 二、填空题 5.(25.26八年级下山东泰安期末)若=5+2，则f代数式-4红+3的值为 617 6.(26-27九年级上·全国课后作业)用配方法解一元二次方程4+x+a=0得2x-3=土v6 则b的值 为 7.(25-26八年级下安徽滁州期末)把关于x的一元二次方程4(x-m+n=0与4(K-m广+m=0称为 “同构二次方程”.比如2x-2-4=0与3(x-2-4=0就是“同构二次方程”，已知两个关于x的 元二次方程2x--1=0与(a+)r+6-2)x-2= 是“同构二次方程”，则a-b= 8. (2026江苏连云港·一模)设，n为实数，且W=2m2+2mn+n2-m-2n+2有最小值，则W的最小 值为一· 三、解答题 9.(26-27九年级上广东深圳开学考试)解方程：4x2+9=12x. 10.(25-26八年级下·黑龙江绥化阶段检测)若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2+b2+c2-6a-8b-8c+41=0 .AABC ,试判断的形状，并说明理由. 7/7