专题02 一元二次方程的实际应用（六大题型）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题02 一元二次方程的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、增长率问题（常考点） 1 题型二、循环问题 2 题型三、数字问题 2 题型四、营销问题（重点） 2 题型五、与图形有关的问题（难点） 4 题型六、动态几何问题（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、增长率问题 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）一种球鞋原售价每双200元，经过两次降价，清仓处理价为元，若设平均每次降价率为x，则据题意可列出的方程是 ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）国庆期间，南京东路某商场为了吸引游客，对某种商品连续两次降价，每次下降百分率相同．已知该商品原售价为875元，降价两次后的售价为560元，若设下降的百分率为，那么根据题意可以列方程为 ． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，则这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 ． 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为 ． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 题型二、循环问题 8．（24-25八年级上·上海·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 9．（25-26八年级上·上海长宁·月考）有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 10．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 题型三、数字问题 11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 12．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 13．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 题型四、营销问题 14．某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 15．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 16．某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？ 17．（24-25八年级上·上海·期中）“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 18.小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 20．（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 题型五、与图形有关的问题 21．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 22．（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 ． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占面积为长方形的临时仓库，已知墙的长度为60米，如图所示，设所围成的长方形的面积为1600平方米，求长方形的宽x为多少米？ 24．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 25．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 26．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 题型六、动态几何问题 27．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 28.在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）2023年工厂的生产总值为1000万元，估计2025年三年的生产总值之和为3333万，设这两年的平均增长率为，请列出方程： ． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 3．（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）某药店购进一批防护面罩和口罩，购进防护面罩花费1500元，口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比口罩的单价多2元，购进口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是多少元？ 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）2012年以来，我国屡次实施药品降价，已知某种药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率相同，结合表中的信息求这个百分率及表中的值． 年份 2012 2013 2014 药品的价格（元） 80 m 5．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 6．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 8．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以x和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为________，且边长是________的正方形． 显然该正方形的边长为________，故________，得________． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块； 需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块． 请直接写出方程的一个正数根； ________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、增长率问题（常考点） 1 题型二、循环问题 3 题型三、数字问题 4 题型四、营销问题（重点） 4 题型五、与图形有关的问题（难点） 8 题型六、动态几何问题（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、增长率问题 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【答案】 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）一种球鞋原售价每双200元，经过两次降价，清仓处理价为元，若设平均每次降价率为x，则据题意可列出的方程是 ． 【答案】 【详解】解：依题意，可列出的方程是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）国庆期间，南京东路某商场为了吸引游客，对某种商品连续两次降价，每次下降百分率相同．已知该商品原售价为875元，降价两次后的售价为560元，若设下降的百分率为，那么根据题意可以列方程为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，则这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【详解】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， ， ， ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 故答案为： 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为 ． 【答案】 【详解】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 【详解】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得： ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 题型二、循环问题 8．（24-25八年级上·上海·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【答案】 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海长宁·月考）有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则有 支球队． 【答案】10 【详解】解：设共有支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为， 根据题意，有， 方程两边同时乘以2，得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 由于球队数量为正整数， 故， 故答案为：10． 10．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 题型三、数字问题 11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 【答案】84 【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解得：x1＝8，x2＝1.5（舍）， ∴x﹣4＝4， ∴10x+（x﹣4）＝84． 答：这个两位数为84． 故答案为：84 12．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 【答案】23 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 13．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 题型四、营销问题 14．某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价． 【答案】40元 【详解】解：设每盒茶叶的进价为元． ． 解得：或， 经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去． 答：每盒茶叶的进价为40元． 15．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 16．某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？ 【详解】解：设这周每只文具盒的售价为x元， 由题意知：， 整理得， 解得， 即这周每只文具盒的售价为35元． 17．（24-25八年级上·上海·期中）“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 【详解】（1）解：设8月份卖出“美心”月饼盒， 则8月份卖出“杏花楼”月饼盒， 根据题意可知：， 整理得， 解得， 答：8月份卖出“美心”月饼盒． （2）解：根据题意可知，9月份“美心”月饼的售价为， 9月份“美心”月饼的销售量为， 9月份“杏花楼”月饼的售价为， 9月份“杏花楼”月饼的销售量为， ， 整理得， 解得，， ， ． 故答案为：，，． 18.小丽的叔叔分别用元和元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地每件便宜元，从乙地购进的商品数量比甲地购进的商品数量多件，如果小丽的叔叔按每件元销售该商品，且全部销售完，那么小丽的叔叔从甲地共购进商品多少件？总共可赚多少元？ 【详解】解：首先设乙地商品进价为元，则甲地商品进价为元，根据题意可得： 解得：或舍去， 经检验是方程的解， ， 答：小丽的叔叔从甲地购进商品件， ， 答：小丽的叔叔可赚元． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 【详解】（1）解：解：设每件降价元， 由题意得，， 整理得 或， 答：想达到每天盈利1600元，每件可降价4元或36元； （2）解：解：设每件降价元，每天盈利为W元， 则 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，盈利最大， 答：想盈利达到最大值，每件可降价20元． 20．（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 题型五、与图形有关的问题 21．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 【答案】 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为米， 依题意得，即， 故答案为：． 22．（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2， ∴， ∴， ∵中间围成的正方形面积为2， ∴边长为， ∴， ∵，x表示边长， ∴． ∴． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围成一个所占面积为长方形的临时仓库，已知墙的长度为60米，如图所示，设所围成的长方形的面积为1600平方米，求长方形的宽x为多少米？ 【详解】解：设长方形的宽为米，则平行于墙的一边为米． 根据题意得． 解得，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，． 答：长方形的宽为40米． 24．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形仓库的长和宽分别是米、米． 25．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 26．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 题型六、动态几何问题 27．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 28.在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即． 答：经过2秒，的面积为． 29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）2023年工厂的生产总值为1000万元，估计2025年三年的生产总值之和为3333万，设这两年的平均增长率为，请列出方程： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．可以设存款利率为，第一年提取元后存款为，第二年后可得存款为，此题得解． 【详解】解：设存款利率为，则第一年提取200元后存款为， 根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·上海奉贤·阶段练习）某药店购进一批防护面罩和口罩，购进防护面罩花费1500元，口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比口罩的单价多2元，购进口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是多少元？ 【答案】该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是5元，3元 【知识点】分式方程的经济问题、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该药店购进防护面罩的单价是元，则购进口罩的单价是（）元，利用数量= 总价÷单价，结合购进口罩比防护面罩多100个，即可列出关于的分式方程，解之检验后即可得解． 【详解】解：设该药店购进防护面罩的单价是元，则购进口罩的单价是（）元，依题意得： ， 整理得：， 解得： ，（不合题意，舍去）； 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； 故该药店购进的防护面罩和口罩的单价各是5元，3元． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）2012年以来，我国屡次实施药品降价，已知某种药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率相同，结合表中的信息求这个百分率及表中的值． 年份 2012 2013 2014 药品的价格（元） 80 m 【答案】该药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率为， 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率为x，则2013年的药品的价格为元，则2014年的药品的价格为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设该药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率为， ∴． 5．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 6．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 8．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 9．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 10．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以x和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为________，且边长是________的正方形． 显然该正方形的边长为________，故________，得________． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块； 需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块． 请直接写出方程的一个正数根； ________． 【答案】(1)①见解析；②，，，，， (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意作图如下： ， ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： ， 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此， 故方程的一个正数根为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $