1.4 用一元二次方程解决实际问题 课时2 销售问题和图表问题 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册苏科版“用一元二次方程解决问题（销售与图表问题）”同步练，以“基础模型—关系转化—综合应用—实际检验”分层设计，构建从单一知识到问题解决的巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础模型|利润问题核心公式、量价线性关系|选择/填空题（如售价与销量关系），强化公式直接应用| |方程构建|销售问题二次方程建模、图表信息提取|解答题（如利润目标方程建立），训练等量关系转化| |综合检验|根的实际意义、取值范围判断|情境题（如薄利多销调价方案），提升数学思维与应用意识|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．4 用一元二次方程解决问题 课时2 销售问题和图表问题 ▌课时目标 1. 掌握销售问题的基本数量关系，能用单件利润、销售量、总利润建立一元二次方程，正确表示涨价或降价后的利润与销量。 2. 能从表格、示意图、折线图、面积图中提取已知量和等量关系，把图表信息转化为一元二次模型并列出方程。 3. 能按审、设、列、解、验、答完成销售与图表类问题，结合进价、销量非负、表格区间、图形标注等实际条件对根进行检验取舍。 ▌课时目录 知识点01：利润问题基本模型 知识点02：单件利润与售价的线性关系 知识点03：销售量与售价的线性关系 知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次方程 知识点05：图表问题——从表格中提取等量关系列方程 知识点06：图表问题——从图形（如面积图、折线图）中提取信息列方程 知识点07：销售问题中的取值范围 ▌知识点01：利润问题基本模型 销售问题核心等量关系：单件利润＝售价－进价；总利润＝单件利润×销售量。 若涉及多批次或多种商品，可分别列各批利润再求和。 旅游、团体收费可用：总费用＝人均费用×人数。 列题前先分清进价、原价、现价、涨价额、降价额，避免把“售价”直接当“利润”。 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 3．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 4．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出_个A种商品，若售价下降元（），每月能售出_个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． ▌知识点02：单件利润与售价的线性关系 设原售价为p，进价为c，若涨价x元，则新售价为p＋x，新单件利润为p＋x－c；若降价x元，则新售价为p－x，新单件利润为p－x－c。单件利润随售价按一次式变化。 例：进价50元、原售价70元，降价x元后单件利润为70－x－50＝20－x元；要求单件利润不为负，则x≤20。 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）某童装店销售一款童鞋，成本价为每双30元，根据调查发现，若该款童鞋的售价为50元/双时，平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双，设这种童鞋每双的售价降低x元，该童鞋每天销售量为y双． (1)写出y与x之间的关系式． (2)为尽可能让利于顾客，同时保证该童装店每天获得2240元利润，售价应为每双多少元？ 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）国潮风尚成为行业共识，文创产品类型日益多样化，线上线下融合发展成为趋势．某博物馆推出一款成本为10元/件的国风冰箱贴，在线上销售一段时间后发现，该款冰箱贴每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系式：．若该博物馆每天销售这款冰箱贴的利润为192元，则这款冰箱贴的销售单价为多少元/件？ 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营业时发现∶当销售单价为25元时，每天销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件． (1)设销售单价x元，销售量y件，请列出销售量y件与销售单价x元的关系式． (2)若商场要尽快减少库存且每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． ▌知识点03：销售量与售价的线性关系 题目常给“每涨价1元少售m件”或“每降价1元多售n件”。 若原销量为q，涨价x元，则新销量为q－mx；降价x元，则新销量为q＋nx。 若给“每涨价a元少售b件”，先折算每1元变化量件。 例：原每天售20件，每降价1元多售2件，降价x元后销量为20＋2x件。 9．（25-26八年级下·云南临沧·期末）某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 10．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 12．（25-26八年级下·陕西西安·期末）陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． ▌知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次方程 以总利润为目标，列“新单件利润×新销量＝目标总利润”。 降价模型：(原单件利润－x)(原销量＋每降1元增量×x)＝目标利润。 涨价模型：(原单件利润＋x)(原销量－每涨1元减量×x)＝目标利润。 例：原单件盈利40元、每天20件，每降1元多售2件，目标每天1200元， 设降x元，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理为x2－30x＋200＝0。 若直接设新售价为s，且销量与售价满足一次式q＝ks＋t，则列(s－c)q＝目标利润，整理后仍为一元二次方程。 13．（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 16．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ ▌知识点05：图表问题——从表格中提取等量关系列方程 先读表头与行列：找出原价、销量、单件利润或不同变化量对应的数值；再找“每变1元销量变几件”的规律。 常用列表填“变化前—变化后”三栏：单件利润、销量、总利润。 例：表格给出降价1元时单件利润39、销量22，降价2元时单件利润38、销量24，可判断每降1元多2件；若目标总利润1200元，设降x元，按表列(40－x)(20＋2x)＝1200。 团体收费表若给出“不超30人人均800，超30人每多1人人均降10但不低于500”，设人数x＞30，则人均800－10(x－30)、总费用[800－10(x－30)]x＝28000，再按人均下限检验。 17．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 18．（25-26九年级上·山西晋城·期末）浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量千克 600 450 300 150 0 (1)根据表中的数据，求与的函数表达式． (2)该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 19．（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 (1)因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______． (2)求销售利润随的函数表达式； (3)这14天中日销售利润不低于930元的有______天． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． ▌知识06：图表问题——从图形（如面积图、折线图）中提取信息列方程 读图步骤： 1. 看横坐标、纵坐标名称与单位； 2. 取关键点数值，如折线图某售价对应某销量、面积图某区间对应总金额； 3. 把图形中的对应关系转成代数式。 (1) 若折线图表示“售价—销量”近似一次关系，取两点求销量关于售价的一次式，再代入总利润＝（售价－进价）×销量。 (2) 若条形/面积图给出各档金额合计，按分档列“各档单价×对应数量”求和等于总数。 例：折线图显示售价60元时销量200件、售价70元时销量100件，可得每涨1元少10件；进价40元，目标利润8000元，设涨x元，列(60＋x－40)(200－10x)＝8000。 只取图中数据列一元二次方程，不补充图形未给的趋势或函数最值分析。 21．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（_）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_，解得原方程的一个正根为_； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 24．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ ▌知识点07：销售问题中的取值范围 解方程后检验售价≥进价且通常＞0；销量表达式结果≥0，实际人数、件数可按正整数取舍；若题目给最高售价、最低人均费、库存或“薄利多销”等条件，只保留满足限制的根。 例如求得两个售价70、90且要求薄利多销，取销量更大的较低售价70。 25．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 26．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）某商店为支持第三届“逐梦天姥”越野挑战赛，以每套300元的进价购进一批护膝．已知3月份每套护膝售价为440元时，售出了60套．4月份该商店决定降价支持越野赛，经调查发现，该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套． (1)当每套护膝售价定为420元时，能售出多少套？ (2)当每套护膝售价多少元时，4月份售卖护膝可获利6800元？ 27．（25-26八年级下·福建漳州·期末）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 28．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为70元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元．（即当降价到40元后，再多购买也不会降价了．） 问题解决 (1)任务1：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为________元（用含的代数式表示）； (2)任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东云浮·一模）已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川广元·期中）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹备组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台， 并设计了如图所示的方案， 其中阴影部分为舞台． 舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 （    ）． A．5 B．20 C．20 或 15 D．15 二、填空题 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为________． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期末）将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是__________． 7．（2026·上海金山·二模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 三、解答题 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 10．（25-26九年级上·广东清远·期中）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．4 用一元二次方程解决问题 课时2 销售问题和图表问题 ▌课时目标 1. 掌握销售问题的基本数量关系，能用单件利润、销售量、总利润建立一元二次方程，正确表示涨价或降价后的利润与销量。 2. 能从表格、示意图、折线图、面积图中提取已知量和等量关系，把图表信息转化为一元二次模型并列出方程。 3. 能按审、设、列、解、验、答完成销售与图表类问题，结合进价、销量非负、表格区间、图形标注等实际条件对根进行检验取舍。 ▌课时目录 知识点01：利润问题基本模型 知识点02：单件利润与售价的线性关系 知识点03：销售量与售价的线性关系 知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次方程 知识点05：图表问题——从表格中提取等量关系列方程 知识点06：图表问题——从图形（如面积图、折线图）中提取信息列方程 知识点07：销售问题中的取值范围 ▌知识点01：利润问题基本模型 销售问题核心等量关系：单件利润＝售价－进价；总利润＝单件利润×销售量。 若涉及多批次或多种商品，可分别列各批利润再求和。 旅游、团体收费可用：总费用＝人均费用×人数。 列题前先分清进价、原价、现价、涨价额、降价额，避免把“售价”直接当“利润”。 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】(1)460个 (2)售价应提高10元 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 3．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 4．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出_个A种商品，若售价下降元（），每月能售出_个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 ▌知识点02：单件利润与售价的线性关系 设原售价为p，进价为c，若涨价x元，则新售价为p＋x，新单件利润为p＋x－c；若降价x元，则新售价为p－x，新单件利润为p－x－c。单件利润随售价按一次式变化。 例：进价50元、原售价70元，降价x元后单件利润为70－x－50＝20－x元；要求单件利润不为负，则x≤20。 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）某童装店销售一款童鞋，成本价为每双30元，根据调查发现，若该款童鞋的售价为50元/双时，平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双，设这种童鞋每双的售价降低x元，该童鞋每天销售量为y双． (1)写出y与x之间的关系式． (2)为尽可能让利于顾客，同时保证该童装店每天获得2240元利润，售价应为每双多少元？ 【答案】(1) (2)44元 【分析】本题考查了求一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据“平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双” 写出y与x之间的关系式即可； （2）根据每双利润乘以销售量等于总利润列方程求解，进而根据“让利于顾客”作答即可． 【详解】（1）解：∵平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双， ∴这种童鞋每双的售价降低x元，平均每天可以多售出双， 即； （2）解：由题意得： 解得：，   ∵尽可能让利于顾客        （元） 答：售价为每双44元． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）国潮风尚成为行业共识，文创产品类型日益多样化，线上线下融合发展成为趋势．某博物馆推出一款成本为10元/件的国风冰箱贴，在线上销售一段时间后发现，该款冰箱贴每天的销售数量y（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系式：．若该博物馆每天销售这款冰箱贴的利润为192元，则这款冰箱贴的销售单价为多少元/件？ 【答案】18元/件或22元/件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．根据该博物馆每天销售这款冰箱贴的利润为192元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：这款冰箱贴的销售单价为元/件，则每件可获利元， 由题意得：， 整理得：， 解得． 答：这款冰箱贴的销售单价为18元/件或22元/件． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营业时发现∶当销售单价为25元时，每天销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件． (1)设销售单价x元，销售量y件，请列出销售量y件与销售单价x元的关系式． (2)若商场要尽快减少库存且每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)30 【分析】本题主要考查了列关系式，列一元二次方程解决销售问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系． （1）根据题意列出关系式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：根据题意得， 解得， 为尽快减少库存，所以取， 所以，销售单价应定为30元． 8．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． ▌知识点03：销售量与售价的线性关系 题目常给“每涨价1元少售m件”或“每降价1元多售n件”。 若原销量为q，涨价x元，则新销量为q－mx；降价x元，则新销量为q＋nx。 若给“每涨价a元少售b件”，先折算每1元变化量件。 例：原每天售20件，每降价1元多售2件，降价x元后销量为20＋2x件。 9．（25-26八年级下·云南临沧·期末）某商店销售一种商品，每件进价40元．当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件．设售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)若日利润为1800元，求售价x的值． 【答案】(1)（，且x为整数） (2) 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件，售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答； （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，通过解一元二次方程即可作答． 【详解】（1）解：， ∵日销量不能为负数，即， ∴， ∴y与x的函数关系式为（，且x为整数）． （2）解：∵单件利润为元，销售量为件， ∴ 整理得：， ， 解得， ∵， ∴． 10．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 12．（25-26八年级下·陕西西安·期末）陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． 【答案】(1) (2)50箱 【分析】（1）根据销售量随降价的变化关系，直接写出一次函数表达式，结合题干给出的降价限制确定自变量的取值范围； （2）利用“总利润每箱利润销售量”列一元二次方程求解，结合x的取值范围舍去不符合题意的解，再代入函数关系式求出最终的销售量即可． 【详解】（1）解：由题意可得，原本每天售出20箱，每箱降价x元后，每天可多售出箱， 因此， ∵每箱降价不超过15元， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）解：由题意，总利润为1200元，降价后每箱盈利为 元，每天销售量为y， 因此列方程得， 展开整理得 ， 解得 ，， ∵， ∴不符合要求，舍去， 将 代入，得， 答：这天该甜瓜的销量为50箱． ▌知识点04：建立利润关于涨价/降价的二次方程 以总利润为目标，列“新单件利润×新销量＝目标总利润”。 降价模型：(原单件利润－x)(原销量＋每降1元增量×x)＝目标利润。 涨价模型：(原单件利润＋x)(原销量－每涨1元减量×x)＝目标利润。 例：原单件盈利40元、每天20件，每降1元多售2件，目标每天1200元， 设降x元，得(40－x)(20＋2x)＝1200，整理为x2－30x＋200＝0。 若直接设新售价为s，且销量与售价满足一次式q＝ks＋t，则列(s－c)q＝目标利润，整理后仍为一元二次方程。 13．（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 16．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． ▌知识点05：图表问题——从表格中提取等量关系列方程 先读表头与行列：找出原价、销量、单件利润或不同变化量对应的数值；再找“每变1元销量变几件”的规律。 常用列表填“变化前—变化后”三栏：单件利润、销量、总利润。 例：表格给出降价1元时单件利润39、销量22，降价2元时单件利润38、销量24，可判断每降1元多2件；若目标总利润1200元，设降x元，按表列(40－x)(20＋2x)＝1200。 团体收费表若给出“不超30人人均800，超30人每多1人人均降10但不低于500”，设人数x＞30，则人均800－10(x－30)、总费用[800－10(x－30)]x＝28000，再按人均下限检验。 17．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 18．（25-26九年级上·山西晋城·期末）浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量千克 600 450 300 150 0 (1)根据表中的数据，求与的函数表达式． (2)该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 【答案】(1) (2)30元/千克 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用、一元二次方程的实际应用，理解题目表格中的数据之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据利润单件利润销售量得到，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为． 将，代入， 得，解得， 与的函数表达式为； （2）解：由题意，得， 即， 整理得， 即， 解得． 答：这批浑源黄芪的销售价格定为30元/千克，才能使日销售利润恰好为3000元． 19．（2026·江苏无锡·模拟预测）无锡市阳山镇坚持高质量发展，以昂扬的水蜜桃售卖姿态领跑无锡的经济发展，下表是关于14天的销售旺季内的销售情况表．已知水蜜桃进价为元/千克． 时间/天 售价/（元/千克） 第一次降价后的价格 第二次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 (1)因销售情况远超预期，两次对原价20元/千克的水蜜桃进行降价，最后降为元/千克．且每次降价的百分率相同，均为_______． (2)求销售利润随的函数表达式； (3)这14天中日销售利润不低于930元的有______天． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）设每次降价的百分率为a，根据题意可列出关于a的一元二次方程，解出a的值即得出答案； （2）根据利润（标价进价）销量储存和损耗费，即可得(元)，进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可； （3）依题意可列出关于的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图像法解一元二次不等式，分别求出的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即每次降价的百分率为； （2）解：结合（1）得，第一次降价后的价格为（元）， 当时， ， 当时， ， 综上可知：， （3）解：当时，， 解得：， 此时为天利润不低于元， 当时，， 解得， ，， ， 此时第到天利润不低于元， （天）， 综上所述，共有天利润不低于元． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)该零件的实际售价应定为50元 (3)不能，理由如下： 设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）解：设该零件的实际售价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）略 ▌知识06：图表问题——从图形（如面积图、折线图）中提取信息列方程 读图步骤： 1. 看横坐标、纵坐标名称与单位； 2. 取关键点数值，如折线图某售价对应某销量、面积图某区间对应总金额； 3. 把图形中的对应关系转成代数式。 (1) 若折线图表示“售价—销量”近似一次关系，取两点求销量关于售价的一次式，再代入总利润＝（售价－进价）×销量。 (2) 若条形/面积图给出各档金额合计，按分档列“各档单价×对应数量”求和等于总数。 例：折线图显示售价60元时销量200件、售价70元时销量100件，可得每涨1元少10件；进价40元，目标利润8000元，设涨x元，列(60＋x－40)(200－10x)＝8000。 只取图中数据列一元二次方程，不补充图形未给的趋势或函数最值分析。 21．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， ∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1， ∴，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出 与 的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（_）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_，解得原方程的一个正根为_； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根； 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)此方程的正根为1 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，求出的值，求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，（舍去负值）， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 24．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 【答案】(1)10，30； (2)22． 【分析】（1）根据图4作答即可； （2）找出规律，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：图4中矩形框内小黑点个数为10，小黑点总数为30； （2）解：照此规律，图中矩形框内小黑点个数为， 小黑点总数为， 当时， 整理得， 解得（负值舍去）， 当时，， 即矩形框内小黑点个数是22． ▌知识点07：销售问题中的取值范围 解方程后检验售价≥进价且通常＞0；销量表达式结果≥0，实际人数、件数可按正整数取舍；若题目给最高售价、最低人均费、库存或“薄利多销”等条件，只保留满足限制的根。 例如求得两个售价70、90且要求薄利多销，取销量更大的较低售价70。 25．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 26．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）某商店为支持第三届“逐梦天姥”越野挑战赛，以每套300元的进价购进一批护膝．已知3月份每套护膝售价为440元时，售出了60套．4月份该商店决定降价支持越野赛，经调查发现，该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套． (1)当每套护膝售价定为420元时，能售出多少套？ (2)当每套护膝售价多少元时，4月份售卖护膝可获利6800元？ 【答案】(1)套 (2)每套护膝的售价为400元 【分析】（1）根据该护膝每降价10元，每月销售量就增加2套列式计算即可； （2）设每套护膝降价元，根据4月份售卖护膝可获利6800元列方程求解即可． 【详解】（1）解：每套护膝售价为420元时，售出（套）； （2）解：设每套护膝降价元，则可列方程， 解得（舍去），． ． 答：每套护膝的售价为400元． 27．（25-26八年级下·福建漳州·期末）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 【答案】(1)黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤 (2) 【分析】（1）设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得出第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤． 根据题意，， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤； （2）解：第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤； 石斑鱼的单价变为元/斤，黄翅鱼单价仍为元/斤． 根据题意，， 解得（不合题意，舍去）或． 答：的值为． 28．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共500件，批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为70元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于40元．（即当降价到40元后，再多购买也不会降价了．） 问题解决 (1)任务1：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为________元（用含的代数式表示）； (2)任务2：若学校后勤部补进镇流器和灯管共花13600元，求补进镇流器多少件？ 【答案】(1)； (2)补进镇流器件或件或件 【分析】（1）设镇流器补进x件，根据题意列出代数式即可求解； （2）分情况根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为元， 补进灯管的总价为元． （2）解：①设镇流器补进件， 当时，依题意，， 解得：，， ． ． ②当时，依题意，， 解得：， 当时，镇流器的单价固定为元，， ． 答：补进镇流器件或件或件． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用总利润每件利润销售量的关系，分别确定每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：每件元的商品，售价为每件元， 每件商品的利润为元， 又每天销售量为件，每天的利润为元， 可列方程为． 2．（2026·广东云浮·一模）已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出降价后的每件利润和销售量，根据“总盈利=每件利润×销售量”即可列出方程． 【详解】解：∵每件进价为120元，原售价为200元，每件降价元， ∴降价后每件的利润为元， ∵原每天售出20件，每降价1元每天多售出2件，降价元后每天多售出件， ∴降价后每天的销售量为件， ∵每天总盈利为1400元， ∴可列方程为． 3．（25-26九年级上·四川广元·期中）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据最大数为x，则可表示出最小数，由这两个数的积为588列出方程即可． 【详解】解：由题意得，最小数为， 则， 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹备组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台， 并设计了如图所示的方案， 其中阴影部分为舞台． 舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 （    ）． A．5 B．20 C．20 或 15 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的图形问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分析题意以及观察图中的信息，得出中间空白部分的长和宽分别是，又因为中间空白部分的面积为，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 整理的， ∴（舍去）， ∴该正方形空地的边长为， 故选：D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：设留白部分的宽度为，由题意得，． 6．（25-26八年级上·上海崇明·期末）将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据四边形的面积等于四边形面积的2倍，构建方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：（舍去）． 故答案为：． 7．（2026·上海金山·二模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 【答案】商场平均每天可多售出2件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据所给方程和已知条件分析方程各项的含义，补全条件即可． 【详解】解：中，表示降价元后每件衬衫的盈利，表示降价元后每天的销售量，而是因降价元增加的销售量，意味着衬衫的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 8．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 三、解答题 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）某批发商以每件70元的价格购进800件T恤，第一个月以单价100元销售，售出了200件，第二个月如果单价不变，预计仍可以售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为60元，设第二个月单价降低元． (1)按要求填表： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 ①__________ 60 销售量（件） 200 ②__________ ③__________ (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利8750元，那么第二个月的单价应该是多少元？ 【答案】(1)填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 100 60 销售量（件） 200 (2)95元或85元 【分析】（1）根据题意用含的代数式表示即可； （2）利用“获利8750元”，即销售额成本利润，作为相等关系列方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第二个月单价降低元， ∴第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时销售量为件； 表格见答案； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 答：第二个月的单价应该是95元或85元． 10．（25-26九年级上·广东清远·期中）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． / 学科网（北京）股份有限公司 $