精品解析：湖南省常德市汉寿县2026年九年级学业水平模拟测试卷数学

2026届初中学业水平模拟考试试题卷九年级数学 考生注意：1、请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名． 2、请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上的无效． 3、本学科试题卷共6页，六道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：，不符合． B选项：，符合． C选项：与不是同类项，无法合并，不符合． D选项：，不符合． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 4. 如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； B、球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意； C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意； 综上，故选B． 5. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是7 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C. 从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】B 【解析】 【详解】解：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件， A、 掷一次骰子，最大点数为6，向上一面的点数是7一定不会发生，是不可能事件，不符合要求； B、 随意翻书的某页，页码可能是奇数也可能是偶数，页码为偶数可能发生也可能不发生，是随机事件，符合要求； C 、袋中只有白球和黑球，一定摸不出红球，是不可能事件，不符合要求； D 、根据三角形内角和定理，任意三角形内角和一定是，是必然事件，不符合要求． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键． 9. 如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，得到， ，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 故选：B． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为 ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算即可，算术平方根为非负数，可直接得到结果． 【详解】解：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根． ∵ ， ∴ 的算术平方根是． 12. 如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 13. 计算：___． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 14. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度． 【详解】点（2，-3）到x轴的距离为3． 故答案是：3． 【点睛】考查了点到坐标轴的距离，解题关键是熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度． 15. 如图，直线与直线交于点．当时，x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两函数的交点坐标和函数的图象得出x的范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可知：当时，x的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键． 16. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 三、（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7． 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】， ， 或， 解得：，． 四、（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 19. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； （2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 【答案】（1）； 补全七年级成绩数据条形统计图如下： （2） （3） 解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是， 但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数， 且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好； 【解析】 【分析】（1）根据题意，先得到A组的人数并补全条形统计图，根据中位数的概念求； （2）利用样本估计总体进行求解即可； （3）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：七年级A组有（人）， 30人成绩数据从小到大第15、16位的均值， ； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人， 故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 由扇形统计图可知八年级80分以上的占， 故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有359人； 【小问3详解】 略 20. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 五、（本题共2个小题，每小题10分，共20分） 21. 某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； （2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】（1）甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 （2）安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 【小问2详解】 解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，，当与x负半轴的夹角和与y正半轴的夹角相等时，求点C的坐标及直线l向上平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 （2）的坐标为；向上平移的距离为7 【解析】 【分析】（1）已知点在两个函数图象上，直接代入坐标即可求出和的值． （2）利用“夹角相等”这一条件，结合点的坐标特征，构造全等三角形或利用三角函数值，确定点的坐标．进而求出平移后的直线解析式，最后通过比较两条直线的截距得出平移距离． 【小问1详解】 解：把点代入，得： 解得 反比例函数的解析式为， 把点代入，得： ； 解得； 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 过点作轴于点，过点作轴于点． ， ， 在中， ， 与轴负半轴的夹角和与轴正半轴的夹角相等， ， ， 设，则， 点在第二象限， ， 点在反比例函数上， ， ， ， ， 点的坐标为； 设平移后的直线解析式为， 把点代入，得： 解得． 平移后的直线解析式为， 原直线解析式为， 平移距离为， 答：点的坐标为，直线向上平移的距离为7． 六、（本题共2个小题，每小题12分，共24分） 23. 探究、类比与应用： （1）【探究发现】如图1，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与的延长线交于点F，连接，． 求证：； （2）【类比迁移】如图2，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点，的延长线与的延长线交于点F，连接，，，当时． ①求证：； ②若，，求的长； （3）【拓展应用】如图3，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，且，求的长． 【答案】（1）证明：延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵关于的对称点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①证明：延长交于， ∵关于的对称点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于，根据对称可得，然后证明，推出，从而得到； （2）①延长交于，同（1）可证，，即可证明；②先判断出，再根据平行线分线段成比例，得到，下一步通过，求得，最后通过勾股定理和求得答案； （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与的交点即为点，延长交于点，同（1）可得，，再证明，通过即可得出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：以点为圆心，的长为半径作圆弧，与的交点即为点， 延长交于点， ∵， ∴垂直平分， 同（1）可得，， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． （1）写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； （2）已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为，是该抛物线的“点” （2）①6；②或 【解析】 【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可． （2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系． ①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”． ②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； 【小问2详解】 解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中学业水平模拟考试试题卷九年级数学 考生注意：1、请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名． 2、请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上的无效． 3、本学科试题卷共6页，六道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是7 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 C. 从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球 D. 任意画一个三角形，其内角和是 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是_______． 12. 如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则_________． 13. 计算：___． 14. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 15. 如图，直线与直线交于点．当时，x的取值范围是_________． 16. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 三、（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程：． 四、（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 19. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； （2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 20. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 五、（本题共2个小题，每小题10分，共20分） 21. 某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； （2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，，当与x负半轴的夹角和与y正半轴的夹角相等时，求点C的坐标及直线l向上平移的距离． 六、（本题共2个小题，每小题12分，共24分） 23. 探究、类比与应用： （1）【探究发现】如图1，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，作点D关于的对称点，的延长线与的延长线交于点F，连接，． 求证：； （2）【类比迁移】如图2，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，作点D关于的对称点，的延长线与的延长线交于点F，连接，，，当时． ①求证：； ②若，，求的长； （3）【拓展应用】如图3，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，且，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． （1）写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； （2）已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $