3.2 从有理数到实数 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本讲义聚焦“从有理数到实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与三种形式（开方开不尽的数、无限不循环小数、含π的数），实数的分类及与有理数的区别，实数的性质（绝对值、倒数），实数与数轴的一一对应关系，大小比较方法及估算无理数大小的逼近法，构建从概念到应用的递进式学习支架。 该资料以题型为框架整合解题知识与分层练习，如无理数判断强调“化简结果”（例：区分√4与√2），实数与数轴结合培养几何直观（例：正方形面积与数轴点对应），典例与变式训练运算能力，过关验收覆盖多维度考点。课中辅助教师构建知识网络，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化数学思维与应用意识。

第三章 3.2 从有理数到实数 内 容 导 航 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小 考 点 演 练 题型1 无理数 解｜题｜知｜识 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【典例1】下列各实数中，为无理数的是（　　） A． B．0 C． D． 【变式1】下列数中π、，，，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下列各数：0.51525354…、、0.、、、、中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　） A．a+b B．ab C． D． 题型2 实数 解｜题｜知｜识 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【典例1】下列说法错误的是（　　） A．一个正数有两个平方根 B．一个负数的立方根是负数 C．0的算术平方根是0 D．平方根等于本身的数是0，1 【变式1】下列实数不是有理数的是（　　） A． B．﹣π C． D．0. 【变式2】在，π，，0.10010001，，，，中，有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 题型3 实数的性质 解｜题｜知｜识 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【典例1】若实数a的相反数是﹣2024，则a等于（　　） A．﹣2024 B． C．2024 D．0 【变式1】若取到最小值，则整数x的值是（　　） A．4 B． C．3 D．﹣3 【变式2】下列判断正确的是（　　） A．一个数的倒数等于它本身，这个数是1 B．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数 C．一个数的相反数等于它本身，这个数是0 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是1 【变式3】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2| 题型4 实数与数轴 解｜题｜知｜识 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a﹣b＞0 D．ab＞0 【变式2】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为﹣2和﹣3，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（　　） A．D B．C C．B D．A 【变式3】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（　　）个． （1）|a|＜1＜|b|；（2）1＜﹣a＜b；（3）1＜|a|＜b；（4）﹣b＜a＜﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4 题型5 实数大小比较 解｜题｜知｜识 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．2 D． 【变式1】实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（　　） A．a＜﹣a＜1 B．﹣a＜a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a 【变式2】如图，数a在数轴上对应的点为A，比较a，﹣a，3﹣a三个数的大小，并用“＜”连接_______________． 【变式3】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示． （1）a+c　 　 0，c　 　 0，a﹣b　 　 0．（用“＞”或“＜”填空） （2）化简：|﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b|． 题型6 估算无理数的大小 解｜题｜知｜识 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【典例1】估算，其值在（　　） A．4到5之间 B．﹣5到﹣4之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【变式1】的整数部分为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式3】估计的值更接近（　　） A．3 B．4 C．9 D．10 过 关 验 收 1．在，，，0，3.1415926，30%，1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在6，﹣21.54，0，π，，0.1010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在数﹣1、0、、中，为无理数的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 4．数，3.14，，，1.732，，，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列各数：，﹣π，，0.3，﹣0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），中无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．在实数，，，π，0.101001000100001…（从左往右看，相邻的两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在，3.14，π，，1.，，中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于　　 ． 9．已知a为无理数，且，则b＝　 ． 10．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为　 　 ； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为　 　 ． 11．下列语句中正确的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B．不带根号的数一定是有理数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．无限小数是无理数 12．有下列说法： ①任何有理数都是有限小数； ②实数与数轴上的点一一对应； ③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个； ④是分数． ⑤近似数5.60所表示的准确数x的范围是：5.595≤x＜5.605 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．以下关于的叙述，错误的是（　　） A．面积为8的正方形边长是 B．是无理数 C．在数轴上没有对应的点 D．介于整数2和3之间 14．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照A→B→C→D的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为 　 　 _________分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是 ． 15．太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿七千九百六十万九千平方千米．这个数写作179609000平方千米．将它改写用万作单位的数是 　 　 万平方千米． 16．若，则m的值在（　　） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 17．对于实数的描述正确的是（　　） A．介于2和3之间，更接近于2 B．介于2和3之间，更接近于3 C．介于3和4之间，更接近于3 D．介于3和4之间，更接近于4 18．若整数m满足，则m的值是　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 3.2 从有理数到实数 内 容 导 航 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小 考 点 演 练 题型1 无理数 解｜题｜知｜识 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【典例1】下列各实数中，为无理数的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解答】解：是有理数；0是有理数；是无理数，是有理数； 故选：C． 【变式1】下列数中π、，，，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：7是有理数， 无理数有：π，，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），共3个， 故选：C． 【变式2】在下列各数：0.51525354…、、0.、、、、中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：无理数是0.51525354…、、、 故选：B． 【变式3】已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　） A．a+b B．ab C． D． 【答案】A 【解答】解：a是有理数，b是无理数，则a+b必定为无理数； 当a＝0时，ab、，均为有理数． 故选：A． 题型2 实数 解｜题｜知｜识 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【典例1】下列说法错误的是（　　） A．一个正数有两个平方根 B．一个负数的立方根是负数 C．0的算术平方根是0 D．平方根等于本身的数是0，1 【答案】D 【解答】解：A、一个正数有两个平方根，正确，不合题意； B、一个负数的立方根是负数，正确，不合题意； C、0的算术平方根是0，正确，不合题意； D、平方根等于本身的数是0，故错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列实数不是有理数的是（　　） A． B．﹣π C． D．0. 【答案】B 【解答】解：∵， ∴，是有理数，﹣π是无理数， ∴A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 【变式2】在，π，，0.10010001，，，，中，有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：，， 有理数有：，，0.10010001，，共4个， 故选：C． 【变式3】实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4， 是无理数，有2个，即b＝2， 则a﹣b＝4﹣2＝2． 故选：C． 题型3 实数的性质 解｜题｜知｜识 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【典例1】若实数a的相反数是﹣2024，则a等于（　　） A．﹣2024 B． C．2024 D．0 【答案】C． 【解答】解：∵a和﹣2024互为相反数， ∴a+（﹣2024）＝0， ∴a＝2024． 故选：C． 【变式1】若取到最小值，则整数x的值是（　　） A．4 B． C．3 D．﹣3 【答案】C 【解答】解：∵， 又∵取到最小值，x为整数， ∴整数x的取值要更接近， ∵3更接近， ∴当取到最小值，x＝3． 故选：C． 【变式2】下列判断正确的是（　　） A．一个数的倒数等于它本身，这个数是1 B．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数 C．一个数的相反数等于它本身，这个数是0 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是1 【答案】C 【解答】解：A、一个数的倒数等于它本身，这个数是±1，故本选项不符合题意； B、一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故本选项不符合题意； C、一个数的相反数等于它本身，这个数是0，故本选项符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是1或0，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2| 【答案】A 【解答】解：A、2，﹣2与是互为相反数，故本选项正确； B、2，﹣2与相等，不是互为相反数，故本选项错误； C、﹣2与是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误； D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误． 故选：A． 题型4 实数与数轴 解｜题｜知｜识 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知正方形的边长为， ∴， ∴点E表示的数为． 故选：D． 【变式1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a﹣b＞0 D．ab＞0 【答案】C 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3， ∴b＜﹣1，|b|＜2，a﹣b＞0，ab＜0， ∴A，B，D选项的结论错误，C选项的结论正确， 故选：C． 【变式2】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为﹣2和﹣3，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（　　） A．D B．C C．B D．A 【答案】B 【解答】解：∵正方形纸板ABCD在数轴上点A、D对应的数分别为﹣2、﹣3， ∴正方形ABCD的边长为1， ∴转动时点A对应的数依次为﹣2、2、6、…； B点对应的数依次是﹣1、3、7、…； C点对应的数依次是0、4、8、…； D点对应的数依次是1、5、9……； 2024＝4×506， 故对应的是第506次循环后，即C点． 故选：B． 【变式3】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（　　）个． （1）|a|＜1＜|b|；（2）1＜﹣a＜b；（3）1＜|a|＜b；（4）﹣b＜a＜﹣1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置，可得a＜﹣1＜0＜1＜b， （1）∵1＜|a|＜|b|， ∴此选项错误； （2）∵1＜﹣a＜b， ∴此选项正确； （3）∵1＜|a|＜b， ∴此选项正确； （4）∵﹣b＜a＜﹣1， ∴此选项正确； 故共3个正确． 故选：C． 题型5 实数大小比较 解｜题｜知｜识 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【解答】解：0＜2， 故选：A． 【变式1】实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，﹣a，1的大小关系正确的是（　　） A．a＜﹣a＜1 B．﹣a＜a＜1 C．1＜﹣a＜a D．a＜1＜﹣a 【答案】D 【解答】解：由数轴上a的位置可知a＜0，|a|＞1； 设a＝﹣2，则﹣a＝2， ∵﹣2＜1＜2 ∴a＜1＜﹣a， 故选项A，B，C错误，选项D正确． 故选：D． 【变式2】如图，数a在数轴上对应的点为A，比较a，﹣a，3﹣a三个数的大小，并用“＜”连接 a＜﹣a＜3﹣a ． 【答案】a＜﹣a＜3﹣a． 【解答】解：∵a＜0， ∴﹣a＞0， 3﹣a＝3+（﹣a）＞﹣a， ∴a＜﹣a＜3﹣a， 故答案为：a＜﹣a＜3﹣a． 【变式3】已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示． （1）a+c　＞　 0，c　＜　 0，a﹣b　＞　 0．（用“＞”或“＜”填空） （2）化简：|﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b|． 【答案】（1）＞，＜，＞； （2）a+b． 【解答】解：（1）观察数轴得b＜c＜0＜a，且|c|＜|a|＜|b|， ∴a﹣b＞0，a+c＞0， 故答案为：＞，＜，＞； （2）由（1）得a+c＞0，a﹣b＞0，b＜c＜0＜a， ∴﹣a＜0， |﹣a|+|a+c|+|c|﹣|a﹣b| ＝a+a+c+（﹣c）﹣（a﹣b） ＝a+a+c﹣c﹣a+b ＝a+b． 题型6 估算无理数的大小 解｜题｜知｜识 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【典例1】估算，其值在（　　） A．4到5之间 B．﹣5到﹣4之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【解答】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式1】的整数部分为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵，即， ∴，也就是61＜7， ∴的整数部分是6． 故选：D． 【变式2】估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】估计的值更接近（　　） A．3 B．4 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴的值更接近3， 故选：A． 过 关 验 收 1．在，，，0，3.1415926，30%，1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：是有理数； 是有理数； 是无理数，符合题意； 0是有理数； 3.1415926是有理数； 30%是有理数； 1.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，符合题意； 故无理数共有2个， 故选：B． 2．在6，﹣21.54，0，π，，0.1010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：在6，﹣21.54，0，π，，0.1010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有π，0.1010010001…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），共2个． 故选：B． 3．在数﹣1、0、、中，为无理数的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】D 【解答】解：数﹣1、0、、中，为无理数的是． 故选：D． 4．数，3.14，，，1.732，，，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：数，3.14，，，1.732，，，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中， 根据无理数的定义可得，无理数有，，﹣0.1010010001…三个． 故选：C． 5．下列各数：，﹣π，，0.3，﹣0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），中无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：7， 故无理数有﹣π，，﹣0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），﹣共3个． 故选：B． 6．在实数，，，π，0.101001000100001…（从左往右看，相邻的两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：7， 在实数，，，π，0.101001000100001…（从左往右看，相邻的两个1之间依次多一个0）中，无理数有，π，0.101001000100001…（从左往右看，相邻的两个1之间依次多一个0），共3个． 故选：C． 7．在，3.14，π，，1.，，中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：π，是无理数， 故选：A． 8．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于　　 ． 【答案】 【解答】解： ∵x是无理数，∴x﹣2≠0， 所以原式 ∵是有理数， 设m， 则4bmx+2017m＝3ax﹣2018 整理，得3a﹣4mb 因为m、a、b是有理数，x是无理数， ∴ 解得m， 9．已知a为无理数，且，则b＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵a为无理数，且， ∴a（b）﹣（b）＝0， ∴（a﹣1）（b）＝0， ∵a﹣1是无理数，不为0， ∴0， ∴． 故答案为：． 10．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n，n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为　（5，6）　 ； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为　（3，4）　 ． 【答案】（1）（5，6）； （2）的“共同体区间”为（3，4）； （3）（3，4）． 【解答】解：（1）∵52＜26＜62， ∴的“共同体区间”是（5，6）， 故答案为：（5，6）； （2）由新定义可知22＜a＜32，即4＜a＜9， ∴10＜a+6＜15， ∴32＜a+6＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）； （3）∵，2024+（y﹣4）2≥2024＞0， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当x＝3，y＝4时，x（y+1）＝3×（4+1）＝15， ∵32＜15＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 11．下列语句中正确的是（　　） A．带根号的数都是无理数 B．不带根号的数一定是有理数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【解答】解：带根号的数不一定是无理数，A选项错误； 不带根号的数例如，π，就是无理数，B选项错误； 无限不循环小数为无理数，C选项正确； 无限循环小数是有理数，D选项错误． 故选：C． 12．有下列说法： ①任何有理数都是有限小数； ②实数与数轴上的点一一对应； ③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个； ④是分数． ⑤近似数5.60所表示的准确数x的范围是：5.595≤x＜5.605 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①有理数不一定是有限小数，整数也是有理数，故①错误； ②实数与数轴上的点一一对应关系，故②正确； ③在1和3之间的无理数有无数个，例如：，，，，等，故③错误； ④是无理数，故④错误； ⑤因为最小的数为5.60﹣0.005＝5.595，最大的数为5.60+0.005＝5.605，所以5.595≤x＜5.605，故⑤正确． 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B． 13．以下关于的叙述，错误的是（　　） A．面积为8的正方形边长是 B．是无理数 C．在数轴上没有对应的点 D．介于整数2和3之间 【答案】C 【解答】解：∵实数与数轴上的点是一一对应关系， ∴在数轴上有对应的点， 故选：C． 14．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A、B、C、D四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照A→B→C→D的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为 　35　 分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是 B﹣C﹣A﹣D或B﹣C﹣D﹣A ． 【答案】（1）35； （2）B﹣C﹣A﹣D或B﹣C﹣D﹣A． 【解答】解：（1）甲先拼接A用9分钟，然后乙再给A上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，7﹣5﹣2（分）， 还剩下的时间给C拼接2分钟，C这时还需要6﹣2＝4（分）， 乙开始给B上色又花了7分钟，这7分钟甲给C拼接，还留有7﹣4＝3（分）， 这3分钟甲给D拼接，在乙完成B的上色时甲给口拼接还需要8﹣3＝5（分）， 此时乙给C上色9分钟，甲就能把D拼接完了，最后乙再给D上色． 综上所述，总时长为9+7+7+9+3＝35（分）． （2）要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，且先 拼接时间短的道具，所以制作的顺序应该是B﹣C﹣A﹣D或B﹣C﹣D﹣A． 15．太平洋是世界上最大的海洋，它的面积为一亿七千九百六十万九千平方千米．这个数写作179609000平方千米．将它改写用万作单位的数是 　17960.9　 万平方千米． 【答案】17960.9． 【解答】解：179609000平方千米＝17960.9万平方千米， 故答案为：17960.9． 16．若，则m的值在（　　） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】B 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴1， 即0.5＜m＜1， 故选：B． 17．对于实数的描述正确的是（　　） A．介于2和3之间，更接近于2 B．介于2和3之间，更接近于3 C．介于3和4之间，更接近于3 D．介于3和4之间，更接近于4 【答案】C 【解答】解：∵，即， ∴是介于3和4之间， ∵10﹣9＝1，16﹣10＝6，1＜6， ∴更接近于3， 故选：C． 18．若整数m满足，则m的值是　3　 ． 【答案】3 【解答】解：∵， ∴， ∵整数m满足， ∴m＝3， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $