精品解析：广西桂林市全州县全州高级中学2026-2027学年高二上学期9月检测数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2 B. -1 C. 1 D. -2 2. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则且 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（ ） A. 与是相交直线 B. 与互相垂直 C. 与所成的角为 D. 三棱锥的体积为定值 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象的一条对称轴为直线 B. 若，则的最小值是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量与的夹角为，且，则__________. 13. 记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边长______. 14. 若，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）分别求和的值； （2）求的值. 16. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 17. 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. （1）求的方程； （2）求的圆心坐标和半径； （3）判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，分别为，的中点，过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面与直线交于点，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ） A. 2 B. -1 C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 复数的虚部是 故选：B 2. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】已知角的终边经过点，由于点到原点的距离， 根据三角函数的定义，有，， . 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系转化进行计算即可. 【详解】因为， 故原式可化为. 4. 若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则且 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，两个平面垂直于同一个平面，它们的位置关系不一定是平行，也可能是相交，A错误； 对于B，两条直线平行于同一个平面，它们的位置关系可以是平行､相交或异面，B错误； 对于C，因为，且，过直线与平面的交点， 在内作，由，得，又，根据面面垂直的判定定理，可得，C正确； 对于D，当时，即使，也不能说，同理，当时，也不能说，D错误． 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】正切函数的周期是，定义域为， 在每个区间上单调递增， 由，在一个周期内，解得， 所以解集为. 6. 若一个圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为3，母线长为6， 所以圆锥的侧面积为. 7. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性比较大小即可. 【详解】对于； 对于； 对于； 而正弦函数在上单调递增，因此 ，故. 8. 若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系， 由等边边长为，可得各点坐标：，，， 因为为中点，故的坐标为， 设，其中， 则，， 由向量数量积的坐标运算得： ， 该式为开口向上的二次函数，对称轴为， 在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得： 当时，，故最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量数量积的坐标运算逐项求解判断即可. 【详解】已知，， 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B错误； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，设与的夹角为，则，故D正确. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（ ） A. 与是相交直线 B. 与互相垂直 C. 与所成的角为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，如下图： 以为原点，，，分别为x，y，z轴，正方体棱长为1， ，，，，，， ，，，， 在顶面上，连接底面到顶面， 两条直线异面，不相交，A错误； ，两向量垂直，故，B正确； ，， ，，故异面夹角为，C正确； 平面，点在上滑动，则到平面的距离恒等于定值1， 底面面积固定，所以，体积不变，为定值，D正确. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象的一条对称轴为直线 B. 若，则的最小值是 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】利用整体代入法求解对称轴判断A，利用换元法求解最小值判断B，利用整体代入法求解单调区间判断C，利用函数平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 当时，，因此直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，则求在上的最小值即可， 由正弦函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 则的最小值为，故B错误， 对于C，令，解得， 当时，单调递增区间为，则在上单调递增，故C正确， 对于D，将的图像向下平移个单位，得到， 再向左平移个单位，得到，而，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量与的夹角为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边长______. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理可得. 14. 若，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再作出两个函数的草图，数形结合确定菱形顶点坐标，借助菱形的性质列式求解. 【详解】函数， 在同一坐标系内作出函数与的图象， 取两函数图象相邻的四个交点、、、，则四边形为菱形， 不妨设点，则， 由，得， 由，解得或， 由，得，解得， 不妨取，得点， 则，， 由，即，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）分别求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据余弦二倍角公式，结合两角和正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 由，得， 结合知，，则， 故. 【小问2详解】 因为， 结合（1）得 . 16. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由直线方程的两点式得 ，即. 【小问2详解】 设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. 【小问3详解】 设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 17. 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. （1）求的方程； （2）求的圆心坐标和半径； （3）判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 【答案】（1） （2）圆心坐标为，半径为5 （3）相交， 【解析】 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【小问1详解】 因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. 【小问2详解】 因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. 【小问3详解】 将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 可得， 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且 解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，. 又由，得， 所以 . 由，得，故， 因此面积的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）若，分别为，的中点，过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面与直线交于点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）由，，得. 在菱形中，易知，又因为，所以， 因此为等边三角形，易得，则，. 因为，所以. （2）由（1）知，即为直角三角形，因此. ，有，故. 又因为在菱形中，有，即， 且，，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）求出各边长，得到，得到垂直关系； （2）由勾股定理逆定理可得垂直关系，根据和得到线面垂直； （3）求出三棱锥的外接球球心为点，并根据三角形相似可得，由等体积法可得三棱锥的体积 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图 因为，，，所以，得， 又因为，所以为等边三角形，因此. 三棱锥的外接球球心到，，，四点的距离相同， 而，因此三棱锥的外接球球心为点， 进而过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面，即平面. 设与交于点.因为，分别为，的中点， 所以，且易知为的中点，即. 因为，平面，所以直线平面， 同理易证直线平面，故平面与平面的交线为直线， 又因为是平面与的交点，所以必定在直线的延长线上. 同时，在菱形中，为对角线交点，所以为的中点，即. 在中，过点作，交直线于点.因为，即， 得，且与互为对顶角，为的中点， 所以，由此可得对应边相等，即. 因为（即），所以，又是的中点， 所以，又因为，所以，因此， 进而. 由且平面， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $