精品解析：陕西宝鸡中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

陕西宝鸡中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 命题人：侯俊 审题人：苏圆圆 本试卷共四大题，21小题；考试时长120分钟，卷面满分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场／座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，三内角、、成等差数列，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 3. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 4. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 6. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 8. 五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 11. 若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 若，则____. 13. 已知等比数列​满足：​，则​______. 14. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 __________． 15. 设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为___________. 四、解答题：本题共6小题，共72分. 16. 已知曲线． （1）求曲线在点处切线的方程； （2）设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围． 17. 已知函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）求在上的最值． 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 20. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 21. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西宝鸡中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 命题人：侯俊 审题人：苏圆圆 本试卷共四大题，21小题；考试时长120分钟，卷面满分150分. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场／座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.涂写在本试卷上无效. 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，三内角、、成等差数列，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三内角、、成等差数列，得到，结合即得解. 【详解】解：∵三内角、、成等差数列，∴ 又，∴，∴ 故选：B． 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的计算公式，直接判断选项. 【详解】. 故选：A 3. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法计数原理可得. 【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种． 故选：A 4. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值为. 5. 如图，函数的图象在点处的切线是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据求出切线的方程，从而可求出点的纵坐标，则可得，求出直线的斜率可得的值，从而可得答案. 【详解】由图象可得切线过点，所以切线的方程为，即， 所以切线的斜率为，所以 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 故选：C 6. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 7. 已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平移，当直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值. 【详解】设曲线上切点为 到直线的距离为 即的最小值为 故答案为B 【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键. 8. 五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分别确定每个区域的涂色方法种数，结合分类加法分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色）， 五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色）， 不妨设四种颜色分别为、、、， 先填涂区域“火”，有种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为， 接下来填涂区域“土”，有种选择，分别为、、， 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、； 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、； 若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、. 综上所述，区域“金”填涂、、、的方案种数分别为、、、种， 接下来考虑区域“水”的填涂方案： 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、； 若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、. 则区域“水”填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种， 填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种. 从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关， 当区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、； 若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、. 所以，当区域“火”填涂颜色时，填涂方案种数为种. 因此，不同的涂色方法种数有种. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 10. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由递推关系式代入运算求解判断；对B，由可得，根据等比数列的定义判断；对C，求出，进而求得的通项，利用等差数列的定义判断；对D，利用反证法求解判断. 【详解】对于A，由，，则，解得， ，则，故A错误； 对于B，由，则，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项，可得，即， ， ， 则，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对于D，假设存在且，使得成等差数列， 则，即，即， ， ，，则， 故上式不成立，假设错误，故D错误. 故选：BC. 11. 若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，令得，构造，，求导，得到其单调性和图象走势，得到，解得；BC选项，，数形结合得到的单调性，从而得到，；D选项，证明对数平均不等式，结合，得到，故. 【详解】A选项，，令得， 令，，则与有两个不同的交点， ， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，恒成立， 要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确； BC选项，因为，所以， 画出与的图象如下： 令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，B错误，C正确； D选项，，故， 先证明，理由如下： 因为，不等式变形为， 即，令， 则，令，， 则恒成立， 故在上单调递减， 故，所以，结论得证， 故， 结合A选项，，D正确. 故选： 【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 若，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】求导代入计算可得结果. 【详解】由可得， ∴， 故答案为： 13. 已知等比数列​满足：​，则​______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为等比数列的性质可得,即得 可得. 故答案为: 5. 14. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用“退一作差”法求得. 【详解】由题意，①， 当时，，∴， 当时，②， ①－②得，∴． 当时，满足上式，∴． 故答案为： 15. 设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 因为，所以，则在上单调递减， 因为，所以， 则即的解集为. 四、解答题：本题共6小题，共72分. 16. 已知曲线． （1）求曲线在点处切线的方程； （2）设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）求出的取值范围，结合倾斜角的取值范围可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则，则， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，即， 又因为，所以，， 故的取值范围是. 17. 已知函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）求在上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由在上取得极大值转化为，联立方程组可得； （2）函数求导研究其在上的单调性，得出极值并比较与端点处的函数值即可求出其最值. 【小问1详解】 由，得. 因为在上取得极大值2， 所以解得 验证：当时，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在函数在处取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当，单调递减； 当时，单调递增； 当时， 单调递减； 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值； 又因为， 所以在上的最大值为，最小值为. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为； （2）. 【解析】 【分析】(1)求f(x)的定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断f(x)的单调区间； (2)参变分离不等式，构造函数，利用导数求F(x)的最大值即可得a的范围. 【小问1详解】 时，. 时，单调递增， 时，单调递减， ∴的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 由在上恒成立，故， 设，则. 当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减， 故，故. 19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），； （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设， ⑧ 则． ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）略 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 20. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是. 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 21. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性； （2）参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由，得，显然，从而恒成立， 令，， 则． 令，，因为在上单调递增，且，， 所以，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为，所以， 所以， 所以，即的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $