1.1 一元二次方程的概念 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程的概念同步练，以“概念理解-应用转化-综合拓展”分层设计，通过基础辨析、实际建模、参数探究三阶路径巩固知识，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义识别、一般形式、项与系数|选择题辨析方程类型，填空题规范系数表述，强化概念准确性| |提升层|实际问题转化、根的检验|结合矩形面积、比赛场次等情境列方程，通过代入法验证根，发展模型意识| |综合层|参数求解、新定义应用|已知根求参数值并检验二次项系数，设计“倒方程”新定义题，提升创新思维|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．1 一元二次方程的概念 ▌课时目标 1. 能根据“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2”三个条件识别一元二次方程，会把实际或其他形式方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。 2. 明确二次项、一次项、常数项及对应系数，能按一般形式准确写出a,b,c（含符号），理解a≠0是一元二次方程的隐含条件。 3. 理解一元二次方程解（根）的定义，会用代入法检验一个数是否为根；已知根求参数时，能代入方程求解并回代验证不违背概念要求。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程的定义 知识点02：一元二次方程的一般形式（ax²＋bx＋c＝0，a≠0） 知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别与确定 知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 知识点06：将实际问题中的方程化为一般形式 知识点07：一元二次方程的隐含条件（二次项系数a≠0） 知识点08：一元二次方程的解（根）的定义 知识点09：检验一个数是否是一元二次方程的根 知识点10：已知方程的根求参数的值 ▌知识点01：一元二次方程的定义 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 判断时先看作等式左右是否都为整式；再看作含几个未知数；最后看化简后未知数最高次是否为2。 例如：x2－3x＋2＝0、(x＋1)(x－2)＝0化简后都符合；x3－x＝0最高次为3，不是一元二次方程。 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． ▌知识点02：一元二次方程的一般形式（ax²＋bx＋c＝0，a≠0） 任一关于未知数x的一元二次方程，经去分母、去括号、移项、合并同类项后，可化为ax²＋bx＋c＝0的形式，其中a,b,c为常数，且a≠0。 此形式称为一元一次方程的一般形式在一元二次方程中的对应标准，按未知数降幂排列，右边为0。 写一般形式时，先整理成“二次项＋一次项＋常数项＝0”。 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为___． 7．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为________． 8．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． ▌知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 在ax²＋bx＋c＝0中，ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项。 若某一项不存在，化一般形式后仍可按“0系数”理解，但书写一般只保留实际出现的项；如x2＝0可视作二次项x2、一次项系数0、常数项0。 项名不含“系数”二字，系数另列。 9．（25-26九年级上·山西朔州·期中）把一元二次方程化为一般形式，则的值分别是（   ） A．2，6，1 B． C． D． 10．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（    ） A．2，3 B．，3 C．2， D．， 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程的一次项系数是_____． ▌知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别与确定 一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 识别前必须先化为一般形式，再按项读系数，系数带前面符号。 例如3x2－8x－10＝0，则a＝3,b＝－8,c＝－10； x2＝5x化为x2－5x＝0，则a＝1,b＝－5,c＝0。 若原式未化一般形式，不能直接取表面数字作系数。 13．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．1 B． C．2 D． 15．（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在一元二次方程中，当二次项系数为1时，一次项系数是___________ ▌知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 按四步判断： 1. 原式两边是否整式（分母含未知数则不是）； 2. 化简后是否只含一个未知数； 3. 未知数最高次是否2； 4. 化为ax²＋bx＋c＝0后二次项系数是否可能为0。 常见非一元二次方程：分式方程如，二元方程如x2＋xy－1＝0，三次方程如x3－x＝0，以及化简后退化成一次的如(k2－1)x2＋(k－1)x＝0当k＝±1需分别讨论。 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 19．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌知识点06：将实际问题中的方程化为一般形式 实际问题中先设未知数，找等量关系列方程，再通过展开、移项、合并化为一般形式。 例如矩形面积：宽xm、长x＋2m，面积120，列x(x＋2)＝120，展开x2＋2x＝120，移项x2＋2x－120＝0。 比赛问题：n队单循环，总场m，列，去分母n(n－1)＝2m，展开n2－n－2m＝0。 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 23．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． ▌知识点07：一元二次方程的隐含条件（二次项系数a≠0） 一般形式ax²＋bx＋c＝0中必须a≠0；若a＝0，式子退为bx＋c＝0，是一元一次或常数式，不再是一元二次。 含参数时先按“最高次项系数不为0”列条件：如(m－2)x2＋3x－1＝0为一元二次方程，则m－2≠0，即m≠2。 若题目问“可能为一次”，再另看a＝0且b≠0的情况。 25．（2026·河南许昌·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 26．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 27．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 28．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是______． ▌知识点08：一元二次方程的解（根）的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，也叫做根。 只含一个未知数时解与根通用。一个一元二次方程可有0个、1个或2个实数根。 例如x＝2代入x2－5x＋6＝0：左边4－10＋6＝0，成立，则x＝2是根。 29．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 30．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 32．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． ▌知识点09：检验一个数是否是一元二次方程的根 用代入检验法： 1. 把待检数代替未知数； 2. 分别计算方程左边与右边（一般形式右边为0，算左边即可）； 3. 比较是否相等。若左边＝右边，是根；否则不是。 多个待检数逐个代入。注意原式若未化一般形式，可先化一般形式再代，避免展开错误影响判断。 33．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 34．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 35．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 36．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． ▌知识点10：已知方程的根求参数的值 把已知根代入一般形式ax²＋bx＋c＝0，得到关于参数的方程，解出参数后必须检查不破坏a≠0。 例如已知x＝－1是2x2＋ax－3＝0的根，代入2－a－3＝0，得a＝－1；回代方程为2x2－x－3＝0，二次项系数2≠0，符合。 若含参数在二次项且代入后求出使a＝0的值，应剔除该值，不算一元二次方程的根情形。 37．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 39．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 40．（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 3．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 7．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 8．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 三、解答题 9．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．1 一元二次方程的概念 ▌课时目标 1. 能根据“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2”三个条件识别一元二次方程，会把实际或其他形式方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。 2. 明确二次项、一次项、常数项及对应系数，能按一般形式准确写出a,b,c（含符号），理解a≠0是一元二次方程的隐含条件。 3. 理解一元二次方程解（根）的定义，会用代入法检验一个数是否为根；已知根求参数时，能代入方程求解并回代验证不违背概念要求。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程的定义 知识点02：一元二次方程的一般形式（ax²＋bx＋c＝0，a≠0） 知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别与确定 知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 知识点06：将实际问题中的方程化为一般形式 知识点07：一元二次方程的隐含条件（二次项系数a≠0） 知识点08：一元二次方程的解（根）的定义 知识点09：检验一个数是否是一元二次方程的根 知识点10：已知方程的根求参数的值 ▌知识点01：一元二次方程的定义 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 判断时先看作等式左右是否都为整式；再看作含几个未知数；最后看化简后未知数最高次是否为2。 例如：x2－3x＋2＝0、(x＋1)(x－2)＝0化简后都符合；x3－x＝0最高次为3，不是一元二次方程。 1．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项A不符合题意； 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义， 选项B符合题意； 中是分式，该方程不是整式方程， 选项C不符合题意； 含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项D不符合题意． ▌知识点02：一元二次方程的一般形式（ax²＋bx＋c＝0，a≠0） 任一关于未知数x的一元二次方程，经去分母、去括号、移项、合并同类项后，可化为ax²＋bx＋c＝0的形式，其中a,b,c为常数，且a≠0。 此形式称为一元一次方程的一般形式在一元二次方程中的对应标准，按未知数降幂排列，右边为0。 写一般形式时，先整理成“二次项＋一次项＋常数项＝0”。 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为___． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． ▌知识点03：二次项、一次项、常数项的名称 在ax²＋bx＋c＝0中，ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项。 若某一项不存在，化一般形式后仍可按“0系数”理解，但书写一般只保留实际出现的项；如x2＝0可视作二次项x2、一次项系数0、常数项0。 项名不含“系数”二字，系数另列。 9．（25-26九年级上·山西朔州·期中）把一元二次方程化为一般形式，则的值分别是（   ） A．2，6，1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程化为一般形式，通过展开和移项确定系数． 【详解】解：， ， ， ， 故，，． 故选：C． 10．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（    ） A．2，3 B．，3 C．2， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，直接根据一元二次方程的一般式，找出一次项系数及常数项，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程，且二次项系数为1， ∴一次项系数为，常数项为， 故选：B 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，其中一次项系数是，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． ▌知识点04：二次项系数、一次项系数、常数项的识别与确定 一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 识别前必须先化为一般形式，再按项读系数，系数带前面符号。 例如3x2－8x－10＝0，则a＝3,b＝－8,c＝－10； x2＝5x化为x2－5x＝0，则a＝1,b＝－5,c＝0。 若原式未化一般形式，不能直接取表面数字作系数。 13．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点． 根据一元二次方程的一般式及变形即可求解． 【详解】∵一元二次方程二次项系数是3，一次项系数是，常数项是， ∴方程为：， 通过变形可得：，，， ∴只有D选项符合题意； 故选：D． 14．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为二次项系数为2的一般式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，把化为二次项的系数是2的一般式为； 故一次项的系数为； 故选B． 15．（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 16．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在一元二次方程中，当二次项系数为1时，一次项系数是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式， 先将一元二次方程化为一般形式，再根据一次项系数定义解答即可. 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 可知二次项系数为1，一次项系数为. 故答案为：. ▌知识点05：判断一个方程是否为一元二次方程 按四步判断： 1. 原式两边是否整式（分母含未知数则不是）； 2. 化简后是否只含一个未知数； 3. 未知数最高次是否2； 4. 化为ax²＋bx＋c＝0后二次项系数是否可能为0。 常见非一元二次方程：分式方程如，二元方程如x2＋xy－1＝0，三次方程如x3－x＝0，以及化简后退化成一次的如(k2－1)x2＋(k－1)x＝0当k＝±1需分别讨论。 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 18．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可； 【详解】解： ∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，②只含一个未知数，③未知数的最高次数为2. 选项A． 满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项B． 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C． 未知数最高次数为3，不符合要求； 选项D． 中 是分式，该方程不是整式方程，不符合要求； 19．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 20．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． ▌知识点06：将实际问题中的方程化为一般形式 实际问题中先设未知数，找等量关系列方程，再通过展开、移项、合并化为一般形式。 例如矩形面积：宽xm、长x＋2m，面积120，列x(x＋2)＝120，展开x2＋2x＝120，移项x2＋2x－120＝0。 比赛问题：n队单循环，总场m，列，去分母n(n－1)＝2m，展开n2－n－2m＝0。 21．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 【详解】解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 22．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 23．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为______．（化为一般形式） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可直接列出方程即可． 【详解】解：由题意可得方程为，化为一般形式为； 故答案为． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 【答案】 【分析】（1）设正方形的边长为x，根据“所得的矩形的面积是原来正方形的2倍”，列出方程，即可； （2）设较长一段的长为x，根据“较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，”列出方程，即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为x，根据题意得： ， 整理得：； （2）设较长一段的长为x，根据题意得： ， 整理得：． ▌知识点07：一元二次方程的隐含条件（二次项系数a≠0） 一般形式ax²＋bx＋c＝0中必须a≠0；若a＝0，式子退为bx＋c＝0，是一元一次或常数式，不再是一元二次。 含参数时先按“最高次项系数不为0”列条件：如(m－2)x2＋3x－1＝0为一元二次方程，则m－2≠0，即m≠2。 若题目问“可能为一次”，再另看a＝0且b≠0的情况。 25．（2026·河南许昌·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 26．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 27．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 28．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，由此确定且，求解m的值. 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得或， 同时，二次项系数，即， ∴. 故答案为：. ▌知识点08：一元二次方程的解（根）的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，也叫做根。 只含一个未知数时解与根通用。一个一元二次方程可有0个、1个或2个实数根。 例如x＝2代入x2－5x＋6＝0：左边4－10＋6＝0，成立，则x＝2是根。 29．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 30．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 31．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 32．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． ▌知识点09：检验一个数是否是一元二次方程的根 用代入检验法： 1. 把待检数代替未知数； 2. 分别计算方程左边与右边（一般形式右边为0，算左边即可）； 3. 比较是否相等。若左边＝右边，是根；否则不是。 多个待检数逐个代入。注意原式若未化一般形式，可先化一般形式再代，避免展开错误影响判断。 33．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 34．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 35．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 36．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． ▌知识点10：已知方程的根求参数的值 把已知根代入一般形式ax²＋bx＋c＝0，得到关于参数的方程，解出参数后必须检查不破坏a≠0。 例如已知x＝－1是2x2＋ax－3＝0的根，代入2－a－3＝0，得a＝－1；回代方程为2x2－x－3＝0，二次项系数2≠0，符合。 若含参数在二次项且代入后求出使a＝0的值，应剔除该值，不算一元二次方程的根情形。 37．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 38．（25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 39．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 满足一元二次方程， 将代入方程得， 整理得， 移项得． 7．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【分析】将代入已知一元二次方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】是一元二次方程的一个解， 将代入方程得 ， 整理得 ， ． 故答案为． 三、解答题 9．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． / 学科网（北京）股份有限公司 $