精品解析：2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试 （ORS联考）

2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试（ORS联考） 数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡．试题卷6页，有三道大题，共24道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（ ） A. 我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B. 宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C. 先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D. 如今我们可以通过书籍传播文化知识 【答案】A 【解析】 【详解】解：只有选项A直接将数学领域的几何知识应用于解决生活中的土地面积计算问题，B选项造纸技术，C选项文学创作，D选项文化传播，均不涉及数学知识的直接应用． 2. 观察表格，得出火警电话是（ ） 生活中常用的应急电话 火警 119 急救 120 警察 110 交通应急 122 A. 110 B. 119 C. 120 D. 114 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察表格可得，火警对应的应急电话号码为. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身， ∵， ∴． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 单项式的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义找出单项式中的数字因数即可得到答案． 【详解】解：∵单项式中，字母前的数字因数叫做单项式的系数，在单项式中，数字因数为， ∴该单项式的系数是． 6. 图中展示立体图形具有对称性质，它的底面是圆形，正视图是矩形，则它是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正方体 D. 五棱锥 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据立体图形形状以及底面是圆形，正视图是矩形可知该立体图形是圆柱． 7. 方程的解为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元一次方程得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为， ∴， ∴． 8. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【详解】解：具有稳定性的是三角形． 9. 如图，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴. 10. 已知函数为，则（ ） A. 时， B. 的图象与该函数的图象没有交点 C. 随的增大而增大 D. 该函数因变量的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、当时，，故该选项错误，不符合题意； 、联立方程，解得， ∵， ∴两图象存在交点，故该选项错误，不符合题意； 、由可得， 当，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意； 、∵且， ∴，不符合，故该选项错误，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：_____ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：8． 12. 若点在的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入解析式变形即可得到的值． 【详解】点在的图象上， 将代入函数解析式得，得． 13. 如图，，均在圆上，，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 【详解】解：∵和是同弧所对的圆周角，， ∴. 14. 二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 15. 已知公式：．已知．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算即可. 【详解】解：由题意， . 16. 定义新运算：若有，则（且，）．则： （1）例：，则．已知，则______． （2）若且，，，则下列说法中，正确的有______．（填字母）． A． B． C． D． 【答案】 ①. 3 ②. A、C 【解析】 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）根据新定义，举反例的方式逐一进行判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）设，则，， ∴， ∴；故A正确； 举反例，令，左边，右边，；故B错误； 设，，则，，右边左边，等式成立，故C正确； 举反例，令，左边，右边，D错误； 故正确的有A，C. 三、解答题（共72分） 17. 已知点位于函数的图像上． （1）若，，求的值． （2）若，记时，时，时．请直接写出关于，，的等量关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把，代入解析式，进行求解即可； （2）逆用同底数幂的乘法，即可得出结果. 【小问1详解】 解：由题，． 【小问2详解】 解：由题，，， ． 18. 如图，在中，，，． （1）求． （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作交于，在中，求出的长，在中，求出，即可得出结果； （2）求出的长，进而求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：过作交于． ∵，，， ∴在中，， ∴在中，． ． 【小问2详解】 解：∵在中，， 又∵在中，， ， ， ． 19. 阳光中学开展了健康调查活动调查每个同学的健康状况，结果如下： 状况 年级 健康 不健康 合计 七年级 595 5 600 八年级 490 500 九年级 592 8 600 （1）调查采用______（填“随机抽样调查”或“普查”），取得了有效成果． （2）计算阳光中学三个年级总共的人数以及的值． （3）请给出关于维持身体健康的一条切实建议． 【答案】（1）普查 （2）总人数为1700人； （3）每天进行跑步锻炼；坚持早睡早起；(答案不唯一，合理即可） 【解析】 【小问1详解】 解：由题意可知，本次调查采用的方式是普查 ； 【小问2详解】 解：总人数（人）， ； 【小问3详解】 略 20. 树人中学筹备运动会，需要购置体育器材．已知一个篮球价格为30元，一个足球价格为25元．超过300元的部分打八折，超过200元但是没有超过300元的部分打九折． （1）计算购买20个篮球和25个足球所花费的价格． （2）学校购买了1个篮球和（为正整数）个足球，花费了元．求关于的函数解析式．（写出自变量的取值范围）． 【答案】（1）花费的价格为1030元 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出原价，再求出减免的钱数，再由原价减去减免的费用即可； （2）设购买了个足球，设原价为，分、、三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：原价：（元） 减免钱数：（元） （元） 答：花费的价格为1030元． 【小问2详解】 解：设购买了个足球，设原价为． ①当，，， 解得，结合为正整数，则； ②当，， 解得，结合为正整数，则 ． ③当，即， 解得，结合为正整数，则 ． 综上所述， 21. 已知二次函数过点．如图是该函数的图像． （1）求二次函数的解析式． （2）线段所在直线的函数解析式是．是该抛物线上在下方的动点，为其上下方动点，为其上下方动点．在的面积和的面积均取得最大值时，记．则的值会随点运动而改变吗？若是，求出该定值；若不是，则求出的取值范围． 【答案】（1） （2）是； 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式； （2）设，联立，得到，根据根与系数的关系，结合完全平方公式得到，设直线的解析式为，待定系数法求出，对于定线段，面积最大时，到直线的距离最大，此时过点​且平行于的直线与抛物线有且只有一个交点，设过点且平行于的直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，根据求出的横坐标，同理求出的横坐标，即可得出结果. 【小问1详解】 解：将代入，得． ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：是定值； 设， 联立，整理，得． ∴，， ∴，​ 设直线的解析式为， 则，解得， 对于定线段，面积最大时，到直线的距离最大， 此时过点​且平行于的直线与抛物线有且只有一个交点， 设过点且平行于的直线的解析式为， 令​，整理，得， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当的面积最大时，； ． 22. 如图，在中，． （1）填空：______（填“”“”或“”）． （2）延长线段至，延长线段至．且．求证：． （3）在线段上取一点并且在线段上取一点，使得．当且为钝角时，设．试用含的等式表示，之间的关系式．（不要求写出的取值范围） 【答案】（1） （2）证明：，， ． 在和中， ， ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，即可得出结果； （2）证明，即可得证； （3）过作交于，过作交于，等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，平角的定义得到，解直角三角形，得到，，根据平行线间的距离处处相等，列出等式，求解即可 ． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作交于，过作交于． ， ． ． ． 在中，． 同理，． ∵，，， ．（平行线间的距离处处相等）． ∴， ． 23. 若有一组数据，，……，．记． 例如，已知，，，则．回答下列问题： （1）已知． ①直接写出得数：_______． ②设函数关于（为大于1的正整数）的函数满足关系式．求出的最小值，并且指出取最小时的值．参考公式： （2）该定义能大大简化公式的美观性，彰显了数学之美．设一组数据：，，……，．定义新的统计学的量：标准差为方差的算术平方根．请求出使用上述新符号表示的标准差公式． （3）已知．设关于的函数（为正整数）．化简． 【答案】（1）①；②取最小时，的值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，即可求解；②由题意得，化简得到二次函数，再由二次函数的性质求解； （2）根据平均数和方程的计算公式，结合定义求解即可； （3）先得到，再由定义求解． 【小问1详解】 解：①； ② ∴ ∵ ∴当时，取得最小值为； 【小问2详解】 解：一组数据，，……，，有． 故方差． ． 【小问3详解】 解：， ∴ ． 24. 某数学兴趣小组在学习了《图形的旋转》后，回想起了《平面直角坐标系》的相关知识．于是他们在研究性学习课程中，用初中所学过的数学知识，探究了在平面直角坐标系中的旋转图形，下面是他们的探究报告．试补充报告中缺失的细节． 【探究报告】坐标系中的图形旋转 【探究过程Ⅰ】研究直线的旋转 （1）组内成员小明指出，研究直线的旋转，可以转化为点的旋转．只要在原直线上任取两个不同的点进行旋转，两个新得到的点相连，就能得到新的直线，这是因为______（选填“两点确定一条直线”或“两点之间线段最短”）． （2）基于小明的想法，成员们求出了一次函数的图像，绕着坐标原点逆时针旋转得到的新图像对应的一次函数为______，并通过绘图证实了答案的准确性．（在下侧绘制一次函数和旋转后的图像） 查阅资料：一次函数的图像是一条直线 【探究过程Ⅱ】研究反比例函数图像的旋转 （3）组内成员继续基于其他学过的函数图像进行研究．小组成员找了几个函数解析式，找到了反比例函数______．（填序号） ① ② ③ ④（为常数） （4）成员们绘制了函数图像，开始了研究：点在该图像上，设则点绕着坐标原点逆时针旋转后，形成的点为． ①当，则______． ②组员们求出了与的关系式． 求解过程如下： 【探究总结】 当数字的经纬织就一张无限延展的网格，每一个点都有了属于自己的坐标低语．思绪流转，那些在坐标系中驻足的几何元素，便化作时光里的花瓣，点缀了数学之美．当坐标系结合旋转角，便丰富了点与线的温度与诗歌． 【答案】（1）两点确定一条直线 （2）； （3）③ （4）①； ②同①可得 ∵ ∴ 即 ∴ ∴ 设， 又∵ ∴ 代入， ∴ 整理得： ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ， ∵点在即上， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据两点确定一条直线，进行作答即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，进而求出当绕着坐标原点逆时针旋转后的直线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求出函数解析式即可，描点，连线画出图像即可； （3）根据反比例函数的定义，逐一进行判断即可； （4）①将绕点逆时针旋转得到，则，将点绕点逆时针旋转90°得到，进而证明得出，根据垂直平分，得出，得出，根据，得出，进而求得，即可求解； ②同①得出，根据，得出代数式恒等式，进而推导出，结合完全平方公式变形求得，又由于，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，能得到新的直线是因为：两点确定一条直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为， 当绕着坐标原点逆时针旋转后与坐标轴的交点为， 设旋转后的直线表达式为：，把代入得： ， 解得：， ∴ 旋转后的直线表达式为； 画图略 【小问3详解】 解：∵， ∴，即，故①不是反比例函数； ∵， ∴，故②不是反比例函数； ∵，即，符合反比例函数的定义，故③是反比例函数； ∵（为常数）， ∴当时，，故④不一定是反比例函数； 【小问4详解】 ①由（3）可得反比例函数为 当时， 如图，将绕点逆时针旋转得到，则，将点绕点逆时针旋转得到， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴，， ∵点绕点逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，，交于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴是的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 整理得，， 又∵， ∴， 代入， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴ ， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省初中学业水平考试模拟测试（ORS联考） 数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡．试题卷6页，有三道大题，共24道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（ ） A. 我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B. 宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C. 先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D. 如今我们可以通过书籍传播文化知识 2. 观察表格，得出火警电话是（ ） 生活中常用的应急电话 火警 119 急救 120 警察 110 交通应急 122 A. 110 B. 119 C. 120 D. 114 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 单项式的系数是（ ） A. B. C. D. 6. 图中展示立体图形具有对称性质，它的底面是圆形，正视图是矩形，则它是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正方体 D. 五棱锥 7. 方程的解为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 9. 如图，，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为，则（ ） A. 时， B. 的图象与该函数的图象没有交点 C. 随的增大而增大 D. 该函数因变量的取值范围为 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：_____ 12. 若点在的图象上，则______． 13. 如图，，均在圆上，，则______． 14. 二次函数与轴交于，则的值为______． 15. 已知公式：．已知．则______． 16. 定义新运算：若有，则（且，）．则： （1）例：，则．已知，则______． （2）若且，，，则下列说法中，正确的有______．（填字母）． A． B． C． D． 三、解答题（共72分） 17. 已知点位于函数的图像上． （1）若，，求的值． （2）若，记时，时，时．请直接写出关于，，的等量关系式． 18. 如图，在中，，，． （1）求． （2）求． 19. 阳光中学开展了健康调查活动调查每个同学的健康状况，结果如下： 状况 年级 健康 不健康 合计 七年级 595 5 600 八年级 490 500 九年级 592 8 600 （1）调查采用______（填“随机抽样调查”或“普查”），取得了有效成果． （2）计算阳光中学三个年级总共的人数以及的值． （3）请给出关于维持身体健康的一条切实建议． 20. 树人中学筹备运动会，需要购置体育器材．已知一个篮球价格为30元，一个足球价格为25元．超过300元的部分打八折，超过200元但是没有超过300元的部分打九折． （1）计算购买20个篮球和25个足球所花费的价格． （2）学校购买了1个篮球和（为正整数）个足球，花费了元．求关于的函数解析式．（写出自变量的取值范围）． 21. 已知二次函数过点．如图是该函数的图像． （1）求二次函数的解析式． （2）线段所在直线的函数解析式是．是该抛物线上在下方的动点，为其上下方动点，为其上下方动点．在的面积和的面积均取得最大值时，记．则的值会随点运动而改变吗？若是，求出该定值；若不是，则求出的取值范围． 22. 如图，在中，． （1）填空：______（填“”“”或“”）． （2）延长线段至，延长线段至．且．求证：． （3）在线段上取一点并且在线段上取一点，使得．当且为钝角时，设．试用含的等式表示，之间的关系式．（不要求写出的取值范围） 23. 若有一组数据，，……，．记． 例如，已知，，，则．回答下列问题： （1）已知． ①直接写出得数：_______． ②设函数关于（为大于1的正整数）的函数满足关系式．求出的最小值，并且指出取最小时的值．参考公式： （2）该定义能大大简化公式的美观性，彰显了数学之美．设一组数据：，，……，．定义新的统计学的量：标准差为方差的算术平方根．请求出使用上述新符号表示的标准差公式． （3）已知．设关于的函数（为正整数）．化简． 24. 某数学兴趣小组在学习了《图形的旋转》后，回想起了《平面直角坐标系》的相关知识．于是他们在研究性学习课程中，用初中所学过的数学知识，探究了在平面直角坐标系中的旋转图形，下面是他们的探究报告．试补充报告中缺失的细节． 【探究报告】坐标系中的图形旋转 【探究过程Ⅰ】研究直线的旋转 （1）组内成员小明指出，研究直线的旋转，可以转化为点的旋转．只要在原直线上任取两个不同的点进行旋转，两个新得到的点相连，就能得到新的直线，这是因为______（选填“两点确定一条直线”或“两点之间线段最短”）． （2）基于小明的想法，成员们求出了一次函数的图像，绕着坐标原点逆时针旋转得到的新图像对应的一次函数为______，并通过绘图证实了答案的准确性．（在下侧绘制一次函数和旋转后的图像） 查阅资料：一次函数的图像是一条直线 【探究过程Ⅱ】研究反比例函数图像的旋转 （3）组内成员继续基于其他学过的函数图像进行研究．小组成员找了几个函数解析式，找到了反比例函数______．（填序号） ① ② ③ ④（为常数） （4）成员们绘制了函数图像，开始了研究：点在该图像上，设则点绕着坐标原点逆时针旋转后，形成的点为． ①当，则______． ②组员们求出了与的关系式． 求解过程如下： 【探究总结】 当数字的经纬织就一张无限延展的网格，每一个点都有了属于自己的坐标低语．思绪流转，那些在坐标系中驻足的几何元素，便化作时光里的花瓣，点缀了数学之美．当坐标系结合旋转角，便丰富了点与线的温度与诗歌． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $