精品解析：2026年湖南桃源县钟家铺乡中初中学业水平模拟考试 数学(一)

2026年湖南省初中学业水平模拟考试数学（一） 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解】解：， 故选：C． 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在反比例函数中，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根时，根的判别式大于等于0，据此计算即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 9. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 小明家到体育馆的距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为 C. 小明家到书店的距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 10. 如图，在中，，于点，过点作于点，连结．记的长为，的长为，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，过点A作于点F，可证明，则，设，则，，利用勾股定理得，，即，化解得即可． 【详解】解：过点A作于点F，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 则， 设， 则，， ∵， ∴，， 即，化解得， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得. 13. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案：丙． 14. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据第三象限内点的纵坐标小于列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：点在第三象限， ， ∴， 的取值范围是. 15. 如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键． 【详解】解：∵过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为6． 16. 已知，，，，…，，则的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律，将代入中，得，将代入中，得⋯，故变化规律为：当n为正整数时，，，可求出，计算即可得出答案． 【详解】解：将代入中，得， 将代入中，得⋯， 故变化规律为：当n为正整数时，，， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 19. 如图，四边形的对角线相交于点，，，．若，求的周长． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明四边形为矩形，根据矩形的性质，结合三角形的周长公式进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的周长. 20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 【答案】（1） （2）520人 （3） 众数为3分，实际意义为：所有的成绩中，出现最多的是3分，试卷的难度中等； 中位数为4分，实际意义为：有一半的成绩在4分以下，试卷有一定的难度． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，利用样本估计总体，求扇形圆心角的度数，解题关键是能从统计图获取有用信息求解． （1）用3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值；用5分的人数除以100再乘以360度即可求5分对应的扇形的圆心角； （2）用成绩超过3分的学生人数的百分比乘以1000即可； （3）分别根据众数、中位数的意义进行作答即可． 【小问1详解】 解：m的值为：， 扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数约为520人； 【小问3详解】 略 21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 22. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 23. 如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与轴交于点，与直线交于点． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________（用数字或含m的代数式表示）； （2）求证：为线段的中点； （3），为二次函数图象上两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，连接，，，．若与的面积相等，求的值． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）通过分析点在坐标轴、抛物线上的位置特征，结合题目条件计算坐标． （2）用待定系数法求直线的解析式，再代入横坐标求出的坐标，通过线段长度相等证明中点． （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，代入横坐标求、坐标，利用面积相等建立方程求解． 【小问1详解】 解：二次函数中，令，则， ∴， 二次函数中，令，则， 解得或， ∴， ∵点是二次函数的顶点， ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线过、， 将代入得， 解得， 将、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上且横坐标为， 代入解析式得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴为线段的中点； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点在二次函数上，横坐标为， 代入得， ∴， ∵点在二次函数上，横坐标为， 代入得， ∴， ∵点、在直线：上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点坐标、待定系数法求一次函数解析式、坐标与线段长度的关系以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和利用面积相等建立方程的方法是解题的关键． 24. 如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． （1）在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； （2），在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得；先根据等边对等角，三角形内角和定理证明，再证，由对应边成比例得，由此得出的值即可； （2）连接、、、．由得，进而证明，再证，根据对应边成比例列式求解． 【小问1详解】 解：证明：如图中， ， ， ， 在和中， ， ． 解：由可知，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 或舍弃， ， ． 【小问2详解】 解：如图中，连接、、、． 为型等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省初中学业水平模拟考试数学（一） 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 2026的相反数是（ ） A B. C. 2026 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 小明家到体育馆的距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为 C. 小明家到书店距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为 10. 如图，在中，，于点，过点作于点，连结．记的长为，的长为，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是_________． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 13. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 14. 在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是____． 15. 如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则________． 16. 已知，，，，…，，则的值为 _____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形的对角线相交于点，，，．若，求的周长． 20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 21. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 22. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 23. 如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与轴交于点，与直线交于点． （1）点坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________（用数字或含m的代数式表示）； （2）求证：为线段的中点； （3），为二次函数图象上两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，连接，，，．若与的面积相等，求的值． 24. 如图，在中，，如果，为的三等分线，交底边于点，，且，那么我们把叫做型等腰三角形，若，则就叫做型等腰三角形． （1）在型等腰三角形中， 求证：； 若，求的值； （2），在中，和为半径，，为的三等分线，分别交于点，若为型等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $