1.4 用一元二次方程解决实际问题 课时1 面积问题和平均变化率问题 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级苏科版第1章1.4课时1同步练，以“步骤-模型-应用”分层设计，覆盖面积问题与变化率问题，通过基础巩固到综合拓展的梯度训练，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|列方程一般步骤|选择填空题结合生活情境（如遗忘率），强化步骤记忆| |技能应用|面积问题（矩形围栏/道路修建/图形拼接）、平均变化率|解答题分类型训练模型应用（如矩形围栏用直接设元法）| |综合拓展|验根取舍、跨知识点综合|结合经济（芯片售价）、环保（碳排放量）情境，提升实际问题解决能力|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．4 用一元二次方程解决问题 课时1 面积问题和平均变化率问题 ▌课时目标 1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），能根据题意抽象出等量关系，正确设未知数。 2. 能解决矩形围栏、道路修建、图形拼接与挖空等常见面积问题，熟练运用几何图形面积公式列出一元二次方程。 3. 理解平均增长率与平均下降率的数量关系，能准确运用公式a(1±x)n＝b列方程，并能根据实际问题检验并取舍根。 ▌课时目录 知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点02：面积问题——矩形围栏问题 知识点03：面积问题——道路修建问题 知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 知识点05：平均增长率问题 知识点06：平均下降率问题 知识点07：增长率问题中的验根与取舍 ▌知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：弄清题意，明确已知量、未知量及基本数量关系； 2. 设元：选择直接设元（求什么设什么）或间接设元，注明单位； 3. 列方程：挖掘题目中的等量关系，列出一元二次方程； 4. 解方程：选择适当解法求出方程的根； 5. 检验：检验根是否为原方程的解，以及是否符合实际意义（如边长、百分率的取值范围）； 6. 作答：写出完整的解答结论。 1．（2026·重庆巴南·模拟预测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 2．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次求出三天的票房，再根据前三日票房累计为15亿元列出方程即可． 【详解】解：∵第一天票房为3亿元，每天票房的增长率为x， ∴第二天票房为亿元 第三天票房为亿元 ∵前三日票房累计约为15亿元 ∴将三天票房相加，可列方程得． 3．（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， 第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，从2024年底到2026年底共经过2年，结合已知的2026年底预计保有量即可列出方程． 【详解】解：设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底全国新能源汽车保有量为万辆，2026年底全国新能源汽车保有量为万辆， 根据题意可列方程为． ▌知识点02：面积问题——矩形围栏问题 常见背景：一面靠墙，其余三面用定长篱笆围成矩形；或矩形场地中间加隔断。 等量关系：矩形面积＝长×宽。 设未知数时，通常设与墙垂直的一边为x，用x表示另一边，根据面积公式列方程。 例如：用20m篱笆靠墙围矩形，墙长8m，面积48m2。设与墙垂直边长xm，则与墙平行边长为(20－2x)m，列方程x(20－2x)＝48，并需满足0＜20－2x≤8且x＞0。 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为（     ）． A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意列出方程求出的值，再根据墙长限制确定的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意得，，   整理得，， 解得，， ∵墙长为， ∴， 解得， ∴不合题意，舍去， ∴，即边的长度应为． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，学校生态园有一道长的墙，生物小组用总长的围栏，借助这道墙围一个中间隔有一道围栏（平行于）的长方形种植区．为了方便进出，计划在垂直于墙的两边上各开一个宽的小门（门的位置用铰链，不计入围栏总长度）． (1)设种植区的一边的长为，则的长可用含的代数式表示为_____． (2)当的长是多少时，围成的种植区面积为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的几何应用，解题的关键是正确理解题意列出方程求解． （1）根据即可列出代数式； （2）由题意得，，再解方程，并且检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为： （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 由题意得，， ∴， 解得， 故舍去， ∴符合题意， 答：当的长是时，围成的种植区面积为． 7．（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为30米的旧墙，小乐同学想利用旧墙和铁围栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了40米铁围栏． (1)设花园的一边长为x米，请用含x的代数式表示另一边的长； (2)若所围成的矩形花园的面积为128米2，求所利用旧墙的长． 【答案】(1)的长为米； (2)所利用旧墙的长为8米． 【分析】本题考查用代数式表示数量关系、一元二次方程的应用，掌握等量关系式的表示方法及一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据矩形花园，可知，再根据另三边一共用了40米铁围栏，可知，代入即可得答案； （2）根据已知条件及矩形的面积，代入可得关于的一元二次方程，然后，解方程，最后根据实际情况依次判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形花园， ∴． ∵矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了40米铁围栏，设花园的一边长为x米， ∴ 米， 即米； （2）解：根据题意，得，       解得．       当时， ，（不合题意，舍去） 当时， ．（符合题意） ∴所利用旧墙的长为8米． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对关于x的一元二次方程开展深入探究 (1)学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； (2)若实数a，b满足，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）设基地的宽为x米，则基地的长为米．围成基地的面积为12平方米，根据矩形面积=长×宽，列一个关于x的一元二次方程，解方程，舍去不符合题意的负值，即可求出x的值； （2）由可得，即，设，则有，再由已知条件及可得，a和c是方程的两个不同的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，求出； （3）先将已知的两个等式作差，并进行因式分解，整理得到，再将已知的两式相加，整理得到，根据完全平方公式变形得 ，将其代入，整理后得到 ，将代入该式，整理后可证得结论． 【详解】（1）解：设基地的宽为x米，则基地的长为米． ∵围成基地的面积为m平方米，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：当时，x的值为3． （2）解：∵， ∴， 即， 设， 则， ∵， ∴a和c是方程的两个实数根， ∵， ∴， ∴a和c是方程的两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴， 即． （3）略 ▌知识点03：面积问题——道路修建问题 常见背景：矩形场地内修等宽十字路或环形路，求路宽或剩余绿化面积。 等量关系：场地总面积－道路面积＝剩余面积；或利用“平移法”将道路平移至边缘，剩余部分构成新矩形，直接列（新长）×（新宽）＝剩余面积。 例如：长40m、宽30m矩形场地修等宽十字路，剩余面积864m2。 设路宽xm，平移后新长为(40－x)，新宽为(30－x)，列方程(40－x)(30－x)＝864。 9．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为（    ）m A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】利用平移的性质，将道路平移到矩形边缘，使草坪拼成一个新的矩形，根据面积公式列一元二次方程求解． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，利用平移法可将草坪拼成一个长为，宽为的矩形， ∴， 整理得，即， 解得，， ∵道路宽不能超过矩形的宽，即， ∴不合题意，舍去. ∴道路的宽为． 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮．已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度．若设道路宽为米，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意可得，． 11．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【分析】把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽为， ∴由题意得，． 12．（25-26九年级下·山东淄博·期中）智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1) (2)道路宽度为 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． （2）解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． ▌知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 见背景：从矩形四角截去小正方形（求剩余面积或折成无盖盒子的底面积）；或在大图形中挖去小图形后重新拼接。 等量关系：拼接前后总面积不变；或挖空后剩余面积等于给定值。 例如：长30cm、宽20cm矩形铁皮，四角各截去边长xcm正方形，剩余部分面积为200cm2，列方程30×20－4x2＝200或(30－2x)(20－2x)＝200。 13．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 14．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． (1)请用含的代数式表示长方形的面积； (2)若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； (3)若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 【答案】(1) (2)道路宽为3米 (3)当道路宽为5米时，建造总费用为50000元 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 15．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为_,休闲区能接的雨水量为_ L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 16．（25-26八年级下·安徽六安·期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    【答案】(1)； (2)裁去小正方形的边长的值为 (3)书本能完全放入该收纳盒内 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为，底面宽为． （2）解：∵无盖收纳盒的底面长，底面宽，底面积为， ， 解得或， 底面宽，即， 舍去， ， 答：裁去小正方形的边长的值为； （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为，，， ，，， ∴书本能完全放入该收纳盒内． ▌知识点05：平均增长率问题 公式：若初始值为a，平均增长率为x，经过n次增长后的值为b，则a(1＋x)n＝b。 其中a＞0，b＞0，x＞0，n为正整数。 例如：某厂2023年产值500万元，2025年产值605万元，求平均年增长率。 设增长率为x，列方程500(1＋x)2＝605，解得1＋x＝±1.1，取正值得x＝0.1＝10%。 17．（25-26八年级下·北京房山·期末）根据中国汽车工业协会发布的数据，近年我国新能源汽车销量呈现高速增长态势，据统计，年新能源汽车销量为万辆，到年新能源汽车销量为万辆，若这两年新能源汽车销量的年平均增长率相同，求该新能源汽车销量的年平均增长率是多少？设该新能源汽车销量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题中年新能源汽车销量未知，且这两年新能源汽车销量的年平均增长率相同，用平均增长率乘年新能源汽车销量，再加上年新能源汽车销量，即为年新能源汽车销量，以此推导出年新能源汽车销量关于年平均增长率x的方程． 【详解】解：设该新能源汽车销量的年平均增长率为x， 年新能源汽车销量为万辆， 年新能源汽车销量为万辆， 年新能源汽车销量为万辆，即万辆， 已知年新能源汽车销量为万辆， 可列方程为． 18．（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 19．（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 20．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：猜想人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下： 设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为， 假设这两个正方形的面积之和能等于，则， 整理得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， ∴这两个正方形的面积之和不能等于， ∴人工智能平台回复的结果是“不能”． 【分析】（1）设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为，根据首日的下载量和第三天的下载量建立方程求解即可； （2）设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为，假设这两个正方形的面积之和能等于列方程，然后利用判别式判断该方程是否有正实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为； （2）略 ▌知识点06：平均下降率问题 公式：若初始值为a，平均下降率为x，经过n次下降后的值为b，则a(1－x)n＝b。 其中a＞0，b＞0，0＜x＜1，n为正整数。 例如：药品原价100元/盒，两次降价后81元/盒，求平均每次降价百分率。 设下降率为x，列方程100(1－x)2＝81，解得1－x＝±0.9，取1－x＝0.9（因1－x＞0），得x＝0.1＝10%。 21．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）某厂生产某种产品的技术高速发展，起初该厂生产该种产品的成本为225元，经过两次技术改进，现生产成本下降了30.2元．设每次技术改进时产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出两次技术改进后的成本，再结合题目给出的成本下降量得到等式，即可选出正确方程． 【详解】解：∵初始成本为元，每次成本下降率为， ∴第一次技术改进后成本为 ， 第二次技术改进后成本为 ， 又∵现生产成本下降了元，即现在的成本为， ∴可得方程． 22．（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 23．（25-26九年级上·四川成都·期末）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． (1)求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； (2)2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片? 【答案】(1) (2)40万颗 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． （1）根据题意，设每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为，列出方程并求解即可； （2）根据题意，设购进万颗甲种芯片，则乙种芯片购进万颗，列出不等式，求解即可求出最多购进甲种芯片的数量． 【详解】（1）解：设每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为， 根据题意，可得方程， 解得或（舍去）， 故每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为． （2）解：假设购进万颗甲种芯片，则乙种芯片购进万颗， 得不等式， 解得， 故最多购进万颗甲种芯片． 24．（25-26九年级上·福建厦门·期中）根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材 为了加强劳动教育，落实五育并举，厦门市某中学拟建一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜. 素材 甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元. 问题解决 任务 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式. 任务 设计种植方案 （2）设年甲、乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值. 任务 预计下降率 （3）学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？ 【答案】任务：；任务：甲种蔬菜种植、乙种蔬菜种植时，最小，的最小值为；任务：时，年的总种植成本为元 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式和二次函数的最值是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求解即可； 任务2：将种植乙种蔬菜的面积用含的代数式表示出来，根据“种植甲种蔬菜每平方米的成本种植甲种蔬菜的面积种植乙种蔬菜每平方米的成本种植乙种蔬菜的面积”写出关于的表达式，再根据二次函数的图象特征及的取值范围求出当为何值时值最小，即可求解； 任务3：按“任务二”中种植方案，分别计算年种植甲种蔬菜和乙种蔬菜的成本，根据题意列方程并求解即可． 【详解】解：任务：设， 将点，代入得， 解得， ； 任务：， 整理可得， ，， 当时，最小，的最小值为， 即甲种蔬菜种植、乙种蔬菜种植时，最小，的最小值为； 任务：按“任务二”中种植方案，年种植甲种蔬菜的成本为（元），种植乙种蔬菜的成本为（元）， 根据题意得， 解得，（，舍去）． 答：时，年的总种植成本为元． ▌知识点07：增长率问题中的验根与取舍 解出的x必须双重检验： 1. 是否为原方程的解（计算无误）； 2. 是否符合实际意义。对于增长率，x通常为非负数；若为下降率，须满足0＜x＜1（下降幅度不超过100%）。 若解出x使1＋x或1－x为负数，或x值导致面积问题中的边长为负或零，必须舍去，只保留符合题意的根。 25．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为． (2)购买的这种健身器材的套数为套． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据社区向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 26．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 28．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 【答案】(1)该公司研发投入资金的年平均增长率为 (2)当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元 【分析】（1）设该公司研发投入资金的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设生产A款装备a台，则生产B款装备台，根据题意列出一元一次不等式求出，设销售总收入为W万元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设该公司研发投入资金的年平均增长率为x， 依题意得，， 解得（负值已舍去）， 答：该公司研发投入资金的年平均增长率为； （2）解：设生产A款装备a台，则生产B款装备台， 根据题意，得， 解得． 设销售总收入为W万元，则， ， 随a的增大而增大． ， 当时W值最大，（万元）． 答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 3．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）福清市虎溪公园是福州市首个3．0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确三月到五月共2次月增长，以三月游客量为基数，结合五月游客量列方程． 【详解】解：三月份接待游客25万人次，每月平均增长率为，则四月份接待游客万人次，五月份接待游客万人次． ∵五月份接待游客64万人次， ∴可列方程． 4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 二、填空题 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元，列出方程即可． 【详解】解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据题意得： ． 7．（2026·重庆武隆·一模）某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 【答案】 【分析】设日平均增长率为，则，再解方程即可. 【详解】解：设日平均增长率为，则， 解得(不合题意，舍去)． ∴从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为. 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和翻折的性质，结合解30度直角三角形和勾股定理设未知数列出方程，即可求得的长度． 【详解】解：在菱形中，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图，设与交点为H， ∴，即， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 三、解答题 37．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降，六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元． (1)求该农产品六月份的价格； (2)预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到元．求该种农产品七、八两个月价格的月平均增长率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）设该农产品六月份的价格为元，则五月份的价格为，根据题意得出，解方程求出的值即可得答案； （2）设这两个月该农产品价格的月平均增长率为，利用该农产品八月份的价格＝六月份的价格×，得出关于的一元二次方程，解方程取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该农产品六月份的价格为元， ∵六月份与五月份相比，价格下降， ∴五月份的价格为， ∵六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元， ∴， 解得：， 答：该农产品六月份的价格为元． （2）解：设七、八两个月价格的平均增长率为， ∵六月份的价格为元，八月份价格达到元， ∴， 解得：，（舍去）， ∴七、八两个月价格的月平均增长率为． 38．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．4 用一元二次方程解决问题 课时1 面积问题和平均变化率问题 ▌课时目标 1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），能根据题意抽象出等量关系，正确设未知数。 2. 能解决矩形围栏、道路修建、图形拼接与挖空等常见面积问题，熟练运用几何图形面积公式列出一元二次方程。 3. 理解平均增长率与平均下降率的数量关系，能准确运用公式a(1±x)n＝b列方程，并能根据实际问题检验并取舍根。 ▌课时目录 知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 知识点02：面积问题——矩形围栏问题 知识点03：面积问题——道路修建问题 知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 知识点05：平均增长率问题 知识点06：平均下降率问题 知识点07：增长率问题中的验根与取舍 ▌知识点01：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：弄清题意，明确已知量、未知量及基本数量关系； 2. 设元：选择直接设元（求什么设什么）或间接设元，注明单位； 3. 列方程：挖掘题目中的等量关系，列出一元二次方程； 4. 解方程：选择适当解法求出方程的根； 5. 检验：检验根是否为原方程的解，以及是否符合实际意义（如边长、百分率的取值范围）； 6. 作答：写出完整的解答结论。 1．（2026·重庆巴南·模拟预测）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·一模）某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． ▌知识点02：面积问题——矩形围栏问题 常见背景：一面靠墙，其余三面用定长篱笆围成矩形；或矩形场地中间加隔断。 等量关系：矩形面积＝长×宽。 设未知数时，通常设与墙垂直的一边为x，用x表示另一边，根据面积公式列方程。 例如：用20m篱笆靠墙围矩形，墙长8m，面积48m2。设与墙垂直边长xm，则与墙平行边长为(20－2x)m，列方程x(20－2x)＝48，并需满足0＜20－2x≤8且x＞0。 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为（     ）． A． B．或 C． D． 6．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，学校生态园有一道长的墙，生物小组用总长的围栏，借助这道墙围一个中间隔有一道围栏（平行于）的长方形种植区．为了方便进出，计划在垂直于墙的两边上各开一个宽的小门（门的位置用铰链，不计入围栏总长度）． (1)设种植区的一边的长为，则的长可用含的代数式表示为_____． (2)当的长是多少时，围成的种植区面积为？ 7．（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为30米的旧墙，小乐同学想利用旧墙和铁围栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了40米铁围栏． (1)设花园的一边长为x米，请用含x的代数式表示另一边的长； (2)若所围成的矩形花园的面积为128米2，求所利用旧墙的长． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对关于x的一元二次方程开展深入探究 (1)学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； (2)若实数a，b满足，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． ▌知识点03：面积问题——道路修建问题 常见背景：矩形场地内修等宽十字路或环形路，求路宽或剩余绿化面积。 等量关系：场地总面积－道路面积＝剩余面积；或利用“平移法”将道路平移至边缘，剩余部分构成新矩形，直接列（新长）×（新宽）＝剩余面积。 例如：长40m、宽30m矩形场地修等宽十字路，剩余面积864m2。 设路宽xm，平移后新长为(40－x)，新宽为(30－x)，列方程(40－x)(30－x)＝864。 9．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为（    ）m A．2 B．3 C．4 D．1 10．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮．已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度．若设道路宽为米，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 12．（25-26九年级下·山东淄博·期中）智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． ▌知识点04：面积问题——图形拼接与挖空问题 见背景：从矩形四角截去小正方形（求剩余面积或折成无盖盒子的底面积）；或在大图形中挖去小图形后重新拼接。 等量关系：拼接前后总面积不变；或挖空后剩余面积等于给定值。 例如：长30cm、宽20cm矩形铁皮，四角各截去边长xcm正方形，剩余部分面积为200cm2，列方程30×20－4x2＝200或(30－2x)(20－2x)＝200。 13．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． (1)请用含的代数式表示长方形的面积； (2)若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； (3)若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 15．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为_,休闲区能接的雨水量为_ L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 16．（25-26八年级下·安徽六安·期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    ▌知识点05：平均增长率问题 公式：若初始值为a，平均增长率为x，经过n次增长后的值为b，则a(1＋x)n＝b。 其中a＞0，b＞0，x＞0，n为正整数。 例如：某厂2023年产值500万元，2025年产值605万元，求平均年增长率。 设增长率为x，列方程500(1＋x)2＝605，解得1＋x＝±1.1，取正值得x＝0.1＝10%。 17．（25-26八年级下·北京房山·期末）根据中国汽车工业协会发布的数据，近年我国新能源汽车销量呈现高速增长态势，据统计，年新能源汽车销量为万辆，到年新能源汽车销量为万辆，若这两年新能源汽车销量的年平均增长率相同，求该新能源汽车销量的年平均增长率是多少？设该新能源汽车销量的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 19．（25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 20．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）项目背景：人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利，初中生也能借助人工智能提升学习效率．为此，综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 依托人工智能平台的自主高效学习 活动内容 选择人工智能平台，开展以问题驱动为核心的高效学习 活动过程 活动1：选择人工智能平台 小组成员搜集到如下资料：学习所使用的智能平台所属公司是一家专注人工智能领域的科技公司，该公司致力于开发先进的大语言模型和生成式技术，平台一经发布，便占据各大手机下载市场下载榜首位．据统计，该平台首日在某下载市场的下载量为万次，第二天、第三天的下载量连续增长，第三天的下载量为万次． 活动2：向人工智能平台提出问题 向平台提出的首个问题：如图，把一根长度为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和能否等于？    平台回复的结果： 交流展示 请根据以上的活动报告，解答下列问题： (1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率； (2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”，并说明理由． ▌知识点06：平均下降率问题 公式：若初始值为a，平均下降率为x，经过n次下降后的值为b，则a(1－x)n＝b。 其中a＞0，b＞0，0＜x＜1，n为正整数。 例如：药品原价100元/盒，两次降价后81元/盒，求平均每次降价百分率。 设下降率为x，列方程100(1－x)2＝81，解得1－x＝±0.9，取1－x＝0.9（因1－x＞0），得x＝0.1＝10%。 21．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）某厂生产某种产品的技术高速发展，起初该厂生产该种产品的成本为225元，经过两次技术改进，现生产成本下降了30.2元．设每次技术改进时产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 22．（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·四川成都·期末）某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． (1)求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； (2)2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片? 24．（25-26九年级上·福建厦门·期中）根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材 为了加强劳动教育，落实五育并举，厦门市某中学拟建一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜. 素材 甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元. 问题解决 任务 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式. 任务 设计种植方案 （2）设年甲、乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值. 任务 预计下降率 （3）学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？ ▌知识点07：增长率问题中的验根与取舍 解出的x必须双重检验： 1. 是否为原方程的解（计算无误）； 2. 是否符合实际意义。对于增长率，x通常为非负数；若为下降率，须满足0＜x＜1（下降幅度不超过100%）。 若解出x使1＋x或1－x为负数，或x值导致面积问题中的边长为负或零，必须舍去，只保留符合题意的根。 25．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． (1)求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 26．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 28．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）福清市虎溪公园是福州市首个3．0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 7．（2026·重庆武隆·一模）某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 三、解答题 37．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）某种无公害农产品六月份与五月份相比，价格下降，六月份购买该种农产品与五月份购买该种农产品相比少花元． (1)求该农产品六月份的价格； (2)预测该种农产品七、八月份的价格将上涨，八月份价格达到元．求该种农产品七、八两个月价格的月平均增长率． 38．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $