精品解析：陕西省宝鸡市宝鸡中学2026-2027学年高二第一学期学情调研数学试卷

宝鸡中学2025级高二第一学期学情调研 数学 本试卷共四大题，21小题：考试时长120分钟，卷面满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53， 因为，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数. 故选：B. 2. 如图，水平放置的的斜二测直观图是，其中，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则：与轴平行长度保持不变，与轴平行的长度变为原来的一半，恢复原图形长度，再根据勾股定理即可求解. 【详解】根据斜二测画法和可知：. 所以. 故选：. 3. 为了更好地打造“千年商港，幸福温州”的城市新定位，温州市博物馆陶瓷馆巡礼中展示了温州出土的瓯窑青釉褐彩瓜形盖罐（南朝）、青釉点彩盘口鸡首壶（东晋）和瓯窑虎形灯座（东晋）三件文物，若将三件文物排成一排进行巡展，则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】三件不同的文物排成一排，共有种；瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间位置，剩余2件文物排在首尾的有种；则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率为. 4. 某中学高二1班共有50名同学，其中男生30名，女生20名，采用按比例分层随机抽样方法，从全班学生中抽取20人测量其身高（单位：）．已知在抽取的样本中，男生的平均身高为，女生的平均身高为，由此估计该班全体学生的平均身高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样、平均数等知识求得正确答案. 【详解】因为抽样比例为，则样本中男生有人，女生有人， 所以样本的平均身高为， 由此估计该班全体学生的平均身高约为． 故选：D 5. 不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ） A. ，， B. ， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面与平面的位置关系判断. 【详解】由不同的直线和，不同的平面，，，知： 若，，，则与相交或平行，故不正确； 若，，则与相交或平行，故B不正确； 若，，，则由平面平行的判定定理知，故C正确； 若，，，则与相交或平行，故D不正确. 故选：C. 6. 已知一组数据，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，的平均数与方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，的平均数，其方差. 故选：C. 7. 现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 8. 已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件中的垂直关系结合线面角定义，确定直线与平面，平面和平面所成的角，求出各角正弦、余弦的表达式，逐项验证求解即可. 【详解】 如图所示，设，，， 因为平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为为矩形，所以为直角三角形， 所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方体的性质，面面平行的性质即可判断A选项；根据平行四边形性质，及三角形中位线定理即可判断B选项；通过寻找直线与平面的交点来判断线面位置关系来判断C选项；根据面面平行的判定定理即可判断D选项． 【详解】对于A选项，在正方体中，平面平面， 由于，分别是，的中点，则平面， 所以平面，故A选项正确； 对于B选项，连接，， 在正方体中，，且， 则四边形是平行四边形，所以， 在中，，分别是，的中点，则， 所以，故B选项正确； 对于C选项，在中，，分别是，的中点，所以， 由平面，即平面，而平面， 所以与平面相交，故C选项错误； 对于D选项，由于，平面，， 所以与相交，所以面与平面相交，故D选项错误． 10. 设，为两个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则，为相互独立事件 B. 若，，，则，为相互独立事件 C. 若，，，则，为相互独立事件 D. 若，为互斥事件，且，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由得，则，即，不符合独立条件，故A错误； 对于B，由，得，符合独立事件定义，故B正确； 对于C，由得，则，符合独立事件定义，故C正确； 对于D，，为互斥事件得，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若动点位于正方体侧面上，且满足，则动点的轨迹长度为2 C. 当点与点重合时，二面角的正切值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以作为三棱锥的底面，计算点到的距离的最大值即可求出三棱锥体积的最大值判断A；将转化为与过点的平面相垂直，这个平面与的交线长度即为点的轨迹长度判断B ；过点，作垂线垂直于，交点为点，的大小即为二面角的大小，连接，由余弦定理算出的余弦值，再算出其正弦值，即可算出其正切值的大小判断C；设点在平面的投影为，根据直线与平面所成的角为得到，分类讨论求出点在每个面的轨迹长度即可求出点的轨迹长度判断D. 【详解】对于A，以作为三棱锥的底面， 则由题可得为等边三角形，且， 所以， 当点在点处时，点到的距离取得最大值，大小为体对角线的， 设为，则， 所以三棱锥体积的最大值； 对于B，过点作，垂足为点，延长，交于点， 过点作，连接，因为平面，且平面， 所以，且， 故四边形为长方形，同理可得， 因为，，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，，符合题意，且平面平面， 所以点的轨迹为，故点的轨迹长度为2； 对于C，连接，，，，， 则，， ， 则，为等腰三角形，取中点，连接，， 则，，， 所以是等腰三角形，且的大小即为二面角的大小， 由余弦定理可得， 则， 则，即二面角的正切值为； 对于D，设点在平面的投影为，连接，，， 则平面， 因为直线与平面所成的角为，所以|， 若点在平面上，则|，连接，则， 故点在以为圆心，半径为2的圆上，如图所示， 该圆与平面交线为圆弧，故轨迹长度为； 若点在平面上，易得直线与平面所成的角为0，不符题意，舍去； 若点在平面上，连接，易得，， 故点在线段上，； 同理，若点在平面上，； 若点在平面上，则， ，不符题意，舍去； 同理点在平面上，，不符题意，舍去， 综上所述，点的轨迹长度为. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的意义可以判定的位置，然后利用展开方法求得的最小值. 【详解】取的靠近的四等分点，连接，由题意得为线段上的动点， 将展开到与在同一平面内，如图所示： ,，， 所以的最小值为， 故答案为：. 15. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求线段的长． （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【小问1详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. 【小问2详解】 ，，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 17. 年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数（保留两位小数）． （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1），平均数为，第60百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出参数，再根据频率分布直方图的性质，求出总体的平均数和第60百分位数的估计值； （2）根据分层随机抽样的均值和方差的性质，根据总体方差的公式，求出第四组方差即可. 【小问1详解】 可知频率分布直方图组距为，所以，解得， 平均数为， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 则第百分位数为. 【小问2详解】 这名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得. 18. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】（1） 因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 19. 甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件为甲胜乙，为甲胜丙，为乙胜丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性，即可得出答案； （2）分最终的冠军为甲，乙，丙，分别求解出概率，然后根据互斥事件的概率公式，即可得出答案. 【小问1详解】 记事件为甲胜乙，则，则， 事件为甲胜丙，则，， 事件为乙胜丙，则，. 则丙被淘汰可用事件来表示， 所以，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为 . 【小问2详解】 若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， . 所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为 . 20. 如图，在矩形ABCD中，，Q为CD的中点，将沿AQ翻折至，使得二面角P-AQ-D的大小为． （1）若，求证：平面平面； （2）若，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． 【答案】（1）在矩形中，， 所以根据勾股定理得， 而，所以，所以. 因为二面角为直二面角，所以二面角也是直二面角， 又平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和面面垂直的性质，先证明平面，进而得出结论. （2）根据线面角的定义计算夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接交于点,连接，因,则， 则二面角的平面角为，故二面角的平面角为， 易得，则四边形是平行四边形，因此，, 过点作于，则， 因为，，平面，则平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 因，，则为等边三角形，则， 因为，由余弦定理， 故 设点到平面的距离为，因， 可得，解得 在中，，即点为中点， 在中，,由余弦定理，， 因为平面，且平面，则,则， 设直线PC与平面PAB所成角为，则， 即直线PC与平面PAB所成角的正弦值为. 21. 如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 【答案】（1） 设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2） 【解析】 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡中学2025级高二第一学期学情调研 数学 本试卷共四大题，21小题：考试时长120分钟，卷面满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 2. 如图，水平放置的的斜二测直观图是，其中，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 为了更好地打造“千年商港，幸福温州”的城市新定位，温州市博物馆陶瓷馆巡礼中展示了温州出土的瓯窑青釉褐彩瓜形盖罐（南朝）、青釉点彩盘口鸡首壶（东晋）和瓯窑虎形灯座（东晋）三件文物，若将三件文物排成一排进行巡展，则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学高二1班共有50名同学，其中男生30名，女生20名，采用按比例分层随机抽样方法，从全班学生中抽取20人测量其身高（单位：）．已知在抽取的样本中，男生的平均身高为，女生的平均身高为，由此估计该班全体学生的平均身高约为（ ） A. B. C. D. 5. 不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ） A. ，， B. ， C. ，， D. ，， 6. 已知一组数据，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，的平均数与方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面平面 10. 设，为两个随机事件，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则，为相互独立事件 B. 若，，，则，为相互独立事件 C. 若，，，则，为相互独立事件 D. 若，为互斥事件，且，，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若动点位于正方体侧面上，且满足，则动点的轨迹长度为2 C. 当点与点重合时，二面角的正切值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 14. 已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为______. 15. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求线段的长． （2）求与所成角的余弦值． 17. 年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数（保留两位小数）． （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试成绩的方差． 18. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 19. 甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率. 20. 如图，在矩形ABCD中，，Q为CD的中点，将沿AQ翻折至，使得二面角P-AQ-D的大小为． （1）若，求证：平面平面； （2）若，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． 21. 如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $