第20－21章 二次根式 一元二次方程 满分专练 17天打卡专训 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为主线，融合思维导图与每日打卡，系统覆盖二次根式运算、一元二次方程核心方法及拓展题型，突出逻辑递进与素养导向。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|5天/25题|先化简再合并同类根式；双重根式配方化简|概念（有意义条件）→运算（加减乘除）→化简求值| |一元二次方程|8天/40题|判别式根的情况判断；韦达定理代数式转化；实际问题建模|定义→解法（判别式/韦达定理）→应用（增长率/面积）| |拓展内容|4天/20题|几何法面积拼图求正根；新定义方程转化|代数方法→几何直观→创新应用|

二次根式&一元二次方程 满分专练 17天打卡专训 2026-2027学年沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 熟练掌握二次根式的加、减、乘、除、乘方及混合运算，会进行二次根式的化简与求值。 1. 理解二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式与同类二次根式的概念。 1. 掌握一元二次方程根的判别式，能根据判别式判断方程根的情况。 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能解决求值、求参数等问题。 1. 能列一元二次方程解决增长率、销售利润、几何面积、道路修建等实际问题。 1. 了解几何法解一元二次方程的思想，会用面积拼图法求正数根。 1. 理解新定义方程（如“波浪方程”“根差2方程”），能按定义进行判断和计算。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 二次根式的混合运算 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变；加减法先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。运算顺序与实数混合运算相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 ☆ 2. 二次根式有意义的条件 二次根式 有意义的条件是 ；分式有意义的条件是分母不为 。综合问题中需同时考虑被开方数非负和分母不为零。 ☆ 3. 一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程 （），判别式 。 时方程有两个不相等的实数根； 时有两个相等的实数根； 时没有实数根。 ☆ 4. 一元二次方程根与系数的关系 若 、 是方程 （）的两根，则 ，。常用于求代数式的值、求参数范围等。 ☆ 5. 一元二次方程的应用 常见类型：增长率问题、销售利润问题、几何面积问题（道路、围栏、动点面积）。关键是找准等量关系，建立方程，注意检验根的实际意义。 ☆ 6. 几何法解一元二次方程 利用面积拼图，将方程 转化为大正方形面积，通过求边长得到正数根。例如 ，构造边长为 的正方形，面积为 ，故 ，。 ☆ 7. 新定义方程 题目给出新定义（如“波浪方程”“根差2方程”），需严格按定义转化为方程或不等式求解。 ☆ 8. 双重二次根式的化简 形如 的化简，设法找到两个数 、，使 且 ，则 ，从而化简。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/内容 注意事项 二次根式 形如 （）的式子 被开方数非负；结果要化为最简二次根式 同类二次根式 化简后被开方数相同的二次根式 只有同类二次根式才能合并 一元二次方程 （） 注意二次项系数不为 根的判别式 有实根； 无实根 根与系数的关系 ， 使用前提是方程有实数根 几何法解方程 用面积拼图构造大正方形 只能得到正数根 新定义方程 按题目给出的新规则判断或求解 严格依据定义，注意分类讨论 每日练习·经典题型专练 满分打卡第1天 1．（2025秋•金山区期中）． 【答案】8x236． 【分析】根据二次根式的除法法则运算即可． 【解答】解：原式＝8x236 ＝8x236． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 2．（2025秋•崇明区期中）计算：6（x＞0）． 【答案】． 【分析】根据二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变计算，再把结果化为最简二次根式． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除运算．熟练掌握该知识点是关键． 3．（2025秋•浦东新区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足Δ＝b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2＝1，x1x2．代入整理后的不等式，即可求得m的值． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣2，c＝m+1． ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（m+1）＝﹣4﹣8m． 当﹣4﹣8m≥0，即m时．方程有两个实数根． （2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得 （x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0． 由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2＝1，x1x2． 代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3． 又∵m，且m为整数． ∴m的值为﹣2，﹣1． 【点评】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2，x1x2． 4．（2025秋•金山区期中）已知x、y是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式x+y+m的平方根． 【答案】． 【分析】利用二次根式和分式有意义的条件，可得x和y的值，根据最简二次根式和同类二次根式的定义求出m的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【解答】解：由x2﹣25≥0，25﹣x2≥0，且x+5≠0，得x＝5， ∴y＝0， ∵最简二次根式2（m＜0）与是同类二次根式， ∴m2﹣2＝2， ∵m＜0， ∴m＝﹣2， ∴x+y+m＝5+0﹣2＝3， ∴代数式x+y+m的平方根为． 【点评】本题考查同类二次根式，平方根、二次根式有意义的条件以及最简二次根式，熟练掌握这些定义是正确解答的前提． 5．（2024秋•长宁区月考）校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度；（参考数据：662＝4356，332＝1089） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形，根据草坪的面积是1064m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为ym，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形， 根据题意列一元二次方程得：（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得：x2﹣70x+136＝0， 解得x1＝2，x2＝68（不符合题意，舍去）， 即道路的宽度为2m， 答：道路的宽度为2m； （2）设道路的宽度应设计为ym，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形， 根据题意列一元二次方程得：， 整理得：y2﹣35y+150＝0， 解得y1＝5，y2＝30（不符合题意，舍去）． 即道路的宽度应设计为5m， 答：道路的宽度应设计为5m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 满分打卡第2天 6．（2025秋•杨浦区校级期中）已知x，y是有理数，并且x，y满足，求x+y的值． 【答案】14或8.5． 【分析】将原式化简后得到关于x，y的方程，解方程即可． 【解答】解：， 则2x2y﹣2＝5x+5， 即2x2+（1）y﹣2＝5x+10， 那么2x2﹣y﹣2y＝5x+10， ∵x，y是有理数， ∴2x2﹣y﹣2＝5x，y＝10， ∴2x2﹣10﹣2＝5x， 整理得：2x2﹣5x﹣12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（2x+3）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1.5， 那么x+y＝4+10＝14或﹣1.5+10＝8.5． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（2025秋•黄浦区期中）计算：． 【答案】． 【分析】先根据二次根式的乘除法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 8．（2025秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边为a，b，c．方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值． 【答案】（1）证明给出见解答； （2）k＝1． 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，代入3a﹣2c＝b可得b＝c，代入回a＝2b﹣c得a＝b； （2）根据题意知方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0有两个相等的实数根，据此得Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0，解之可得k＝﹣3或k＝1，代回方程求得x的值，判断是否符合题意即可． 【解答】（1）证明：∵方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c， ∵3a﹣2c＝b． ∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c， 将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵a、b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0二根，且a＝b， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0， 解得：k＝1或k＝﹣3， 当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）； 当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1（符合题意）． 故k＝1． 【点评】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键． 9．（2025秋•闵行区校级期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设月平均增长率为x，已知1月份销售量是5万件，根据增长率公式，2月份销售量为5（1+x）万件，3月份销售量为5（1+x）2万件，列方程，即可解答； （2）设售价应降低y元，已知进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销售20件，售价每降价1元，每天可售出2件；则降价后售价为（100﹣y）元，每天销售量为（20+2y）件，根据每天获利1200元，根据利润＝单件利润×销售量的关系列出方程即可解答； 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 5（1+x）2＝7.2， 解得1+x＝1.2， 即x＝0.2＝20%（已舍去负值）， 答：月平均增长率是20%； （2）设降价y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件， 依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200， 解得：y1＝10，y2＝20， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝20， 答：售价应降低20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 满分打卡第3天 10．（2025秋•上海校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可； （2）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．（2025秋•长宁区校级月考）已知y，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出x、y的值，再把没有部分的分子和分母分解因式，同时求出括号内的值，进行约分，最后合并同类根式，代入求出即可． 【解答】解：∵y， ∴x0且x≥0， 解得：x， 代入得：y＝8， ∴ 2• 2 2 ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中． 12．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则　　 ． 【答案】． 【分析】由条件可知，a2和b2是关于x的二次方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，再计算立方根即可． 【解答】解：由条件可知a2和b2是关于x的二次方程的两个根， 即a2和b2是关于x的二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．（2024秋•水城区期中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】利用销售利润＝售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可． 【解答】解：设每个商品的定价是x元， 由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000， 整理，得x2﹣110x+3000＝0， 解得x1＝50，x2＝60． 当x＝50时，进货180﹣10（50﹣52）＝200个＞180个，不符合题意，舍去； 当x＝60时，进货180﹣10（60﹣52）＝100个＜180个，符合题意． 答：当该商品每个定价为60元时，进货100个． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 满分打卡第4天 14．（2025秋•杨浦区期中）已知，求的值． 【答案】． 【分析】先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【解答】解： ， 把，n＝1代入得： 原式 ． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 15．（2025秋•嘉定区校级月考）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当2≤a≤5时，化简：　3　 ； （2）若等式成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　 ； （3）若，求a的值． 【答案】（1）3； （2）3≤a≤7； （3）或． 【分析】（1）根据已知可得a﹣2≥0，a﹣5≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【解答】解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5）， ＝a﹣2﹣a+5 ＝3， 故答案为：3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3． 当3＜a＜7时，3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7． 当a≥7时，3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7． 综上，a的取值范围是3≤a≤7， 故答案为：3≤a≤7； （3）由题意得，， ∴当a≤﹣1时，a+1≤0，a﹣5＜0， ∴， ∴． 当﹣1＜a＜5时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴， ∴此方程无解，故﹣1＜a＜5，不符合题意； 当a≥5时，a+1＞0，a﹣5≥0， ∴， ∴． 综上，或． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． 16．（2025秋•杨浦区校级期中）已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题可得：α+β＝7，αβ＝8，则α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝33，（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ＝17，而α＞β，则α﹣β，设A3β2，B3，求出A+B及A﹣B即可得出答案． 【解答】解：由题可得：α+β＝7，αβ＝8， 则α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝33，（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ＝17， 而α＞β，则α﹣β， 设A3β2，B3α2， A+B＝2（）+3（α2+β2）3（α2+β2）3×33＝100， A﹣B＝2（）+3（β2﹣α2）3（β+α）（β﹣α）3×7×（）， ∴A（100）（403﹣85）， 即（403﹣85）． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 17．（2025春•南岗区校级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1，x2（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利4250元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 满分打卡第5天 18．（2025秋•虹口区月考）已知，求的值． 【答案】16． 【分析】利用完全平方公式化简求值即可． 【解答】解：， ∴，， ∴． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 19．（2025秋•嘉定区期中）计算：． 【答案】． 【分析】利用二次根式的性质和因式分解的方法得到，再把除法化为乘法，然后约分即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 20．（2025春•杨浦区校级月考）关于x整系数方程x2+ax+b＝0有实根α、β，且α2+β2＜4，求a、b的值． 【答案】a、b的值是﹣2，﹣1或﹣1，﹣1或0，﹣1或1，﹣1或﹣1，0或0，0或1，0或﹣2，1或2，1． 【分析】利用根与系数的关系得到α+β＝﹣a，αβ＝b，由（﹣a）2﹣4b≥0，得到a2≥4b，由α2+β2＜4，得到a2﹣2b＜4，则a2＜4+2b，即可得出4+2b＞4b且4+2b＞0，从而得到﹣2＜b＜2，即可求得a、b的值是﹣2，﹣1或﹣1，﹣1或0，﹣1或1，﹣1或﹣1，0或0，0或1，0或﹣2，1或2，1． 【解答】解：∵关于x整系数方程x2+ax+b＝0有实根α、β， ∴α+β＝﹣a，αβ＝b， ∵（α﹣β）2≥0， ∴（﹣a）2﹣4b≥0， ∴a2≥4b， ∵α2+β2＜4， ∴（α+β）2﹣2αβ＜4， ∴a2﹣2b＜4， ∴a2＜4+2b， ∴4+2b＞4b且4+2b＞0， ∴﹣2＜b＜2， 当b＝﹣1时，则﹣4≤a2＜2，所以a＝﹣2或﹣1或0或1； 当b＝0时，则0≤a2＜4，所以a＝﹣1或0或1； 当b＝1时，则4≤a2＜6，所以a＝﹣2或﹣1或0或1或2； 故a、b的值是﹣2，﹣1或﹣1，﹣1或0，﹣1或1，﹣1或﹣1，0或0，0或1，0或﹣2，1或2，1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，能够理解题意得到b的取值范围是解题的关键． 21．（2025秋•长宁区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t； （2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解． 【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQS△ABC时，t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 【点评】考查三角形的面积公式及解一元二次方程，将数学知识运用在实际问题中． 满分打卡第6天 22．（2025秋•虹口区校级月考）． 【答案】． 【分析】先利用因式分解的方法把分子、分母分组分解，再利用分式的减法运算得到原式，然后约分后分母有理化，最后合并即可． 【解答】解：原式 （） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和因式分解的方法是解决问题的关键． 23．（2025秋•杨浦区校级期中）若α为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根； （1）则方程的另外一个根β＝　　 ，t＝　﹣1　 ； （2）求α6+8β的值． （3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2． 【答案】（1）；﹣1；（2）13；（3）y2﹣3y+1＝0． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解； （2）利用一元二次方程根的意义将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论； （3）分别计算α2+β2与α2•β2的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可． 【解答】解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t， ∴β＝1﹣α＝1， ∴t＝αβ1， 故答案为：，﹣1； （2）∵α为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴α2﹣α﹣1＝0． ∴α2＝1+α． ∴α6＝（α2）3 ＝（1+α）3 ＝1+3α+3α2+α3 ＝1+3α+3（1+α）+α（1+α） ＝1+3α+3+3α+α+α2 ＝1+3α+3+3α+α+1+α ＝8α+5． ∴α6+8β ＝8α+5+8β ＝8（α+β）+5 ＝8×1+5 ＝13． （3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3， α2•β2＝（αβ）2＝1， ∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将α6适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键． 24．（2025秋•虹口区月考）证明：若a、b、c为三个互不相等的正实数，． 【答案】由条件可知： ， 由条件可知、、 互不相等， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】运用作差法列式，然后再运用二次根式的混合运算法则以及完全平方公式说明其大于零即可证明结论． 【解答】解：由条件可知： ， 由条件可知、、 互不相等， ∴，，， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了无理数的大小比较、二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，掌握运用作差法比较无理数大小是解题的关键． 25．（2024•浦东新区校级开学）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】（1）总共生产了9000袋手工汤圆； （2）促销时每袋应降价4元． 【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【解答】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆， 依题意得，， 解得a＝9000， 答：总共生产了9000袋手工汤圆； （2）设促销时每袋应降价x元， 依题意得，前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， ∴（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得x1＝0，x2＝4． ∵要促销， ∴x＝4， 即促销时每袋应降价4元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 满分打卡第7天 26．（2025春•青浦区校级期末）解不等式：． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先移项，进而利用一元一次不等式的解法求出答案． 【解答】解：整理得：xx＜3， 解得：x33， 即x＞﹣33． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法以及二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 27．（2025秋•长宁区校级月考）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以x2+12x＝64的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于x2+12x＝64，因此x（12+x）＝64．如图（1）所示分别以x和x+12为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是x2的小正方形和两个面积是6x的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为64+36＝100，且边长是x+6的正方形． 显然该正方形的边长为10，故x+6＝10，得x＝4． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程x2+4x＝32的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程x2+4x＝32的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为　1　 的小正方形切拼成了一个面积为　36　 ，且边长是x+2　 的正方形． 显然该正方形的边长为x+2　 ，故　（x+2）2＝36　 ，得x＝　4　 ． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程x3+9x2+27x＝973的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体　1　 块；需要准备图（5）中的几何体　3　 块； 需要准备图（6）中的几何体　3　 块；需要准备图（7）中的几何体　1　 块． 请直接写出方程x3+9x2+27x＝973的一个正数根；x＝　7　 ． 【答案】（1）①；②1，36，x+2，x+2，（x+2）2＝36，4； （2）1，3，3，1，7． 【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由x3+9x2+27x＝1•x3+3•3x2+3•9x可得需要准备图（4）中的几何体1块；需要准备图（5）中的几何体3块；需要准备图（6）中的几何体3块，需要准备图（7）中的几何体1块，因此（x+3）2＝973+27＝103，由此求解即可． 【解答】解：（1）①∵x2+4x＝x2+4×x+1， ∴作图如下； ， ②根据①中所画图形求出方程x2+4x＝32的正数根， 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为1的小正方形切拼成了一个面积为32+4＝36，且边长是（x+2）的正方形． 显然该正方形的边长为（x+2），故（x+2）2＝36，得x＝4； 故答案为：1，36，x+2，x+2，（x+2）2＝36，4； （2）x3+9x2+27x＝1•x3+3•3x2+3•9x， 故需要准备图（4）中的几何体1块；需要准备图（5）中的几何体3块；需要准备图（6）中的几何体3块，需要准备图（7）中的几何体1块， 因此（x+3）2＝973+27＝103， 故方程x3+9x2+27x＝973的一个正数根为x＝7． 故答案为：1，3，3，1，7． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． 满分打卡第8天 28．（2024秋•嘉定区校级月考）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　5　 ． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，将代数式变形为（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β），整体代入即可． 【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1， ∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5． 方法二：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴α2﹣2α﹣1＝0，∴α2＝2α+1 ∴α2+2β＝2α+1+2β＝2（α+β）+1＝2×2+1＝5 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 29．（2025秋•浦东新区校级期中）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 【答案】（1）； （2）； （3）a的值为：76或28． 【分析】（1）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （2）根据阅读部分的提示把化为，从而可得答案； （3）由，可得，可得，结合a，x，y为正整数，从而可得答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∵a，x，y为正整数， ∴或， 当时，a＝x2+3y2＝12+3×52＝76， 当时，a＝x2+3y2＝52+3×12＝28， 综上：a的值为：76或28． 【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，二次根式的化简，理解题意，掌握化简的方法是解本题的关键． 满分打卡第9天 30．（2025秋•浦东新区校级月考）已知x为奇数，且，求•的值． 【答案】32． 【分析】利用二次根式的性质确定x的取值范围，再利用x为奇数，得出x的值；利用因式分解把要求的式子化简后再代入求值． 【解答】解：∵， ∴． 解得：7≤x＜9． ∵x为奇数， ∴x＝7． ∵•（x+1）•， ∴原式＝（7+1）8×4＝32． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的性质，利用二次根式的性质确定x的取值范围是解题的关键． 31．（2025秋•虹口区校级月考）化简：． 【答案】3． 【分析】利用乘法公式和二次根式的性质解答即可． 【解答】解：原式 ＝3． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用乘法公式对原式进行化简运算是解题的关键． 32．（2025秋•徐汇区校级月考）如果a、b为质数，且a2﹣13a+m＝0，b2﹣13b+m＝0，那么　2或　 ． 【答案】2或 【分析】分类讨论：当a＝b，易得原式＝2；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣13x+m＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b＝13，ab＝m，利用a、b为不相等的质数得到a＝11，b＝2或a＝2，b＝11，则m＝22，然后把a和b的值代入计算即可． 【解答】解：当a＝b，则原式＝1+1＝2； 当a≠b，则a、b可看作方程x2﹣13x+m＝0的两根， ∵a+b＝13，ab＝m， 而a、b为不相等的质数， ∴a＝11，b＝2或a＝2，b＝11， ∴m＝22， ∴原式， 综上所述，2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 33．（2025春•上海校级月考）某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯．已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为50%．蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动． （1）求y与x的函数解析式（不写定义域）； x（吨） 50 100 150 200 y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 （2）根据市场统计，蓝莓蜜饯的平均销售价为10万元/吨，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润？如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】（1）y＝﹣0.002x+2； （2）该工厂一年能恰好获得780万元的利润，需要采购蓝莓的重量为300吨． 【分析】（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出k、b的值即可得出结果； （2）根据每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为50%，蓝莓蜜钱的平均销售价为10万元/吨，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润，结合（1）的结论，列出一元二次方程，解方程取正数值，再由该工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜钱，减重率为50%，列出一元一次不等式，解不等式与上面的正数值比较即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为：y＝kx+b， 由题意得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为：y＝﹣0.002x+2； （2）该工厂一年能恰好获得780万元的利润，理由如下： 由题意得：10[x﹣50%x]﹣x（﹣0.002x+2）﹣x＝780， 整理得：x2+1000x﹣390000＝0， 解得：x1＝﹣1300（不合题意，舍去），x2＝300， 又∵一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯， ∴x﹣50%x≤200， 解得：x≤400， ∴x＝300，符合题意， ∴需要采购蓝莓的重量为300吨． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是：（1）由待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 满分打卡第10天 34．（2025春•浦东新区校级月考）已知有理数a满足|2011﹣a|a，求a﹣20112的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a的取值范围，则易求去对值，由此可以求得a﹣2012＝20112． 【解答】解：依题意得 a﹣2012≥0，则a≥2012， ∴2011﹣a＜0． 又∵|2011﹣a|a， ∴a﹣2011a， ∴2011， ∴a﹣2012＝20112， ∴a﹣20112＝2012． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 35．（2024秋•闵行区校级月考）先化简，再求值：已知a，求代数式的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的性质把a化简，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：a20， 原式 ＝a﹣1 当a＝2时，原式＝21+23． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、二次根式的化简是解题的关键． 36．（2024•闵行区三模）如果关于x的多项式x2﹣2x+m在实数范围内能因式分解，那么实数m的取值范围是 m≤1　 ． 【答案】m≤1． 【分析】关于x的多项式x2﹣2x+m在实数范围内能因式分解，说明方程x2﹣2x+m＝0有实数根，然后根据一元二次方程根的情况是由判别式决定，从而列出关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣2x+m在实数范围内能因式分解， ∴x2﹣2x+m＝0有实数根， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝m， 则Δ＝b2﹣4ac≥0， （﹣2）2﹣4×1×m≥0， 4﹣4m≥0， ﹣4m≥﹣4， m≤1， ∴实数m的取值范围是：m≤1， 故答案为：m≤1． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握一元二次方程与判别式的关系． 37．（2025秋•长宁区校级月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， （1）如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边AD的长； （2）为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边AB上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形ABCD面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边AD的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）与墙垂直的边AD的长为75m； （2）不能， 设与墙垂直的边AD的长为ym，则与墙平行的边AB的长为（170﹣4y+3×2）m， 由题意可列一元二次方程得，y（170﹣4y+3×2）＝2000， 整理得：y2﹣44y+500＝0， ∵Δ＝（﹣44）2﹣4×1×500＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形ABCD面积扩大到2000平方米． 【分析】（1）设与墙垂直的边AD的长为xm，则与墙平行的边AB的长为（170﹣2x）m，根据“长方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设与墙垂直的边AD的长为ym，则与墙平行的边AB的长为（170﹣4y+3×2）m，根据“长方形ABCD面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【解答】解：（1）设与墙垂直的边AD的长为xm，则与墙平行的边AB的长为（170﹣2x）m， 由题意可列一元二次方程得：x（170﹣2x）＝1500， 整理得，2x2﹣170x+1500＝0， 解得x1＝10，x2＝75， 当x＝10时，170﹣2x＝170﹣2×10＝150＞100，不符合题意，舍去； 当x＝75时，170﹣2x＝170﹣2×75＝20＜100，符合题意； ∴与墙垂直的边AD的长为75m； （2）不能，理由如下： 设与墙垂直的边AD的长为ym，则与墙平行的边AB的长为（170﹣4y+3×2）m， 由题意可列一元二次方程得，y（170﹣4y+3×2）＝2000， 整理得：y2﹣44y+500＝0， ∵Δ＝（﹣44）2﹣4×1×500＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形ABCD面积扩大到2000平方米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 满分打卡第11天 38．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 【答案】． 【分析】先求出关于x的一元二次方程﹣3x2+4xy+2y2＝0的解，再分解因式即可． 【解答】解：令﹣3x2+4xy+2y2＝0， 解得，， 所以﹣3x2+4xy+2y2． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，掌握“ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1、x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）”是正确解答的关键． 39．（2025秋•上海期中）已知m，n，求m2﹣mn+n2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将m2﹣mn+n2变形为（m﹣n）2+mn，然后将m和n的值代入求解即可． 【解答】解：∵m2， n2， ∴m2﹣mn+n2 ＝（m﹣n）2+mn ＝（﹣22）2+（﹣2）（﹣2） ＝20﹣1 ＝19． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于先将m2﹣mn+n2变形为（m﹣n）2+mn，然后将m和n的值代入求解． 40．（2025秋•徐汇区校级月考）如果关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若x1、x2分别是一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且k≠0； （2）不存在，理由： ∵，， ∴， 解得k＝﹣1， 由（1）得，， ∴满足条件的k值不存在． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系，根据将k代入，即可求出k的值，再看是否满足（1）中k的取值范围，从而确定k的值是否存在． 【解答】解：（1）∵k≠0且Δ≥0， ∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4•k•k＝4k+1≥0解得， ∴且k≠0； （2）不存在． ∵，， ∴， 解得k＝﹣1， ∵， ∴满足条件的k值不存在． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式Δ的关系和根与系数的关系是解题的关键． 41．（2025春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　60　 吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨． （2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解． 【解答】解：（1）457.5＝60；（2分） （2）设当售价定为每吨x元时， 由题意，可列方程（x﹣100）（457.5）＝9000．（2分） 化简得x2﹣420x+44000＝0． 解得x1＝200，x2＝220．（6分） 当售价定为每吨200元时，销量更大， 所以售价应定为每吨200元． 【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解． 满分打卡第12天 42．（2025秋•闵行区期中）在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先可将原式变形为（x﹣1）2﹣2，再利用平方差公式分解即可求得答案． 【解答】解：x2﹣2x﹣1 ＝x2﹣2x+1﹣1﹣1 ＝（x﹣1）2﹣2 ＝（x﹣1）（x﹣1）． 【点评】本题考查了实数范围内的因式分解．注意此题将原式变形为（x﹣1）2﹣2是关键． 43．（2025秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y．求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【解答】解：依题意得：x，则y， 所以，2， 所以． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 44．（2025秋•奉贤区期中）阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程x2+10x＝39的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3． 请根据上述材料解决以下问题：（1）用上述几何方法求解方程x2+8x＝20时，先构造面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为　2x （用含x的代数式表示）；构造出的大正方形边长为x+4　 （用含x的代数式表示）； （2）用几何方法求解关于x的方程x2+bx+c＝0（b＞0，c是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为x2的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求b和c的值． 【答案】（1）2x；x+4； （2）b的值为12，c的值为﹣13． 【分析】（1）类比材料中方程的构造逻辑，根据一次项系数求出四个小长方形的总面积，进而得单个长方形面积；通过小长方形的宽推导大正方形边长； （2）将方程变形为材料中的标准形式，利用大正方形面积和小长方形总面积建立等式，求解参数b和c． 【解答】解：（1）∵解方程x2+8x＝20时，先构造面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形， ∴四个小长方形的总面积等于方程左边一次项8x， ∴每个小长方形的面积为：8x÷4＝2x； 小长方形的长为x，则宽为：2x÷x＝2， ∴大正方形的边长为原正方形边长加两个小长方形的宽，即x+2+2＝x+4． 故答案为：2x；x+4； （2）关于x的方程x2+bx+c＝0， 移项得：x2+bx＝﹣c， ∵四个小长方形的总面积为12，且其总面积等于bx， ∴bx＝12； 构造的大正方形边长为，其面积为， ∵x＞0，b＞0， ∴，即； 将代入bx＝12，得：， 整理得：b2﹣14b+24＝0， 解得：b＝12或2； 当b＝12时，得：x＝7﹣6＝1， 代入x2+bx＝﹣c，得：1+12＝﹣c， 解得：c＝﹣13； 当b＝2时，得：x＝7﹣1＝6， 代入x2+bx＝﹣c，得：36+12＝﹣c， 解得：c＝﹣48； 结合几何构造逻辑，b＝12时小长方形宽为3（合理正数）， 故b＝12，c＝﹣13． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解材料中“通过构造正方形与长方形转化面积关系”的核心思路，结合方程形式推导相关量及参数值． 满分打卡第13天 45．（2025秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知a，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先关键a的值求得2，a﹣1＝10，然后把原代数式变形为a﹣1，再进一步代入求得数值即可． 【解答】解：∵a， ∴a＝2， ∴2，a﹣1＝10， ∴ ＝a﹣1 ＝12 ＝3． 【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用完全平方公式把代数式变形，问题简单易懂． 46．（2025秋•嘉定区期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　﹣7　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　2　 ，b＝　3　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　﹣1　 ． 【答案】（1）﹣7； （2）x＝4，图形见详解； （3）2，﹣3，1． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程（x+x+2）2＝144，即可得到方程的另一个根． （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4，画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为x+2，由题意得x（x+2）＝3，整理得x2+2x﹣3＝0，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 【解答】解：（1）由（x+x+2）2＝144得， （2x+2）2＝144， 2x+2＝±12， ∴x1＝5，x2＝﹣7， ∴原方程的另一个根是﹣7． 故答案为：﹣7； （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4， 画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x﹣3）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x﹣3）+32＝4×4+9＝25，因此，可得新的一元二次方程（x+x﹣3）2＝25， ∵x表示边长， ∴2x﹣3＝5， 即x＝4． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为x+2， 由题意得x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×3+4＝16，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝16， ∵x表示边长， ∴2x+2＝4， 即x＝1． ∴方程x2+ax+b＝0的一个正根为x＝1． 故答案为：2，﹣3，1． 【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 47．（2025秋•闵行区期中）用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形仓库（如图所示），若要求围成的长方形面积为60米2，并且这堵墙长10米，在与墙平行的一边，开一扇宽2米的门（门不占用篱笆材料），问：该长方形相邻两边长要取多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为（20﹣2x+2）米，而仓库的面积为60米2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得（20﹣2x+2）x＝60， x2﹣11x+30＝0， （x﹣6）（x﹣5）＝0， ∴x1＝6或x2＝5， 当x1＝6时，20﹣2x+2＝10； 当x2＝5时，20﹣2x+2＝12＞10，不合题意舍去． 答：该长方形相邻两边长要取10米，6米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 满分打卡第14天 48．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：（x2+6x）2+8（x2+6x）﹣9． 【答案】． 【分析】把x2+6x看作整体，再因式分解为（x2+6x+9）（x2+6x﹣1），最后再次进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝（x2+6x+9）（x2+6x﹣1） ． 【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 49．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）△PBQ的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒； （2）不能，理由见解析． 【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP＝xcm，BQ＝2xcm，BP＝（6﹣x）cm，根据△PBQ的面积等于8平方厘米，列出一元二次方程，解方程即可； （2）设运动时间为x秒，根据“△PBQ的面积等于10平方厘米”，列出一元二次方程，解方程即可判断． 【解答】解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）（cm）， 由题意得：（6﹣x）×2x＝8， 解得：x1＝2，x2＝4， 答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8平方厘米； （2）△PBQ的面积不能等于10平方厘米，理由如下： 设运动时间为x秒，△PBQ的面积等于10平方厘米， 由题意得：（6﹣x）•2x＝10， 整理得：x2﹣6x+10＝0， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×10＝﹣4＜0， ∴原方程无实数根， ∴△PBQ的面积不能等于10平方厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 50．（2025秋•虹口区校级期中）已知2，且a+b＝2，请化简并求值以下代数式：． 【答案】见试题解答内容 【分析】解方程得出x＝2，再分母有理化，化简得出原式＝4x+2，最后代入求出即可． 【解答】解：2， b（x﹣b）＝2ab﹣a（x﹣a）， bx+ax＝（a+b）2， ∵a+b＝2， ∴2x＝4， ∴x＝2， ∴ ＝x+1﹣2x+x+1+2x ＝4x+2 ＝4×2+2 ＝10． 【点评】本题考查了分母有理化、解一元一次方程、二次根式的化简求出值等知识点，能正确分母有理化和求出x的值是解此题的关键． 满分打卡第15天 51．（2025秋•宝山区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程x2+3x﹣8＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2+bx﹣1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值； （3）若一个波浪方程mx2+nx+p＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，求这个波浪方程． 【答案】（1）方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程，理由： 由题意得，a＝1，b＝3，c＝﹣8， ∴3a+2b+c＝1＝3+6﹣8＝1， ∴方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程； （2）； （3）﹣x2+3x﹣2＝0． 【分析】（1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到3a+2b＝2①，再由一元二次方程的解的定义得到4a+2b﹣1＝0②，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出n＝﹣3m，p＝2m，根据波浪方程的定义得到3m+2n+p＝1，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程，理由如下： 由题意得，a＝1，b＝3，c＝﹣8， ∴3a+2b+c＝1＝3+6﹣8＝1， ∴方程x2+3x﹣8＝0为波浪方程； （2）由条件可知3a+2b+c＝1，且c＝﹣1， ∴3a+2b＝2①， ∵x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0的一个根， ∴4a+2b﹣1＝0②， 联立①②解得； （3）由条件可知，，3m+2n+p＝1， ∴n＝﹣3m，p＝2m， ∴3m﹣6m+2m＝1， ∴m＝﹣1，n＝3，p＝﹣2， ∴这个波浪方程为﹣x2+3x﹣2＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： 52．（2025秋•宝山区校级期中）已知：a，化简并求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】先化简a，再化简所求的代数式，代入a的值进行计算即可． 【解答】解：a1， 原式 ＝a﹣1， 原式1﹣11 ＝21． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简是解题的关键． 53．（2024秋•上海校级期中）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36﹣3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可． 【解答】解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米， x（36﹣3x）＝96， 解得：x1＝4，x2＝8， 当x＝4时， 36﹣3x＝24＞20（不合题意，舍去）， 当x＝8时， 36﹣3x＝12． 答：AB＝8米，BC＝12米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长． 满分打卡第16天 54．（2025秋•浦东新区校级月考）观察下面的式子： S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1 （1）计算：　　 ，　　 ；猜想　　 （用n的代数式表示）； （2）计算：S（用n的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1111，再转换成n+（1） 即可求出答案． 【解答】（1）解：∵S1＝1， ∴； ∵S2＝1， ∴； ∵S3＝1， ∴； ∵Sn＝1， ∴， 故答案为：，，； （2）解：S ＝1111 ＝n+（1） ＝n+1， ． 【点评】本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度． 55．（2025•黄浦区校级模拟）已知方程a（2x+a）＝x（1﹣x）的两个实数根为x1，x2，设． （1）当a＝﹣2时，求S的值； （2）当a取什么整数时，S的值为1； （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把a＝﹣2代入方程，求得方程的两根，进而求得S的值． （2）S的值为1，则方程一定有两根非负的实数，即△≥0，且两根的和大于0，两根的积大于或等于0，根据一元二次方程根与系数的关系即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，再根据S的值为1，即S2＝x1+x2+21﹣2a+2|a|＝1．即可确定a的值； （3）S2的值不小于25，即S2＝x1+x2+21﹣2a+2|a|≥25．结合（2）中求得的a的范围，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝﹣2时，原方程化为x2﹣5x+4＝0． 解得x1＝4，x2＝1． ∴S＝2+1＝3． （2）S，s2＝x1+x2+2． ∴a（2x+a）＝x（1﹣x）． 整理得：x2+（2a﹣1）x+a2＝0． 当x2+（2a﹣1）x+a2＝0时△≥0． ∴（2a﹣1）2﹣4a2≥0． 解得a≤0.25． ∵x1+x2＝1﹣2a，x1×x2＝a2． S2＝x1+x2+21﹣2a+2|a|＝1． 当a≥0，1﹣2a+2a＝1，有1＝1． 当a＜0时，1﹣2a﹣2a＝1，有a＝0（不合设定，舍去）． 当0≤a≤0.25时，S的值为1． ∵a为整数， ∴a＝0时，S的值为1． （3）S2＝x1+x2+21﹣2a+2|a|≥25． ∴只有当a＜0时，有1﹣2a﹣2a≥25． 解得a≤﹣6． ∴a≤﹣6时，S2的值不小于25． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，（2）（3）求a的值或a的取值范围，都是依据S2＝x1+x2+21﹣2a+2|a|转化为方程或不等式问题． 56．（1998•上海）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实根是α、β，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝﹣2，再变形以得到，然后利用整体思想计算即可． 【解答】解：根据题意得α+β＝3，αβ＝﹣2， 所以． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 满分打卡第17天 57．（2025秋•崇明区期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是 　①②　 （填序号）； ①x2＝1，②x2﹣2x+1＝0，③x（x﹣3）＝0． （2）已知关于x的方程x2+（a﹣1）x+8＝0（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+n＝0和x2+（n﹣1）x+m＝0都是“根差2方程”，（m≠n）试求m、n间的数量关系． 【答案】（1）①②； （2）7或﹣5； （3）m+n＝﹣2． 【分析】（1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣a，x1x2＝8，再根据“根差2方程”的定义可得x1﹣x2＝2，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即（m﹣1）2﹣4n＝（n﹣1）2﹣4m，然后化简即可解答． 【解答】解：（1）①x2＝1的解为x1＝﹣1，x2＝1，x2﹣x1＝2，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，x1﹣x2＝2，则该方程为“根差2方程”； ③x（x﹣3）＝0的解为x1＝0，x2＝3，x2﹣x1＝3，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）设关于x的方程x2+（a﹣1）x+8＝0的解为x2，x1，则x1+x2＝1﹣a，x1x2＝8， ∴x1﹣x2＝2，即， ∴，解得：a＝7或﹣5． （3）由条件可知： ，， ∴（m﹣1）2﹣4n＝（n﹣1）2﹣4m， ∵m≠n ∴m+n＝﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 58．（2024秋•嘉定区校级期末）某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把两条路平移到长方形的上面和左面，相应的等量关系为：（长﹣道路宽）×（宽﹣道路宽）＝135×4，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设道路宽为x米． （32﹣x）（20﹣x）＝135×4， 整理，得 x2﹣52x+100＝0， 解得：x1＝2，x2＝50， ∵x＜20， ∴x＝2． 答：道路宽为2米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解决本题的难点是把两条道路进行平移得到草地面积的等量关系． 59．（2025秋•崇明区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）≥0，求出不等式的解集即可； （2）将满足x1x2+12转化为m2﹣8m+19＝12，再解关于m的方程即可解答． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0， 解得：m≤3， 即m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19， ∵x1x2+12， ∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0， 解得m＝1或m＝7， ∵m≤3， ∴m＝1， 故m的值为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2、x1x2找出关于m的一元二次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式&一元二次方程 满分专练 17天打卡专训 2026-2027学年沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 熟练掌握二次根式的加、减、乘、除、乘方及混合运算，会进行二次根式的化简与求值。 1. 理解二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式与同类二次根式的概念。 1. 掌握一元二次方程根的判别式，能根据判别式判断方程根的情况。 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能解决求值、求参数等问题。 1. 能列一元二次方程解决增长率、销售利润、几何面积、道路修建等实际问题。 1. 了解几何法解一元二次方程的思想，会用面积拼图法求正数根。 1. 理解新定义方程（如“波浪方程”“根差2方程”），能按定义进行判断和计算。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 二次根式的混合运算 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变；加减法先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。运算顺序与实数混合运算相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 ☆ 2. 二次根式有意义的条件 二次根式 有意义的条件是 ；分式有意义的条件是分母不为 。综合问题中需同时考虑被开方数非负和分母不为零。 ☆ 3. 一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程 （），判别式 。 时方程有两个不相等的实数根； 时有两个相等的实数根； 时没有实数根。 ☆ 4. 一元二次方程根与系数的关系 若 、 是方程 （）的两根，则 ，。常用于求代数式的值、求参数范围等。 ☆ 5. 一元二次方程的应用 常见类型：增长率问题、销售利润问题、几何面积问题（道路、围栏、动点面积）。关键是找准等量关系，建立方程，注意检验根的实际意义。 ☆ 6. 几何法解一元二次方程 利用面积拼图，将方程 转化为大正方形面积，通过求边长得到正数根。例如 ，构造边长为 的正方形，面积为 ，故 ，。 ☆ 7. 新定义方程 题目给出新定义（如“波浪方程”“根差2方程”），需严格按定义转化为方程或不等式求解。 ☆ 8. 双重二次根式的化简 形如 的化简，设法找到两个数 、，使 且 ，则 ，从而化简。 ☆ 知识总结表 核心概念 定义/内容 注意事项 二次根式 形如 （）的式子 被开方数非负；结果要化为最简二次根式 同类二次根式 化简后被开方数相同的二次根式 只有同类二次根式才能合并 一元二次方程 （） 注意二次项系数不为 根的判别式 有实根； 无实根 根与系数的关系 ， 使用前提是方程有实数根 几何法解方程 用面积拼图构造大正方形 只能得到正数根 新定义方程 按题目给出的新规则判断或求解 严格依据定义，注意分类讨论 每日练习·经典题型专练 满分打卡第1天 1．（2025秋•金山区期中）． 2．（2025秋•崇明区期中）计算：6（x＞0）． 3．（2025秋•浦东新区期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实根． （1）求实数m的取值范围； （2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值． 4．（2025秋•金山区期中）已知x、y是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式x+y+m的平方根． 5．（2024秋•长宁区月考）校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度；（参考数据：662＝4356，332＝1089） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 满分打卡第2天 6．（2025秋•杨浦区校级期中）已知x，y是有理数，并且x，y满足，求x+y的值． 7．（2025秋•黄浦区期中）计算：． 8．（2025秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边为a，b，c．方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值． 9．（2025秋•闵行区校级期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 满分打卡第3天 10．（2025秋•上海校级期中）计算： （1）； （2）． 11．（2025秋•长宁区校级月考）已知y，求的值． 12．（2025秋•长宁区校级月考）若a，b，c，d为互不相等的实数，且满足，则　 　 ． 13．（2024秋•水城区期中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 满分打卡第4天 14．（2025秋•杨浦区期中）已知，求的值． 15．（2025秋•嘉定区校级月考）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）． 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当2≤a≤5时，化简：　 　 ； （2）若等式成立，则a的取值范围是　 　 ； （3）若，求a的值． 16．（2025秋•杨浦区校级期中）已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求的值． 17．（2025春•南岗区校级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 满分打卡第5天 18．（2025秋•虹口区月考）已知，求的值． 19．（2025秋•嘉定区期中）计算：． 20．（2025春•杨浦区校级月考）关于x整系数方程x2+ax+b＝0有实根α、β，且α2+β2＜4，求a、b的值． 21．（2025秋•长宁区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 满分打卡第6天 22．（2025秋•虹口区校级月考）． 23．（2025秋•杨浦区校级期中）若α为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根； （1）则方程的另外一个根β＝　 　 ，t＝　 　 ； （2）求α6+8β的值． （3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2． 24．（2025秋•虹口区月考）证明：若a、b、c为三个互不相等的正实数，． 25．（2024•浦东新区校级开学）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 满分打卡第7天 26．（2025春•青浦区校级期末）解不等式：． 27．（2025秋•长宁区校级月考）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以x2+12x＝64的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于x2+12x＝64，因此x（12+x）＝64．如图（1）所示分别以x和x+12为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是x2的小正方形和两个面积是6x的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为64+36＝100，且边长是x+6的正方形． 显然该正方形的边长为10，故x+6＝10，得x＝4． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程x2+4x＝32的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程x2+4x＝32的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为　 　 的小正方形切拼成了一个面积为　 　 ，且边长是　 　 的正方形． 显然该正方形的边长为　 　 ，故　 　 ，得x＝　 　 ． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程x3+9x2+27x＝973的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体　 　 块；需要准备图（5）中的几何体　 　 块； 需要准备图（6）中的几何体　 　 块；需要准备图（7）中的几何体　 　 块． 请直接写出方程x3+9x2+27x＝973的一个正数根；x＝　 　 ． 满分打卡第8天 28．（2024秋•嘉定区校级月考）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　 　 ． 29．（2025秋•浦东新区校级期中）数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．有这样一类题目：如何将双重二次根式化简，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且，则可变形为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得以化简．例如： ∵ ∴ 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且a，x，y为正整数，求a的值． 满分打卡第9天 30．（2025秋•浦东新区校级月考）已知x为奇数，且，求•的值． 31．（2025秋•虹口区校级月考）化简：． 32．（2025秋•徐汇区校级月考）如果a、b为质数，且a2﹣13a+m＝0，b2﹣13b+m＝0，那么　 　 ． 33．（2025春•上海校级月考）某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯．已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为50%．蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动． （1）求y与x的函数解析式（不写定义域）； x（吨） 50 100 150 200 y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 （2）根据市场统计，蓝莓蜜饯的平均销售价为10万元/吨，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润？如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 满分打卡第10天 34．（2025春•浦东新区校级月考）已知有理数a满足|2011﹣a|a，求a﹣20112的值． 35．（2024秋•闵行区校级月考）先化简，再求值：已知a，求代数式的值． 36．（2024•闵行区三模）如果关于x的多项式x2﹣2x+m在实数范围内能因式分解，那么实数m的取值范围是 　 　 ． 37．（2025秋•长宁区校级月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， （1）如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边AD的长； （2）为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边AB上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形ABCD面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边AD的长；若不能，请说明理由． 满分打卡第11天 38．（2024秋•闵行区月考）在实数范围内因式分解：﹣3x2+4xy+2y2． 39．（2025秋•上海期中）已知m，n，求m2﹣mn+n2的值． 40．（2025秋•徐汇区校级月考）如果关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若x1、x2分别是一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0的两个实数根，是否存在实数k，使得，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 41．（2025春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是　 　 吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 满分打卡第12天 42．（2025秋•闵行区期中）在实数范围内分解因式x2﹣2x﹣1． 43．（2025秋•浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y．求的值． 44．（2025秋•奉贤区期中）阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程x2+10x＝39的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3． 请根据上述材料解决以下问题：（1）用上述几何方法求解方程x2+8x＝20时，先构造面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为　 　 （用含x的代数式表示）；构造出的大正方形边长为　 　 （用含x的代数式表示）； （2）用几何方法求解关于x的方程x2+bx+c＝0（b＞0，c是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为x2的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求b和c的值． 满分打卡第13天 45．（2025秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知a，求的值． 46．（2025秋•嘉定区期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　 　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　 　 ，b＝　 　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　 　 ． 47．（2025秋•闵行区期中）用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形仓库（如图所示），若要求围成的长方形面积为60米2，并且这堵墙长10米，在与墙平行的一边，开一扇宽2米的门（门不占用篱笆材料），问：该长方形相邻两边长要取多少米？ 满分打卡第14天 48．（2025秋•徐汇区校级月考）在实数范围内因式分解：（x2+6x）2+8（x2+6x）﹣9． 49．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）△PBQ的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 50．（2025秋•虹口区校级期中）已知2，且a+b＝2，请化简并求值以下代数式：． 满分打卡第15天 51．（2025秋•宝山区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程x2+3x﹣8＝0是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程ax2+bx﹣1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值； （3）若一个波浪方程mx2+nx+p＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，求这个波浪方程． 52．（2025秋•宝山区校级期中）已知：a，化简并求的值． 53．（2024秋•上海校级期中）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？ 满分打卡第16天 54．（2025秋•浦东新区校级月考）观察下面的式子： S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1 （1）计算：　 　 ，　 　 ；猜想　 　 （用n的代数式表示）； （2）计算：S（用n的代数式表示）． 55．（2025•黄浦区校级模拟）已知方程a（2x+a）＝x（1﹣x）的两个实数根为x1，x2，设． （1）当a＝﹣2时，求S的值； （2）当a取什么整数时，S的值为1； （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 56．（1998•上海）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实根是α、β，求的值． 满分打卡第17天 57．（2025秋•崇明区期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“根差2方程”． （1）根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是 　 　 （填序号）； ①x2＝1，②x2﹣2x+1＝0，③x（x﹣3）＝0． （2）已知关于x的方程x2+（a﹣1）x+8＝0（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+n＝0和x2+（n﹣1）x+m＝0都是“根差2方程”，（m≠n）试求m、n间的数量关系． 58．（2024秋•嘉定区校级期末）某校的分校区规划时决定在长为32米，宽为20米的长方形草坪中央修筑同样宽的两条互相垂直的小路，把长方形草坪分割成同样面积的四块小草坪，每块小草坪的面积为135平方米，问道路的宽是多少米？ 59．（2025秋•崇明区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $