第十五章 轴对称全章专题讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以“轴对称”为核心，通过知识网络梳理从轴对称图形到等腰三角形、最短路径的逻辑链条，结合考情分析表格明确考查内容、题型及能力要求，突出等腰三角形性质与判定、将军饮马模型等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“知识清单+典例+变式”的考点精讲，分层检测（A组基础、B组提升、C组拔高）满足不同学生需求。通过等腰三角形内角分类讨论培养推理意识，将军饮马模型强化模型应用，核心结论速查表和易错点提醒助力教师精准教学，学生自主复习效率提升。

人教版 八年级数学上册 · 第十五章 轴对称 · 全章专题讲义 （学生版 · 自主作答） —————————————————————————————————————— 一、考情分析与知识网络 本章是初中"图形与几何"的核心章节，是学习全等三角形、四边形、旋转与相似的基础，也是中考高频考点。考查以选择题、填空题、解答题（证明与作图）三种形式呈现，重点落在等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线、坐标系中的轴对称以及最短路径模型。 考查内容 常见题型 分值预测 能力要求 轴对称图形与两图成轴对称 选择/填空 3~6分 概念辨析 线段垂直平分线的性质与判定 选择/解答 3~8分 推理证明 用坐标表示轴对称 选择/填空 3~4分 坐标运算 等腰（等边）三角形的性质与判定 选择/填空/解答 6~12分 逻辑推理 最短路径（将军饮马） 填空/解答 3~8分 模型应用 说明：分值依据近三年各地中考卷面统计估算，仅供复习侧重参考。 知识网络 轴对称（一个图形/两图成轴对称）→ 对应点连线被对称轴垂直平分 → 线段垂直平分线（性质与判定）→ 画轴对称图形、用坐标表示轴对称 → 等腰三角形（等边对等角、三线合一、等角对等边）→ 等边三角形 → 含30°角的直角三角形 → 最短路径（将军饮马）。 二、考点精讲（知识清单 + 典例 + 变式） 考点一 轴对称图形与两个图形成轴对称 ◆ 轴对称图形：沿某直线折叠，直线两旁部分能互相重合的图形；该直线叫对称轴。 ◆ 两图成轴对称：一个图形沿某直线折叠能与另一图形重合。 ◆ 性质：两图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段、对应角相等。 ◆ 对称轴条数：线段2条；角、等腰三角形1条；等边三角形3条；正方形4条；圆无数条。 【典例】下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. 平行四边形　B. 等边三角形　C. 直角三角形　D. 不规则四边形 【解析】 【变式】等腰三角形的对称轴是（　　） A. 腰上的高　B. 顶角平分线所在的直线　C. 底边上的中线　D. 任意一条中线 【解析】 考点二 线段的垂直平分线 ◆ 定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线叫垂直平分线（中垂线）。 ◆ 性质：中垂线上的点与线段两端点距离相等。 ◆ 判定：与线段两端点距离相等的点在中垂线上。 ◆ 作图：以两端点为圆心、大于线段一半的同一长度为半径画弧，过两交点作直线。 几何语言：∵ MN垂直平分AB，P在MN上，∴ PA＝PB；反之 ∵ PA＝PB，∴ P在AB的中垂线上。 【典例】在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交AB于E、交BC于D，AC＝6，BC＝10，求△ACD的周长。 【解析】 【变式】点P在AB的垂直平分线上，PA＝3x−2，PB＝x＋6，求x。 【解析】 考点三 画轴对称图形与用坐标表示轴对称 ◆ 画法：过各关键点作对称轴垂线并取等距对应点，顺次连线。 ◆ 关于x轴：(x，y)→(x，−y)。 ◆ 关于y轴：(x，y)→(−x，y)。 ◆ 口诀："关于谁对称，谁不变，另一个变号"。 【典例】点A(3，−4)关于x轴对称的点为______，关于y轴对称的点为______。 【解析】 【变式】点P(a，3)与Q(−2，b)关于y轴对称，求a＋b。 【解析】 考点四 等腰三角形的性质与判定 ◆ 等边对等角：两底角相等。 ◆ 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合。 ◆ 等角对等边：两角相等的三角形是等腰三角形。 ◆ 公式：顶角α则底角90°− ；底角β则顶角180°−2β。 几何语言：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C；又AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC 且 BD＝DC。 【典例】等腰三角形的一个内角为50°，求另外两个内角。 【解析】 【变式】等腰三角形两边长为7和3，求周长。 【解析】 考点五 等边三角形与含30°角的直角三角形 ◆ 等边性质：三边相等、三角均60°、3条对称轴。 ◆ 等边判定：① 三角相等；② 有一角60°的等腰三角形。 ◆ 30°直角三角形：30°角所对直角边＝斜边的一半。 【典例】在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的中线，AB＝10，求BC、CD。 【解析】 【变式】等边三角形的边长为8，求它的一条高。 【解析】 考点六 最短路径问题（将军饮马） ◆ 同侧两点模型：作A关于l的对称点A′，连A′B交l于P，最小值＝A′B。 ◆ 依据：两点之间线段最短，且对称保持PA＝PA′。 ◆ 点到直线：求点线距离最短用"垂线段最短"。 【典例】点A、B在河l同侧，A到l距离300 m，B到l距离500 m，A、B沿l水平距离800 m。在l上选P向A、B供水，求PA＋PB最小值。 【解析】 【变式】P是直线l外一点，PA⊥l于A，B是l上异于A的任一点，则较短的是______，依据是______。 【解析】 三、题型专项训练 （一）选择题（共8题） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. 圆　B. 等腰梯形　C. 平行四边形　D. 正方形 【解析】 2. 点M(−2，5)关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. (2，5)　B. (−2，−5)　C. (2，−5)　D. (−5，2) 【解析】 3. 等腰三角形顶角80°，则底角为（　　） A. 50°　B. 60°　C. 80°　D. 100° 【解析】 4. 到三角形三顶点距离相等的点是三条（　　）的交点 A. 中线　B. 高　C. 角平分线　D. 垂直平分线 【解析】 5. Rt△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则AC＝（　　） A. 2　B. 4　C. 4√3　D. 8 【解析】 6. 对称轴最多的是（　　） A. 正方形　B. 等边三角形　C. 圆　D. 正五边形 【解析】 7. 等腰三角形两边长4、9，则周长为（　　） A. 17　B. 22　C. 17或22　D. 20 【解析】 8. 点P关于x轴对称点为(1，−3)，则P关于y轴对称点为（　　） A. (−1，−3)　B. (−1，3)　C. (1，3)　D. (3，−1) 【解析】 （二）填空题（共8题） 1. 等边三角形每个内角等于______度。 【解析】 2. 点(a，−2)与点(3，b)关于x轴对称，则ab＝______。 【解析】 3. 等腰三角形一内角为120°，则底角为______度。 【解析】 4. 线段垂直平分线上的点到线段______的距离相等。 【解析】 5. 含30°角的直角三角形中，较短直角边为3，则斜边为______。 【解析】 6. 等腰三角形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴。 【解析】 7. △ABC与△A′B′C′关于直线l对称，S(△ABC)＝12，则S(△A′B′C′)＝______。 【解析】 8. 等腰三角形一腰上的高与底边夹角20°，则顶角为______度。 【解析】 （三）解答题（共6题） 1. 如图，AB＝AC，AD＝AE（D、E分别在AB、AC上），连接BE、CD交于O。求证：△ABE≌△ACD。 【解析】 2. DE是AB的垂直平分线，交BC于D，△ABC周长24，AB＝10，求△ACD周长。 【解析】 3. △ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于D。求证：BC＝3AD。 【解析】 4. 已知A(−1，3)、B(4，1)，在x轴上求点P使PA＋PB最小，并求最小值。 【解析】 5. 等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，求三边长。 【解析】 6. △ABC是等边三角形，D是BC中点，∠ADE＝60°，DE与外角∠ACF的平分线交于E。求证：AD＝DE。 【解析】 四、全章总结 核心结论速查表 内容 结论 轴对称 对应点连线被对称轴垂直平分 线段中垂线 线上的点到两端点距离相等（判定反之成立） 坐标对称 关于x轴(x,−y)；关于y轴(−x,y) 等腰三角形 等边对等角、三线合一；等角对等边 等边三角形 三角均60°；有一角60°的等腰三角形即等边 含30°直角三角形 30°角所对直角边＝斜边的一半 斜边中线 直角三角形斜边上的中线＝斜边的一半 最短路径 对称转化＋两点之间线段最短 常用数学思想 ① 转化：最短路径经轴对称化为"两点之间线段最短"；② 分类讨论：等腰三角形"已知一角/已知两边"须分多解；③ 模型：中垂线、三线合一、将军饮马模型；④ 数形结合：坐标对称与图形对称互化。 十大易错点 1. 对称轴是"直线"，而非线段或高、中线本身。 2. "一个角"要分顶角与底角，常有两解。 3. 已知两边求周长要分腰底并检验能否成三角形。 4. 坐标对称"关于谁对称谁不变"，别记反。 5. 三线合一仅在等腰三角形中成立。 6. 30°所对的是"直角边"等于斜边一半。 7. 中垂线性质与判定方向别混。 8. 最短路径要作对称点再连线。 9. "有一角60°"必须是等腰三角形才可判等边。 10. 成轴对称两图形全等，对应点别写错。 五、分层检测 A组（基础巩固，共5题） 1. 线段有______条对称轴。 【解析】 2. 点(−3，4)关于x轴对称的点在第______象限。 【解析】 3. 等腰三角形一个底角70°，顶角为______度。 【解析】 4. 直角三角形斜边为12，斜边上的中线长为______。 【解析】 5. 等边三角形一边长5，周长为______。 【解析】 B组（能力提升，共4题） 1. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，求顶角。 【解析】 2. △ABC中AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠DBC。 【解析】 3. 含30°角的直角三角形中斜边比一条直角边大4，求斜边。 【解析】 4. 点A(2，−1)关于y轴的对称点为B，求AB的长。 【解析】 C组（拓展拔高，共3题） 1. 等腰三角形两边长满足 (x−3)²＋|y−7|＝0，求这个等腰三角形的周长。 【解析】 2. 等边△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝AE（E在AC上），求∠EDC。 【解析】 3. 在直线l上求点P，使|PA−PB|最大（A、B在l同侧），并说明依据。 【解析】 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024新版）八年级数学上册 · 第十五章 轴对称 · 全章专题讲义 （教师版 · 含解析与答案） —————————————————————————————————————— 一、考情分析与知识网络 本章是初中"图形与几何"的核心章节，是学习全等三角形、四边形、旋转与相似的基础，也是中考高频考点。考查以选择题、填空题、解答题（证明与作图）三种形式呈现，重点落在等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线、坐标系中的轴对称以及最短路径模型。 考查内容 常见题型 分值预测 能力要求 轴对称图形与两图成轴对称 选择/填空 3~6分 概念辨析 线段垂直平分线的性质与判定 选择/解答 3~8分 推理证明 用坐标表示轴对称 选择/填空 3~4分 坐标运算 等腰（等边）三角形的性质与判定 选择/填空/解答 6~12分 逻辑推理 最短路径（将军饮马） 填空/解答 3~8分 模型应用 说明：分值依据近三年各地中考卷面统计估算，仅供复习侧重参考。 知识网络 轴对称（一个图形/两图成轴对称）→ 对应点连线被对称轴垂直平分 → 线段垂直平分线（性质与判定）→ 画轴对称图形、用坐标表示轴对称 → 等腰三角形（等边对等角、三线合一、等角对等边）→ 等边三角形 → 含30°角的直角三角形 → 最短路径（将军饮马）。 二、考点精讲（知识清单 + 典例 + 变式） 考点一 轴对称图形与两个图形成轴对称 ◆ 轴对称图形：沿某直线折叠，直线两旁部分能互相重合的图形；该直线叫对称轴。 ◆ 两图成轴对称：一个图形沿某直线折叠能与另一图形重合。 ◆ 性质：两图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段、对应角相等。 ◆ 对称轴条数：线段2条；角、等腰三角形1条；等边三角形3条；正方形4条；圆无数条。 【典例】下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. 平行四边形　B. 等边三角形　C. 直角三角形　D. 不规则四边形 【解析】等边三角形沿每条边的垂直平分线折叠都能重合；一般平行四边形、直角三角形、不规则四边形都不是。 【答案】B 【变式】等腰三角形的对称轴是（　　） A. 腰上的高　B. 顶角平分线所在的直线　C. 底边上的中线　D. 任意一条中线 【解析】对称轴必须是"直线"，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线（底边的垂直平分线所在直线）。 【答案】B 考点二 线段的垂直平分线 ◆ 定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线叫垂直平分线（中垂线）。 ◆ 性质：中垂线上的点与线段两端点距离相等。 ◆ 判定：与线段两端点距离相等的点在中垂线上。 ◆ 作图：以两端点为圆心、大于线段一半的同一长度为半径画弧，过两交点作直线。 几何语言：∵ MN垂直平分AB，P在MN上，∴ PA＝PB；反之 ∵ PA＝PB，∴ P在AB的中垂线上。 【典例】在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交AB于E、交BC于D，AC＝6，BC＝10，求△ACD的周长。 【解析】∵ DE垂直平分AB，∴ DA＝DB。∴ C(△ACD)＝AC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝6＋10＝16。 【答案】16 【变式】点P在AB的垂直平分线上，PA＝3x−2，PB＝x＋6，求x。 【解析】由PA＝PB得3x−2＝x＋6，解得x＝4。 【答案】x＝4 考点三 画轴对称图形与用坐标表示轴对称 ◆ 画法：过各关键点作对称轴垂线并取等距对应点，顺次连线。 ◆ 关于x轴：(x，y)→(x，−y)。 ◆ 关于y轴：(x，y)→(−x，y)。 ◆ 口诀："关于谁对称，谁不变，另一个变号"。 【典例】点A(3，−4)关于x轴对称的点为______，关于y轴对称的点为______。 【解析】关于x轴→(3，4)；关于y轴→(−3，−4)。 【答案】(3，4)；(−3，−4) 【变式】点P(a，3)与Q(−2，b)关于y轴对称，求a＋b。 【解析】纵相等、横相反：a＝2，b＝3，a＋b＝5。 【答案】5 考点四 等腰三角形的性质与判定 ◆ 等边对等角：两底角相等。 ◆ 三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高重合。 ◆ 等角对等边：两角相等的三角形是等腰三角形。 ◆ 公式：顶角α则底角90°− ；底角β则顶角180°−2β。 几何语言：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C；又AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC 且 BD＝DC。 【典例】等腰三角形的一个内角为50°，求另外两个内角。 【解析】① 50°为顶角：底角(180°−50°)/2＝65°，即65°、65°；② 50°为底角：另一底角50°、顶角180°−100°＝80°，即50°、80°。 【答案】65°、65° 或 50°、80° 【变式】等腰三角形两边长为7和3，求周长。 【解析】腰3底7时3＋3＜7不成三角形舍去；腰7底3周长＝17。 【答案】17 考点五 等边三角形与含30°角的直角三角形 ◆ 等边性质：三边相等、三角均60°、3条对称轴。 ◆ 等边判定：① 三角相等；② 有一角60°的等腰三角形。 ◆ 30°直角三角形：30°角所对直角边＝斜边的一半。 【典例】在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的中线，AB＝10，求BC、CD。 【解析】∠A＝30°→BC＝AB/2＝5；斜边上的中线等于斜边一半→CD＝AB/2＝5。 【答案】BC＝5，CD＝5 【变式】等边三角形的边长为8，求它的一条高。 【解析】高把等边三角形分成含30°的直角三角形，底边一半为4，由勾股定理高＝＝4。 【答案】4 考点六 最短路径问题（将军饮马） ◆ 同侧两点模型：作A关于l的对称点A′，连A′B交l于P，最小值＝A′B。 ◆ 依据：两点之间线段最短，且对称保持PA＝PA′。 ◆ 点到直线：求点线距离最短用"垂线段最短"。 【典例】点A、B在河l同侧，A到l距离300 m，B到l距离500 m，A、B沿l水平距离800 m。在l上选P向A、B供水，求PA＋PB最小值。 【解析】作A关于l对称点A′（到l为300 m），A′、B竖直距离300＋500＝800 m、水平距离800 m，∴ 最小值A′B＝＝800 m。 【答案】800 m 【变式】P是直线l外一点，PA⊥l于A，B是l上异于A的任一点，则较短的是______，依据是______。 【解析】垂线段最短，故PA较短。 【答案】PA；垂线段最短 三、题型专项训练 （一）选择题（共8题） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. 圆　B. 等腰梯形　C. 平行四边形　D. 正方形 【解析】平行四边形没有对称轴。 【答案】C 2. 点M(−2，5)关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. (2，5)　B. (−2，−5)　C. (2，−5)　D. (−5，2) 【解析】关于y轴横变号纵不变→(2，5)。 【答案】A 3. 等腰三角形顶角80°，则底角为（　　） A. 50°　B. 60°　C. 80°　D. 100° 【解析】底角(180°−80°)/2＝50°。 【答案】A 4. 到三角形三顶点距离相等的点是三条（　　）的交点 A. 中线　B. 高　C. 角平分线　D. 垂直平分线 【解析】中垂线交点即外心。 【答案】D 5. Rt△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则AC＝（　　） A. 2　B. 4　C. 4√3　D. 8 【解析】30°角所对直角边＝斜边一半＝4。 【答案】B 6. 对称轴最多的是（　　） A. 正方形　B. 等边三角形　C. 圆　D. 正五边形 【解析】圆有无数条对称轴。 【答案】C 7. 等腰三角形两边长4、9，则周长为（　　） A. 17　B. 22　C. 17或22　D. 20 【解析】腰必为9（4＋4＜9舍），周长22。 【答案】B 8. 点P关于x轴对称点为(1，−3)，则P关于y轴对称点为（　　） A. (−1，−3)　B. (−1，3)　C. (1，3)　D. (3，−1) 【解析】P(1，3)关于y轴→(−1，3)。 【答案】B （二）填空题（共8题） 1. 等边三角形每个内角等于______度。 【解析】三角相等，均为180°÷3＝60°。 【答案】60 2. 点(a，−2)与点(3，b)关于x轴对称，则ab＝______。 【解析】横相等a＝3、纵变号b＝2，ab＝6。 【答案】6 3. 等腰三角形一内角为120°，则底角为______度。 【解析】120°只能顶角，底角(180°−120°)/2＝30°。 【答案】30 4. 线段垂直平分线上的点到线段______的距离相等。 【解析】垂直平分线性质定理。 【答案】两个端点 5. 含30°角的直角三角形中，较短直角边为3，则斜边为______。 【解析】30°所对直角边是斜边一半，斜边6。 【答案】6 6. 等腰三角形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴。 【解析】等腰1条、等边3条。 【答案】1，3 7. △ABC与△A′B′C′关于直线l对称，S(△ABC)＝12，则S(△A′B′C′)＝______。 【解析】成轴对称两图形全等，面积相等。 【答案】12 8. 等腰三角形一腰上的高与底边夹角20°，则顶角为______度。 【解析】底角90°−20°＝70°，顶角180°−140°＝40°。 【答案】40 （三）解答题（共6题） 1. 如图，AB＝AC，AD＝AE（D、E分别在AB、AC上），连接BE、CD交于O。求证：△ABE≌△ACD。 【解析】在△ABE与△ACD中，AB＝AC，AE＝AD，∠A＝∠A（公共角），∴ △ABE≌△ACD（SAS）。 【答案】△ABE≌△ACD 2. DE是AB的垂直平分线，交BC于D，△ABC周长24，AB＝10，求△ACD周长。 【解析】DA＝DB，AC＋BC＝24−10＝14，∴ C(△ACD)＝AC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝14。 【答案】14 3. △ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于D。求证：BC＝3AD。 【解析】∠B＝∠C＝30°；Rt△ABD中∠B＝30°→BD＝2AD；∠DAC＝120°−90°＝30°＝∠C→DC＝DA；∴ BC＝BD＋DC＝3AD。 【答案】BC＝3AD 4. 已知A(−1，3)、B(4，1)，在x轴上求点P使PA＋PB最小，并求最小值。 【解析】作A关于x轴对称点A′(−1，−3)，连A′B交x轴于P，最小值＝A′B＝＝。 【答案】最小值 5. 等腰三角形一腰上的中线把周长分成12和15两部分，求三边长。 【解析】设腰x底y：① x＋x/2＝15→x＝10，y＝7，三边10、10、7成立；② x＋x/2＝12→x＝8，y＝11，三边8、8、11成立。∴ 10、10、7 或 8、8、11。 【答案】10、10、7 或 8、8、11 6. △ABC是等边三角形，D是BC中点，∠ADE＝60°，DE与外角∠ACF的平分线交于E。求证：AD＝DE。 【解析】在AB上截取AF＝AE，△AFE为等边△→∠AFE＝60°、∠BFE＝120°；CE平分外角∠ACF＝120°→∠DCE对应外角＝120°＝∠BFE；可证BF＝EC、∠FAD＝∠CDE→△AFD≌△DEC（ASA），∴ AD＝DE。 【答案】△AFD≌△DEC，AD＝DE 四、全章总结 核心结论速查表 内容 结论 轴对称 对应点连线被对称轴垂直平分 线段中垂线 线上的点到两端点距离相等（判定反之成立） 坐标对称 关于x轴(x,−y)；关于y轴(−x,y) 等腰三角形 等边对等角、三线合一；等角对等边 等边三角形 三角均60°；有一角60°的等腰三角形即等边 含30°直角三角形 30°角所对直角边＝斜边的一半 斜边中线 直角三角形斜边上的中线＝斜边的一半 最短路径 对称转化＋两点之间线段最短 常用数学思想 ① 转化：最短路径经轴对称化为"两点之间线段最短"；② 分类讨论：等腰三角形"已知一角/已知两边"须分多解；③ 模型：中垂线、三线合一、将军饮马模型；④ 数形结合：坐标对称与图形对称互化。 十大易错点 1. 对称轴是"直线"，而非线段或高、中线本身。 2. "一个角"要分顶角与底角，常有两解。 3. 已知两边求周长要分腰底并检验能否成三角形。 4. 坐标对称"关于谁对称谁不变"，别记反。 5. 三线合一仅在等腰三角形中成立。 6. 30°所对的是"直角边"等于斜边一半。 7. 中垂线性质与判定方向别混。 8. 最短路径要作对称点再连线。 9. "有一角60°"必须是等腰三角形才可判等边。 10. 成轴对称两图形全等，对应点别写错。 五、分层检测 A组（基础巩固，共5题） 1. 线段有______条对称轴。 【解析】线段所在直线与它的中垂线，共2条。 【答案】2 2. 点(−3，4)关于x轴对称的点在第______象限。 【解析】对称点(−3，−4)，在第三象限。 【答案】三 3. 等腰三角形一个底角70°，顶角为______度。 【解析】180°−2×70°＝40°。 【答案】40 4. 直角三角形斜边为12，斜边上的中线长为______。 【解析】斜边中线＝斜边一半＝6。 【答案】6 5. 等边三角形一边长5，周长为______。 【解析】3×5＝15。 【答案】15 B组（能力提升，共4题） 1. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，求顶角。 【解析】底角＝90°−36°＝54°，顶角＝180°−2×54°＝72°。 【答案】72° 2. △ABC中AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠DBC。 【解析】∠B＝∠C＝70°；DA＝DB→∠ABD＝40°→∠DBC＝70°−40°＝30°。 【答案】30° 3. 含30°角的直角三角形中斜边比一条直角边大4，求斜边。 【解析】设斜边x，30°所对边＝x/2，x−x/2＝4→x＝8。 【答案】8 4. 点A(2，−1)关于y轴的对称点为B，求AB的长。 【解析】B(−2，−1)，AB＝|2−(−2)|＝4。 【答案】4 C组（拓展拔高，共3题） 1. 等腰三角形两边长满足 (x−3)²＋|y−7|＝0，求这个等腰三角形的周长。 【解析】x＝3、y＝7。腰7底3→7＋7＋3＝17（成立）；腰3底7→3＋3＜7舍去。∴ 周长17。 【答案】17 2. 等边△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝AE（E在AC上），求∠EDC。 【解析】∠DAC＝30°；AD＝AE→∠ADE＝∠AED＝(180°−30°)/2＝75°；∠ADC＝90°→∠EDC＝90°−75°＝15°。 【答案】15° 3. 在直线l上求点P，使|PA−PB|最大（A、B在l同侧），并说明依据。 【解析】P取直线AB与l的交点（三点共线），此时|PA−PB|＝AB取最大值；依据：三角形两边之差小于第三边，共线时取等号。 【答案】P为AB所在直线与l的交点 1 学科网（北京）股份有限公司 $