1.2 课时1 直接开平方法解一元二次方程 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册同步练，聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，以“基础巩固-进阶提升-综合应用”分层设计，实现从概念理解到运算掌握再到问题解决的知识路径，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法适用形式、步骤、完全平方识别、无实数解判断|基础题型对应课时目标1-2，如直接解方程强化步骤掌握| |提升层|a(x+m)²=n（a≠0）方程解法、符号处理|进阶题型强化符号处理与分类讨论，培养运算准确性| |综合层|解的情况判断、跨知识点应用|选择填空结合解的存在性判断，解答题综合应用化归思想|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 课时1直接开平方法解一元二次方程 课时目标 理解直接开平方法的原理，能识别适用直接开平方法的一元二次方程形式（如x p、(x+m=p或a(x+m)=n等)。 2. 掌握直接开平方法的步骤，能正确求解形如a(x十)=n的方程，并注意符号处理和 分类讨论（右边常数正负）。 3.知道当右边常数小于0时，方程无实数解，能根据平方根的性质进行判断，体会化归 思想。 课时目录 知识点01：直接开平方法的适用形式 知识点02：直接开平方法的步骤 知识点03：右边为常数但左边是完全平方的识别 知识点04：<0时方程无实数解的判断 116 知识点05：形如a(c+m)=n(a≠0)的方程解法 知识点06：直接开平方法中的符号处理 【知识点01：直接开平方法的适用形式 直接开平方法适用于解形如x2=p、(c十m2=p或a(x十m=n（a≠0)的一元二次方 程，其中方程左边是一个完全平方式，右边是一个常数。 当右边常数p≥0时，可直接开平方求解：当p<0时，方程无实数解。 1.(26:27九年级上吉林长春开学考试)解方程：(2x-=4 2.（26-27九年级上山东聊城开学考试)解方程：-3旷=25 3。(25-26九年级上北京东城期中)解方程：(-=2 4.（26-27九年级上·吉林长春开学考试)解方程：x2-7=0. 知识点02：直接开平方法的步骤 步骤： 将方程化为左边是含有未知数的完全平方，右边是非负常数的形式： 对方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程（注意正负根）： 解这两个一元一次方程，得到原方程的两个解。 例如：解x2=9,开平方得x=3,即x1=3,x2=一3。 5.(25-26八年级下湖南长沙期未)解方程.(x-少=25， 6.(25-26八年级下浙江丽水期末)解方程：x2-64=0 7.(25-26九年级上北京阶段检测)解方程.(x-2-27=0 8.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程：x2-25=0 【知识点03：右边为常数但左边是完全平方的识别 216 判断一个方程是否可用直接开平方法，关键看能否化为(x十)=卫的形式。 常见情况：方程已经给出x十2)=16；或者可通过移项得到（如x2-5=0化为x2=5)。 注意：形如x2+6x十9=4可化为x十3)2=4，也属于适用形式。 9.(25-26八年级下浙江舟山期末)解方程：2(x-=18 10。(25-26八年级下山东泰安期未末)解一元二次方程：4(x-l=9 1.25.26八年级下浙江杭州期未)解方程。2-=50 12.(25-26九年级下黑龙江大庆期末)解方程： 4(x-2)}2=36 知识点04：n<0时方程无实数解的判断 根据平方根的性质，负数没有平方根。 因此，当方程化为(x十m)=n且n<0时，方程无实数解。此 时，可直接写出“原方程无实数解”或“无实数根”。 例如：(x一1)2=一5，因为右边是负数，所以方程无实数解。 13.(25-26八年级下山东烟台期未)解方程：325(+=637 4(x-1)2=36 14.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程： 15.(25-26八年级下山东泰安期末)解方程： (2x-3)2-64=0 16.(25-26八年级下浙江金华期末)解下列方程： (x-1)=9 知识点05：形如ac+mP=n(a≠0)的方程解法 n 对于方程a(x十m2=n(a≠0)，先化为(x十m2=a的形式，要求a≥0。 n 然后开平方得x十m=士Va,再解出x=一肚Va。 316 n n 注意：当a和n同号时，Va>0,有两个实数解；当异号时， a<0,无实数解。 例如：2(x-3)2=8,化为(x一3)2=4，开平方得x-3=±2，解得x1=5,x2=1。 17.(26-27九年级上广东深圳开学考试)解方程： 2(x-12=4 18。(26-27九年级上四川达州开学考试)解下列方程： 2(x-1)2-8=0 19。(25-26八年级下安微年用期未)解方程：(x+3-1 20.(25-26八年级下·湖南长沙期末)解下列方程： 3(x-10}=27 知识点06：直接开平方法中的符号处理 开平方时，要注意正负号，即x2=p(p≥0)的解为x=±VP。 对于K十m2=p,开平方得x十m=士VP,不要漏掉负号。 当为负数时，注意移项变号。 例如：(x一2)2=9，开平方得x一2=±3，所以x=2+3,即x1=5,3=一1。 另外，当开平方后根号内需要化简时，要化简到最简二次根式。 21.(26-27九年级上浙江金华开学考试)解方程： (3x-4)2=(4x-3)2 22.(26-27九年级上山东聊城开学考试)解方程： (2x+1)2=(x-3)2 2及.（②536九年缓上安散芜湖期中）解方#，r+-(4 24.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)解方程： 4(x-1)2=(x+2 416 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下河北张家口期末)已知甲方程为x-4=9,乙方程为x+=4,则关于甲、乙 两方程的解的情况，下列叙述正确的是() A.甲有两个不相等的解，乙无解 B.甲、乙都有两个不相等的解 C.甲有两个相等的解，乙无解 D.甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 2。(25-26八年级下安徽池州期末)若方程(m-x+4-2= 是关于x的一元二次方程，则m的值 是() A.-1 B.1 C.±1 D.-2 3。(25-26八年级下-江苏南通期末)已知关于x的一元二次方程x+2+4-k= 有实数根，则k的取值 范围是() A.k≥4 B.k>4 C.k≤4 D.k<4 4.(2425九年级上·山西太原阶段检测)一元二次方程4x2-16=0的解是() A.=4,5=-4 B.古=龙=2 1 C.x=2,x2=-2 D. 2 二、填空题 5(25-26八年级下福建厦门期未)若-P=4, ，该方程的解为 6,（2025江苏扬州一模)给出一种运算：对于'= ,规定广= y'=4x3. 例如：若，则有 知少x 则命题“方程'=12。 12的解是x=2或x=-2,是 _命题 516 7.(2425九年级上江西赣州阶段检测)方程x2-25=0的解为 8.(2425九年级上交徽芜湖阶段检测)若方程（x-m=力有解，那么b的取值范国是一 三、解答题 9.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程：x2-36=0. 10.(25-26八年级下山东烟台期末)解方程：3(x-3-25=0, 616 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．2 一元二次方程的解法 课时1 直接开平方法解一元二次方程 ▌课时目标 1. 理解直接开平方法的原理，能识别适用直接开平方法的一元二次方程形式（如x2＝p、(x＋m)2＝p或a(x＋m)2＝n等）。 2. 掌握直接开平方法的步骤，能正确求解形如a(x＋m)2＝n的方程，并注意符号处理和分类讨论（右边常数正负）。 3. 知道当右边常数小于0时，方程无实数解，能根据平方根的性质进行判断，体会化归思想。 ▌课时目录 知识点01：直接开平方法的适用形式 知识点02：直接开平方法的步骤 知识点03：右边为常数但左边是完全平方的识别 知识点04：n＜0时方程无实数解的判断 知识点05：形如a(x＋m)²＝n（a≠0）的方程解法 知识点06：直接开平方法中的符号处理 ▌知识点01：直接开平方法的适用形式 直接开平方法适用于解形如x2＝p、(x＋m)2＝p或a(x＋m)2＝n（a≠0）的一元二次方程，其中方程左边是一个完全平方式，右边是一个常数。 当右边常数p≥0时，可直接开平方求解；当p＜0时，方程无实数解。 1．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）解方程： 【答案】， 【详解】解： 解得，． 2．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）解方程． 【答案】， 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得，； 3．（25-26九年级上·北京东城·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开方法求解即可； 【详解】解：， ， ， ，； 4．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴，； ▌知识点02：直接开平方法的步骤 步骤： 将方程化为左边是含有未知数的完全平方，右边是非负常数的形式； 对方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程（注意正负根）； 解这两个一元一次方程，得到原方程的两个解。 例如：解x2＝9，开平方得x＝±3，即x1＝3, x2＝－3。 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：； 【答案】 【详解】解：， 开平方，得， ∴或， 解得； 6．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法解答； 【详解】解：， 移项，得， 解得：，． 7．（25-26九年级上·北京·阶段检测）解方程： 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： 【答案】 【详解】解： ∴ ▌知识点03：右边为常数但左边是完全平方的识别 判断一个方程是否可用直接开平方法，关键看能否化为(x＋m)2＝p的形式。 常见情况：方程已经给出(x＋2)2＝16；或者可通过移项得到（如x2－5＝0化为x2＝5）。 注意：形如x2＋6x＋9＝4可化为(x＋3)2＝4，也属于适用形式。 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）解方程： 【答案】， 【分析】运用直接开平方法求解方程即可； 【详解】解：， ， 所以或． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】变形后使用直接开平方法求解， 【详解】解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： 【答案】 【详解】解： 解得：； 12．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程：． 【答案】 【分析】利用直接开平方法求解即可； 【详解】解： ， ， ， ； ▌知识点04：n＜0时方程无实数解的判断 根据平方根的性质，负数没有平方根。 因此，当方程化为(x＋m)2＝n且n＜0时，方程无实数解。此 时，可直接写出“原方程无实数解”或“无实数根”。 例如：(x－1)2＝－5，因为右边是负数，所以方程无实数解。 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， 或， ． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程： 【答案】 【分析】利用直接开平方法解答即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程：； 【答案】 【详解】解：， ， 或， ； 16．（25-26八年级下·浙江金华·期末）解下列方程：． 【答案】， 【分析】因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． 【详解】解：两边直接开平方得： ， 当 时，解得 ； 当 时，解得 ． ． ▌知识点05：形如a(x＋m)²＝n（a≠0）的方程解法 对于方程a(x＋m)2＝n（a≠0），先化为(x＋m)2＝的形式，要求≥0。 然后开平方得x＋m＝±，再解出x＝－m±。 注意：当a和n同号时，＞0，有两个实数解；当异号时，＜0，无实数解。 例如：2(x－3)2＝8，化为(x－3)2＝4，开平方得x－3＝±2，解得x1＝5, x2＝1。 17．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】用直接开方法解方程即可； 【详解】解：， ， ， 或， ∴，； 18．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）解下列方程： 【答案】， 【详解】解：移项，得， ∴， ∴， 解得，； 19．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）解方程： 【答案】， 【详解】解：∵, ∴ ∴ 解得，． 20．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程：；． 【答案】， 【分析】用直接开平方法解方程； 【详解】解：原方程整理得， 可得， 解得，． ▌知识点06：直接开平方法中的符号处理 开平方时，要注意正负号，即x2＝p（p≥0）的解为x＝±。 对于(x＋m)2＝p，开平方得x＋m＝±，不要漏掉负号。 当m为负数时，注意移项变号。 例如：(x－2)2＝9，开平方得x－2＝±3，所以x＝2±3，即x1＝5, x2＝－1。 另外，当开平方后根号内需要化简时，要化简到最简二次根式。 21．（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 根据平方根的性质，得：， ∴或， 解得：，． 22．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 开方得， ∴或， 解得，． 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解：二次项系数化为1，得， 开平方得， ，． 24．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程：． 【答案】，； 【详解】解： ， ， 即或， 解得，； ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 4．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，先把方程化为，然后利用直接开平方法解方程即可，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 6．（2025·江苏扬州·一模）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 【答案】真 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法以及判断命题的真假．根据新定义的规定先计算，再解方程，最后进行判断即可． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 所以，命题“方程的解是或”是真命题， 故答案为：真． 7．（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法解一元二次方程． 利用开平方法进行求解即可． 【详解】解： 或． 故答案为：或 8．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）若方程有解，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 三、解答题 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴ 解得，． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）解方程：； 【答案】， 【详解】解：， ， ， 开方得：， ∴，； / 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