1.2 课时6 一元二次方程的根的判别式 同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程的根的判别式，以“概念理解-技能应用-综合创新”分层递进，覆盖从基础判断到参数求解及跨方法综合，适配差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|判别式概念、根的情况判断|以选择（题1、5）、填空（题6、7）为主，强化符号意识与抽象能力| |能力提升层|参数取值范围、根的情况证明|通过解答题（题13、16）培养推理能力，突出运算能力与逻辑思维| |综合应用层|判别式与配方法/公式法综合|创新题型（“俏方程”题19、“完美方程”题10）体现模型意识与应用意识|

2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．2 一元二次方程的解法 课时6 一元二次方程的根的判别式 ▌课时目标 1. 理解一元二次方程根的判别式概念，能由一般式（）写出判别式，明确它在判断根的情况中的作用。 2. 掌握、、与两个不相等实根、两个相等实根、无实根的对应关系，能不解方程判断根的情况。 3. 能根据已知根的情况反求参数取值范围或参数值，注意先保证方程为一元二次方程（），再结合列等式或不等式求解并检验。 ▌课时目录 知识点01：一元二次方程根的判别式 知识点02：判别式与根的情况 知识点03：利用判别式判断方程根的情况 知识点04：已知根的情况求参数的取值范围 知识点05：判别式在证明根的情况中的应用 知识点06：判别式与配方法、公式法的关系 ▌知识点01：一元二次方程根的判别式 式子叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用Δ（德尔塔）表示。 判别式的实质是求根公式中被开方数部分，它决定了方程是否有实数根以及根的个数。 注意：判别式只适用于一元二次方程，且必须满足的前提条件。计算Δ时，各项系数需连同符号代入，如方程2x²－3x－1＝0中，a＝2，b＝－3，c＝－1，则Δ＝(－3)²－4×2×(－1)＝9＋8＝17。 1．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． ▌知识点02：判别式与根的情况 一元二次方程（）的根的情况由Δ的取值唯一确定： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根，； 2. 当时，方程有两个相等的实数根（也称一个实数根），； 3. 当时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数不能开平方）。 例如：方程x²－5x＋6＝0中，Δ＝25－24＝1＞0，有两不等实根x₁＝3，x₂＝2；方程x²－4x＋4＝0中，Δ＝16－16＝0，有两相等实根x₁＝x₂＝2；方程x²－2x＋3＝0中，Δ＝4－12＝－8＜0，无实数根。 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式与的大小关系，即可判断方程根的情况. 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根. 6．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 7．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 【答案】(1)证明：可变形为， 判别式为， ，为正实数，所以，可得， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再计算判别式，根据题中条件得到，即可得证． （2）利用方程根的定义，把代入方程，通过计算得到两个代数式完全相等． 【详解】（1）略 （2）已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程． (1)若，求方程的解； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】(1)， (2)解：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可． （2）根据证明即可． 【详解】（1）解：当时，变形为， ∴， 解得，． （2）略 ▌知识点03：利用判别式判断方程根的情况 不解方程，直接通过计算Δ的值判断根的情况。步骤： 1. 将方程化为一般形式，确定a、b、c； 2. 计算； 3. 根据Δ的符号得出结论。 例如：判断方程3x²－2x＋1＝0的根的情况：a＝3，b＝－2，c＝1，Δ＝4－12＝－8＜0，故方程无实数根。 又如：判断方程(m－1)x²＋2x－1＝0（m≠1）的根的情况：Δ＝4＋4(m－1)＝4m，当m＞0且m≠1时Δ＞0，有两不等实根；当m＝0时Δ＝0，有两相等实根；当m＜0时Δ＜0，无实根。 此类含参问题需分类讨论，同时注意二次项系数不为0的隐含条件。 9．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2) 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； （2）略 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值． 【答案】(1) 证明：由得， ， ∵， ∴方程总有两个实数根； (2)m的最小值为4． 【分析】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． （1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论； （2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵方程的两个实数根都是正整数， ∴为正整数，则且m为整数， 解得， ∴m的最小值为4． 12．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：， ， 不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）将代入方程求出，可知方程为，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程得：， 解得：， 方程为， 解这个方程得：，， 方程的另一个根为3． ▌知识点04：已知根的情况求参数的取值范围 已知方程根的情况，反推参数应满足的条件。核心思路：根据根的情况列出关于Δ的不等式或等式，再求解参数。常见题型： 1. 方程有两不等实根→Δ＞0； 2. 方程有两相等实根→Δ＝0； 3. 方程无实根→Δ＜0。 注意需同时满足二次项系数不为0的隐含条件。 例如：关于x的方程kx²－4x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：由题意得k≠0且Δ＝16－4k＞0，解得k＜4且k≠0。又如：关于x的方程x²＋(m－2)x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值。解：Δ＝(m－2)²－4m＝m²－8m＋4＝0，解得m＝4－2√3。 解题关键：列准Δ的等式或不等式，并注意a≠0的限制条件。 13．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 14．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的根的定义． （1）利用一元二次方程根的判别式，列出关于m的不等式，求解m的取值范围； （2）将代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解该方程得到m的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由题意知，将代入方程中得， 解得，， 经检验，，均满足． ▌知识点05：判别式在证明根的情况中的应用 证明题先构造函数一般式，计算并配方或恒等变形，根据其符号下结论。 例：证明无实根。 ； 因k2≥0，故－4k2－4＜0，所以无实根。 若证明恒有两不等实根，只需说明Δ可化为恒正式子； 若证明恒有两相等实根，只需说明Δ恒为0。 17．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知一元二次方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) 证明：， ， ， 当时，方程总有两个不相等的实数根． (2)；8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先求出该方程的判别式，再根据判别式的意义即可证明结论； （2）一个等腰三角形的底边长是2，且两条腰长分别是该方程的两个根，即该方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，解得：或， 当时，原方程可化为，即，解得：，不符合题意； 当时，原方程可化为，即，解得：， ∴该等腰三角形的两腰均为3， ∴该等腰三角形的周长为． 综上，，等腰三角形的周长为8． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：设，是方程的两个实数根，其中．若，则称这个方程为“俏方程”． (1)方程 ________“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； (2)若关于x的方程是“俏方程”． ①不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为________； ②求m的取值范围． 【答案】(1)不是，理由： 解方程， 得， 故，，不满足， 故方程不是“俏方程”， (2)①；②或 【分析】（1）求得方程的两个根分别为，，，不满足，故判定不是即可； （2）①根据题意，得，解得，故判定不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为； ②当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可；当时，此时，根据方程是“俏方程”，得，解答即可； 本题考查了一元二次方程的解法，新定义方程，熟练掌握解方程的方法，正确理解新定义方程是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）①解：根据题意，得， 解得， 故不论m取何值，方程一定有一个固定的实数根为， 故答案为：； ②解：当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 当时，此时， 由方程是“俏方程”，得， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若方程满足，则称它为“优方程”． (1)下列方程是“优方程”的是________； ①；②；③；④． (2)若关于的一元二次方程是“优方程”，求的值． (3)若“优方程”有两个相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】(1)①③④ (2) (3)②④ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、“优方程”的定义以及一元二次方程根的判别式． （1）明确“优方程”需满足 (，，为方程标准形式系数)，分别计算四个方程的值，等于的即为“优方程”； （2）确定方程二次项系数、一次项系数、常数项，根据“优方程”定义列方程，解出的值后，排除使二次项系数为的情况； （3）由“优方程”得，根据方程有两个相等的实数根，可知根的判别式，代入化简得，逐一验证结论是否符合即可求解． 【详解】（1）解：对于①，标准形式为，计算，符合“优方程”定义； 对于②，计算，不符合“优方程”定义； 对于③，计算，符合“优方程”定义； 对于④，计算，符合“优方程”定义； 故答案为：①③④； （2）由题知，方程为“优方程”，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 根据“优方程”定义：， ， ， 或， 又因一元二次方程二次项系数不为，即， 故， ； （3）“优方程”满足，故， 因方程有两个相等的实数根，故判别式， 将代入， 得， ， ， ， 分析结论： ①，错误； ②，正确； ③，错误； ④，正确； 故答案为：②④． ▌知识点06：判别式与配方法、公式法的关系 用配方法解（）：同除以a、移项、配方得。 因4a2＞0，右边符号由决定：大于等于0可开平方，小于0无实数平方根。 公式法中先算Δ，当Δ≥0时代入；当Δ＜0不求根。判别式既是配方法与公式法的中间结果，也是不求解即可判断根情况的工具。 21．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 22．（2026·江苏南通·中考真题）关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 / 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 23．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 【答案】(1) (2)另一个实数根为， 【分析】（1）根据题意可得，，从而求出k的值； （2）将代入方程，求出k的值，再将k的值代入原方程，求解出另一实数根即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入，得， ， 解得， 当时，原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴方程的另一实数根为． 24．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为_（请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得判别式，计算后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，二次项系数为，满足一元二次方程定义， ∴， 解得：． 2．（2026·江苏扬州·二模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式等于0，代入方程系数计算，整理即可得到所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 根的判别式， 整理得． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】∵ 方程中，，，， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式． 通过判别式判断方程有实数根的条件，分析每个条件是否足以保证判别式非负． 【详解】解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 7．（2025·江苏·模拟预测）方程根的判别式等于_______． 【答案】 【分析】写出、、的值，再根据根的判别式代入数进行计算即可． 此题主要考查了根的判别式，关键是掌握根的判别式的计算公式． 【详解】解：由题意得：，，， ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）方程，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知换元法是解题的关键． 利用换元法对所给方程进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式确定答案即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 解得或， 当时， ， 则， 故此情况不符合题意； 当时， ， 则， 故此情况符合题意． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 10．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（或式），则此方程称做“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 _ ；（直接填序号） ①； ②； ③； (2)若关于x的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①② (2)①证明：∵，，， ∴， ∵， ∴此方程一定是“完美方程”； ②存在，k值为1 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键．（1）先计算各方程根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案；（2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，，16是一个完全平方数，故符合题意； ②，，，0是一个完全平方数，故符合题意； ③，，不是一个完全平方数，故不符合题意；故答案为：①② （2） 解：①略 ②存在，理由如下： ∵， ∴或， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵始终在函数的图象上， ∴，即， 当时，，不满足对任意m成立， 当时，即，等式恒成立， 即存在实数k，使得 始终在函数的图象上，k值为1． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 课时6一元二次方程的根的判别式 课时目标 理解一元二次方程根的判别式概念，能由一般式ar+r+c=0(a≠0)写出判别式 △=b2-4ac ，明确它在判断根的情况中的作用。 2. 掌握△>0、△=0、△<0与两个不相等实根、两个相等实根、无实根的对应关系，能 不解方程判断根的情况。 3. 能根据已知根的情况反求参数取值范围或参数值，注意先保证方程为一元二次方程( a≠0 △=b2-4ac ),再结合 列等式或不等式求解并检验。 课时且录 知识点01：一元二次方程根的判别式 知识点02：判别式与根的情况 知识点03：利用判别式判断方程根的情况 知识点04：已知根的情况求参数的取值范围 119 知识点05：判别式在证明根的情况中的应用 知识点06：判别式与配方法、公式法的关系 【知识点01：一元二次方程根的判别试 式子△=b2-4ac叫做一元二次方程am2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用△（德尔 塔)表示。 判别式的实质是求根公式中被开方数部分，它决定了方程是否有实数根以及根的个数。 注意：判别式只适用于一元二次方程，且必须满足a≠0的前提条件。计算△时，各项系数 需连同符号代入，如方程2x2一3x-1=0中，a=2,b=-3,c=-1,则△=(-3)2 4×2×(-1)=9+8=17。 1.(26-27九年级上广东深圳开学考试)一元二次方程3x2-mx-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D,无法确定 2.(25-26八年级下·江苏泰州期末)关于x的一元二次方程x2+c+k-2=0的实数根的情况，下列说法 正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.实数根的个数与k的取值有关 D.没有实数根 3.(25-26八年级下江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程x2+x-3x-k+1=0, (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的一个根为-1，求k的值以及方程的另一个根. 4.(25-26八年级下·江苏泰州期末)关于x的方程 2-(m+6)x+5m+5=0 (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根： (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围. 知识点02：判别式与根的情况 219 -元二次方程ax2+br+c=0(a≠0)的根的情况由△的取值唯一确定： 5=b+公 当△>0时，方程有两个不相等的实数根， 2a: 当△=0时，方程有两个相等的实数根（也称一个实数根）， 当△<0时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数不能开平方）。 例如：方程x2-5x十6=0中，△=25一24=1>0，有两不等实根x1=3,x2=2;方程x2-4x 十4=0中，△=16-16=0，有两相等实根x1=x2=2;方程x2-2x十3=0中，△=4-12= 一8<0，无实数根。 5.(25-26八年级下·江苏扬州期末)一元二次方程x2-x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 6,（25-26九年级下山东演州期中)关于x的一元二次方程-(2+m)x+m=0 的情况为 7.(25-26八年级下江苏南通期末)已知m，n为正实数，关于x的一元二次方程为x2+m=n2. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (②)若、是方程的一个实数根，试判断代数式26+m与㎡+4n 的大小 8.(25-26八年级下·江苏泰州期末)关于x的一元二次方程 2-(2m+1)x+2m=0 (1)若m=2,求方程的解： (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根。 知识点03：利用判别式判断方程根的情况 不解方程，直接通过计算△的值判断根的情况。步骤： 将方程化为一般形式，确定a、b、c; 计算△=b-4ac: 319 根据△的符号得出结论。 例如：判断方程3x2-2x+1=0的根的情况：a=3,b=-2,c=1,△=4一12=一8<0， 故方程无实数根。 又如：判断方程（一1）x2+2x一1=0(m≠1)的根的情况：△=4+4(m一1)=4m,当>0 且≠1时△>0，有两不等实根；当m=0时△=0，有两相等实根：当m<0时△<0，无 实根。 此类含参问题需分类讨论，同时注意二次项系数不为0的隐含条件。 9.(25-26八年级下·安徽准北阶段检测)关于方程x2-x-5=0的根的情况，下列说法正确的是() A.方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程有一个实数根 D.方程无实数根 10,(25-26九年级上江苏扬州期末)已知关于x的方程：女+-(k+2)=0 (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根. 11.(25-26九年级上江苏扬州期末)关于x的一元二次方程 x2+(2-m)x+(m-3)=0 (1)求证：方程总有两个实数根； (②)若方程的两个实数根都是正整数，求的最小值. 12.(25,26九年级上江苏盐城期未)已知关于×的方程-(m+2)r+2m-1=0(m为常数). (I)求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根. 知识点04：已知根的情况求参数的取值范围 己知方程根的情况，反推参数应满足的条件。核心思路：根据根的情况列出关于△的不等 式或等式，再求解参数。常见题型： 方程有两不等实根→△>0： 方程有两相等实根→△=0： 方程无实根→△<0。 注意需同时满足二次项系数不为0的隐含条件。 419 例如：关于x的方程2一4x十1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：由题意 得k≠0且△=16-4k>0,解得k<4且k≠0。又如：关于x的方程x2+(-2)x十m=0有 两个相等的实数根，求的值。解：△=（一2）2-4=2一8十4=0，解得m=4一2V3。 解题关键：列准△的等式或不等式，并注意α≠0的限制条件。 13. (25-26九年级上江苏扬州阶段检测)若关于x的方程(x-= 没有实数根，则k的取值范围为 14.(26-27九年级上江苏南京开学考试)关于x的一元二次方程2-2x-1=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 15.(25-26八年级下·江苏泰州期末)若关于x的方程mx2+1=2x(m为常数)有两个不相等的实数根， 则的取值范围为一· 16.(25-26九年级上江苏无锡期末)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根. (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值. 知识点05：判别式在证明根的情况中的应用 证明题先构造函数一般式，计算△=b2-4ac并配方或恒等变形，根据其符号下结论。 例：证明x2+2kx+2k2+1=0无实根。 △=(2k)2-42k2+1）=42-8k2-4=-4k2-4 因k2≥0，故-42一4<0，所以无实根。 若证明恒有两不等实根，只需说明△可化为恒正式子； 若证明恒有两相等实根，只需说明△恒为0。 17.(25-26九年级上江苏无锡期末)己知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边长，且关于x的一 元二次方程c+)r-2ax+c-b=0 两个相等的实数根，若a=3,C=6,试判断△4BC的形状并求其 面积. 5/9 18.(25-26九年级上江苏无锡期中)已知一元二次方程x2+bx+9=0. (1)求证：当b>6时，方程总有两个不相等的实数根： (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形 的周长 19,（25:26九年级上江苏泰州期中)定义：设，是方程+bx+c=0(a≠0 的两个实数根，其中 x>.若 1<x-2<2 ,则称这个方程为“俏方程”. (1)方程x2+5x+6=0“俏方程”（用“是”或“不是”填空）； (2)若关于x的方程x2+mx+2m-4=0是“俏方程”. ①不论取何值，方程一定有一个固定的实数根为 ②求m的取值范围. 20.(25-26九年级上江苏无锡期中)若方程x2+bx+c=0满足a-b+C=0,则称它为“优方程”. ()下列方程是“优方程”的是一； ①x2=1:②x2-x+1=0;③3x2+8x+5=0;④x+1=0. 2)若关于*的一元二次方程(a+l)r+x-a2=0 “优方程”，求4的值. (3)若“优方程”ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，下列结论：①a+b+c=0;②a=c；③ 3c+b=0:④2a-b=0.其中，所有正确结论的序号是 知识点06：判别式与配方法公式法的送系 ,b)2 b2-4ac x+- 用配方法解ar'+br+c=0(a≠0)：同除以a、移项、配方得 2a 4a2 因4a>0,右边符号由b-4ac决定：大于等于0可开平方，小于0无实数平方根。 619 x=-b±公 公式法中先算△，当△≥0时代入 2a；当△<0不求根。判别式既是配方法与公式 法的中间结果，也是不求解即可判断根情况的工具。 21.(25-26八年级下江苏南通期未)已知关于x的一元二次方程x+2+4-k=0 实数根，则k的取 值范围是() A.k≥4 B.k>4 C.k≤4 D.k<4 22.(2026江苏南通中考真题)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)有两 个相等的实数根， (1)若a=1,b=c+1,则代数式c2-2c的值为 2m-n (2)若m,n为不相等的非零实数，当a=m-n'b=n-mm,c=mn-m时，代数式2mn的值为 23.(25-26八年级下江苏泰州期末)已知关于x的方程x2-x+3=0 (I)若该方程有两个相等的实数根，求k的值： (②)若√2是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及k的值. 24.(2025江苏扬州：二模)定义：我们把一个整数a平方后得到的数α称为完全平方数.例如： 32=9,02=0.（-5)}=25 我们就将9,025这些数都称为完全平方数。 (1)如果一个完全平方数a满足61≤a2≤120，则满足条件a的值为_（请写出所有满足条件的数）： (2)n是正整数，如果n-20和n+21都是完全平方数，求n的值： 6)如果关于的-元二次方程m+2(2a-小x+4(a-3)=0 至少有一个整数解，请直接写出满足题意 的正整数a的值. 课时训练 7/9 一、选择题 1.(2026江苏苏州一模)若关于x的一元二次方程x2-2mr+m+m-2=0有两个不相等的实数根，则实 数m的取值范围是() A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m<2且m≠0 2.(2026江苏扬州二模)关于*的方程+(a+)x+1= 有两个相等的实数根，则4+20的值是（) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(25-26九年级上·江苏徐州期中)关于一元二次方程x+4x-4=0根的情况，下列说法中正确的是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.(25-26九年级上·江苏南京·期中)对于一元二次方程 +br+c=0(a,6C为常数，且a≠0)，下列条 件： 0c<0:gbc>0,@2a-b+c=0 若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正 确条件的序号是() A.①② B.①③ c.②③ D.①②③ 二、填空题 5.(2526九年级上江苏南京阶段检测》关了产的方程+2x-m=P,无论实数P取何值，该方程总有 两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为一。 6(25-26九年级上江苏镇江阶段检测）关于x的一元二次方程m-)r-3xm0有 “有两个不相等的实数 根，则m的取值范围 7.(2025江苏·模拟预测)方程x2-2x-1=0根的判别式等于 8.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)方程x -5-0,期+ 三、解答题 819 9.(25-26八年级下·江苏南通期末)已知关于x的一元二次方程 2-(m+1)x+2(m-1)=0 (1)求证该方程总有两个实数根： (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 10,(2526九年级上江苏连云港阶段检测）定义：一元二次方程“+r+c=0(a≠0），若根的判别式 b2-4ac 是一个完全平方数（或式），则此方程称做“完美方程”· (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是一；（直接填序号) ①x2-4x=0: @x-2}-0 ③x2+x+1=0: ②若关于x的一元二次方程-2(m-x+m2-2m=0 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为”(：<)， 是否存在实数k,使 得P()始终在函数y=-k+3 的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由、 9/9