第15章 轴对称 全章复习 讲义 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学轴对称全章复习讲义通过知识框架系统梳理了轴对称、垂直平分线、等腰三角形等七大知识点，以要点提示区分性质与判定，用几何语言规范表达，清晰呈现重点（如垂直平分线性质、等腰三角形三线合一）与难点（最短路径、分类讨论）的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如等腰三角形角度计算（方程思想）夯实基础，综合题型如最短路径作图与原理培养几何直观和逻辑推理素养。同步检测含选择、填空、解答题，适配不同学生需求，助力教师实施精准分层教学，提升学生综合解题能力。

专题 15.6 轴对称全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.知识目标与重难点 2 【知识目标】 2 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】轴对称相关概念 2 【知识点二】线段的垂直平分线 2 【知识点三】坐标与轴对称 2 【知识点四】最短路径问题 3 【知识点五】等腰三角形 3 【知识点六】等边三角形 3 【知识点七】含30°角的直角三角形性质 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】轴对称与垂直平分线基础 4 【题型 2】坐标轴对称点计算 6 【题型 3】等腰三角形角度计算（方程思想） 8 【题型 4】等腰三角形分类讨论 10 四.题型精析（综合提升） 12 【题型 5】垂直平分线综合证明计算 12 【题型 6】等边三角形与30°直角三角形综合 15 【题型 7】最短路径作图与原理 21 【题型 8】全章综合证明（等腰+等边+全等） 26 五.同步检测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1.知识目标：梳理轴对称、垂直平分线、轴对称变换、坐标与轴对称、等腰三角形、等边三角形、含30°角直角三角形性质全章知识点；分清性质与判定，构建完整知识框架。 2.能力目标：熟练运用垂直平分线性质进行线段计算与证明；会平面直角坐标系中作轴对称点坐标变换；能综合运用等腰、等边三角形性质与判定解决角度、线段计算与几何证明；掌握分类讨论、方程思想、转化思想解决几何综合题。 3.素养目标：提升几何直观、逻辑推理、数学运算素养；规范几何证明书写；总结常见几何模型，提高综合解题能力。 【重难点】 1.重点：垂直平分线性质与判定；坐标平面内轴对称坐标变化；等腰三角形性质与判定；等边三角形性质与判定；直角三角形30°角性质。 2.难点：最短路径问题；等腰三角形分类讨论多解问题；等腰、等边三角形与全等三角形综合证明；多知识点综合题型。 二.知识梳理与解读 【知识点一】轴对称相关概念 1.轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 2.成轴对称：两个图形沿着某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。 要点提示：轴对称图形是一个图形；成轴对称是两个图形；二者都沿直线折叠后完全重合。 【知识点二】线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点距离相等。 几何语言：点P在线段AB垂直平分线上 ⇒ PA=PB。 判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：PA=PB ⇒ 点P在线段AB垂直平分线上。 要点提示：线段垂直平分线可以看作到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点三】坐标与轴对称 点（x , y）关于x轴对称点坐标：（x , −y），横坐标不变，纵坐标取相反数。 点（x , y）关于y轴对称点坐标：（−x , y），纵坐标不变，横坐标取相反数。 要点提示：作图形关于坐标轴的轴对称图形，只需要求出关键点对称点，依次连接各点。 【知识点四】最短路径问题 直线同侧两点，求直线上一点使两点到该点距离之和最小：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线交点即为所求点。 原理：两点之间线段最短。 【知识点五】等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上高所在直线。 性质1：等边对等角：AB=AC ⇒ ∠B=∠C。 性质2：三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重合。 判定：等角对等边：∠B=∠C ⇒ AB=AC。也可以利用定义：两边相等判定等腰三角形。 要点提示：性质：边相等推角相等；判定：角相等推边相等，因果不可颠倒。没有指明腰、底边、顶角、底角，必须分类讨论。 【知识点六】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊等腰三角形，3条对称轴。 性质：三边相等，三个内角都是60°，每条边上都满足三线合一。 判定：①三边都相等的三角形；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形（高频）。 【知识点七】含30°角的直角三角形性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30° ⇒ BC=AB。 逆用：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，这条直角边所对锐角等于30°。 要点提示：该性质只在直角三角形中成立。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】轴对称与垂直平分线基础 【例题1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，点M，N分别在边，上，连接，且和关于直线对称． （1）若，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵在中，，（已知）， ∴________（    ）． ∵和关于直线对称（已知）， ∴________（成轴对称的两个图形对应角相等）． ∴． （2）若，，则的周长为________． 【答案】（1）；；（2）14 【分析】（1）根据三角形内角和定理、轴对称的性质等补充解答即可； （2）根据轴对称的性质得出，即可求解. 解：（1）略 （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， 又，， ∴的周长为. 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 【变式2】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）15；（2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． （1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）略 【题型 2】坐标轴对称点计算 【例题2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：点，，根据下列条件解决问题． （1）若轴，求点的坐标； （2）若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标； （2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标和点A与点B的距离． （1）解：∵轴， ， ， 点的坐标为． （2）点在第一象限角的平分线上， ， ， 点的坐标为． 、两点间的距离为． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·湖南娄底·期末）如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 【答案】 【分析】关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程求解即可． 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）已知点，． （1）若点，关于轴对称，求，的值； （2）若点，关于轴对称，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据关于轴对称的点的特征，可列方程，求解得、的值； （2）根据关于轴对称的点的特征，可列方程，求解得、的值，再代入求值即可． （1）解：若点，关于轴对称， 则， 解得． （2）解：若点，关于轴对称， 则， 解得， 代入． 【题型 3】等腰三角形角度计算 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是等边三角形，，是边上两点，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握利用等边三角形得角，结合外角定理和等腰三角形性质求角度是解题的关键． 先由等边三角形得，用三角形外角性质求，再由得． 解：为等边三角形， ， 又， ． ， ． 【变式1】（24-25八年级下·云南楚雄·开学考试）在中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边对等角，结合三角形内角和为求解即可． 解：在中，，， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点拨】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 【变式3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型 4】等腰三角形分类讨论 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）在等腰三角形中，已知，你知道这个等腰三角形的底角是多少度吗？如果呢？ 【答案】当时，底角为；当时，底角为或 【分析】根据等腰三角形两底角相等进行求解即可． 解：当时， ∵， ∴一定是等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的底角是； 当时， ∵ ∴可能是等腰三角形的顶角也可能是底角， ∴当为等腰三角形的顶角时，则底角是， 当为等腰三角形的底角时，则底角为； 综上，这个等腰三角形的底角是或。 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·开学考试）等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质解题． 解：∵等腰三角形的一个内角为， 分两种情况讨论： 若为底角，则底角就是； 若为顶角，则底角为； ∴该等腰三角形的底角度数是或． 【变式2】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【答案】 19 20或80 【分析】先根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系求出三边长，即可求解周长；然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解顶角即可． 解：∵等腰三角形中，有两条边的长度分别是， ∴这个等腰三角形的三边分别为：或， ∵ ∴这个等腰三角形的三边长只能为， ∴这个等腰三角形的周长为； ∵如果一个等腰三角形中，有一个角是， 当角为底角时，则顶角为； 当角为顶角时，则底角为 ∴这个三角形的顶角度数为或． 【变式3】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． （1）求的取值范围． （2）若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】（1）；（2）15或18 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． （1）解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】垂直平分线综合证明计算 【例题5】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 【答案】（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， ， ； （2）． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 解：（1）略； （2）解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即， 长为． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余求出的度数，最后作差即可得到所求的度数． 解：根据题目中的作图方法，可知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则． 【变式2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边1上的一动点（不与点B，C重合），垂直平分，垂直平分． （1）求的度数． （2）嘉嘉说：“四边形的周长为定值．”你同意他的说法吗？若同意，请直接写出这个定值；若不同意，请说明理由． 【答案】（1）；（2）同意，这个定值是13．理由如下： 由（1）得：，， ∴四边形的周长为：． 即四边形的周长为定值，定值为13． 【分析】（1）由垂直平分线的性质可知，，从而得到，，于是可得； （2）由（1）得，，则可得四边形的周长为，从而得解． （1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）略 技巧总结：垂直平分线经常做线段等量代换，实现线段转移。 【题型 6】等边三角形与30°直角三角形综合 【例题6】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：中，，求证：． 证明：在上取点F，使，连接． ∵， ∴ ∴是等边三角形（______） ∴， ∴______ ∵ ∴______（______） ∴ ∴ 【答案】等边三角形的判定；；；等边对等角 【分析】本题主要考查了对“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”的理解，解题的关键是正确理解题意，作出辅助线求解．在上取点F，使，连接，结合，可得出是等边三角形，再由等边三角形的性质，等腰三角形的性质即可得出答案． 解：证明：在上取点F，使，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形（等边三角形的判定）， ∴，， ∴， ∵， ∴（等边对等角）， ∴， ∴． 故答案为：等边三角形的判定；；；等边对等角 【变式1】（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，．下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可判断②；在上截取，易得是等边三角形，易证得，可得，可判断③；过点作，利用并结合三角形的面积的和差关系可判断④． 解：如图，连接， ∵，，为的中点， ∴，，，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故①正确； 如上图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 故②正确； 如图，在上截取， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵和不一定相等， ∴和不一定相等， 故③错误． 如图，过点作， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， 故④正确． 所以其中正确的结论有个． 故选：C． 【点拨】本题考查全等三角形的判定，线段中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识．添加恰当辅助线是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半，如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为______． 【答案】2 【分析】设的中点为点，连接，，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 解：设的中点为点，连接，，如图， ，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 当时，取最小值为， 长的最小值为为2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短性质，关键是构造全等三角形把的最小值转化为的最小值进行解答． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期中）学完“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”后，小明将含有角的两个三角板按如图①所示摆放在一起进行探究． 【提出问题】（1）如图②，在中，，．求证：； 【解决问题】（2）如图③，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，，求的长． 【答案】（1）证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）30 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键． （1）延长至点，使，连接，证明，推出，进而证明是等边三角形，由此即可证明结论； （2）由，得，然后利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解决问题． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 7】最短路径（将军饮马） 【例题7】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． （1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 【变式2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）“如图，，点为内一点，，点分别是射线上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______． 【答案】8 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称的性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 解：作点关于、的对称点、，连接， 则垂直平分，垂直平分， ， 周长为， 由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， （等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值是8， 周长的最小值是8． 故答案为：8． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． （1）求的最小值，并说明理由． （2）求周长的最小值． 【答案】（1）6，理由：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 解：（1）略 （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 【题型 8】全章综合证明（等腰+等边+全等） 【例题8】（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． （1）求证：； （2）若点F在的延长线上，求证：平分； （3）若，，直接写出的长度为______________． 【答案】（1）证明：设、相交于G， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：过C作于N，连接，则， ∵， ， ∴， 在与中， ， ， ， ∵，, 是的角平分线． （3）2 【分析】（1）设、相交于G，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一可得出 ，结合已知得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出； （2）过C作于N，连接，证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （3）根据全等三角形的性质得出，，结合已知得出，解方程即可. 解：（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是的角平分线， ， 又，， ， ， ， 又，， ， 解得. 【变式1】（2025·福建福州·模拟预测）在锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，且与相交于点．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义得，根据线段垂直平分线性质得，即得，进而得到，设，则，，再利用三角形内角和定理列方程解答即可求解． 解：∵直线为的角平分线， ， ∵直线为的中垂线， ， ， ， 设，则，， ，， ， 解得， 即． 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 【答案】/156度 【分析】由题意得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． （1）求证：； （2）若 ，，求 平移的距离． 【答案】（1）证明： （2）平移的距离为6 【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证； （2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解． 解：（1）略 （2）， ， ， ，． ， 为等边三角形， ， ，即平移的距离为6． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）陕西省第十八届运动会将在陕西省渭南市举办．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质得出，根据三角形内角和定理即可得答案． 解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由折叠的性质可知， ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】先写出每个选项命题的逆命题，再判断逆命题的真假，从而找出逆命题为假的选项． 解：A、逆命题：两底角相等的三角形是等腰三角形，这是真命题，不符合题意； B、逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，相似三角形对应角相等但不一定全等，这是假命题，符合题意； C、逆命题：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，是真命题，不符合题意； D、逆命题：等边三角形的三个角都是 60°，这是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了命题与逆命题的概念、真假命题的判断，解题关键是准确写出每个命题的逆命题，并结合相关几何定理判断真假． 7．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 解：∵点， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 解：，， ，，． 故D错误，A，B，C正确． 故选：D． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，，点在边上，．设，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，三角形的外角性质．利用三角形的外角性质求得，利用等边对等角求得，，再利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， 故选：D． 10．（2026·天津西青·二模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，与，分别相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线；点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点，过点作，垂足为点，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得是的角平分线，，再根据平行线的判定和性质、角平分线的性质逐项判断即可． 解：由作图可知，是的角平分线， ∴， 故选项A正确； 由作图可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项C正确； 如图，过点Q作于点H， ∵是的角平分线，，， ∴， 在中，， ∴， 故选D不正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数确定a和b的值，再计算即可． 解： ∵ 点和关于x轴对称， ∴，， ∴． 13．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）已知等腰三角形底角的度数为，则它的顶角度数为________． 【答案】 解：该三角形是等腰三角形，底角度数为， 等腰三角形的两个底角相等，即两个底角和为， 又三角形内角和为， 顶角度数． 14．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线与平行线的性质推出，，然后等量代换求解即可． 解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ． 故答案为：14． 16．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可． 解：∵轴，， ∴点的纵坐标为1， 过点作，交轴于点，交于点， 则：，    ∵ ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 故答案为：． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知，点D、E分别是的三等分点，连接，与相交于点M．那么：①是等腰三角形；②点M在的平分线上；③．以上结论正确的有__________． 【答案】①②/②① 【分析】连接，根据证明得，进而可证，可判断①正确；根据证明得，可判断②正确；由三等分点定义得，结合与同高，可判断③不正确． 解：如图，连接， ∵点D、E分别是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上，故②正确； ∵点D是的三等分点， ∴， ∵与同高， ∴，故③不正确． 综上可知，正确的有①②． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求周长． 【答案】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 解：略 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， （1）求证：． （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵交于点D， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）18 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据等腰三角形的性质得，再求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质得，则答案可得；   （2）作，根据直角三角形的性质得，再由（1）得，然后根据得出答案． 解：（1）略 （2）解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴， 由（1）可知， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 【答案】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 解：（1）略 （2）略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． （1）连接，当时，求t的值； （2）当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； （3）直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】（1）t的值为；（2）t的值为；（3）或 【分析】本题考查了几何动点问题，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得，分类讨论即可求解； （3）分类讨论，，即可求解； （1）解：∵， ∴， ∴， 解得，即t的值为； （2）解：由题意得：为等边三角形； ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若，不成立， 若，不成立， 即当是等腿三角形时，t的值为； （3）解：由（2）知， 当，， 当，如下图： ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴不可能为直角， 综上所述：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.6 轴对称全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.知识目标与重难点 2 【知识目标】 2 【重难点】 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】轴对称相关概念 2 【知识点二】线段的垂直平分线 2 【知识点三】坐标与轴对称 2 【知识点四】最短路径问题 3 【知识点五】等腰三角形 3 【知识点六】等边三角形 3 【知识点七】含30°角的直角三角形性质 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】轴对称与垂直平分线基础 4 【题型 2】坐标轴对称点计算 5 【题型 3】等腰三角形角度计算（方程思想） 5 【题型 4】等腰三角形分类讨论 6 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 5】垂直平分线综合证明计算 6 【题型 6】等边三角形与30°直角三角形综合 8 【题型 7】最短路径作图与原理 9 【题型 8】全章综合证明（等腰+等边+全等） 10 五.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识目标与重难点 【知识目标】 1.知识目标：梳理轴对称、垂直平分线、轴对称变换、坐标与轴对称、等腰三角形、等边三角形、含30°角直角三角形性质全章知识点；分清性质与判定，构建完整知识框架。 2.能力目标：熟练运用垂直平分线性质进行线段计算与证明；会平面直角坐标系中作轴对称点坐标变换；能综合运用等腰、等边三角形性质与判定解决角度、线段计算与几何证明；掌握分类讨论、方程思想、转化思想解决几何综合题。 3.素养目标：提升几何直观、逻辑推理、数学运算素养；规范几何证明书写；总结常见几何模型，提高综合解题能力。 【重难点】 1.重点：垂直平分线性质与判定；坐标平面内轴对称坐标变化；等腰三角形性质与判定；等边三角形性质与判定；直角三角形30°角性质。 2.难点：最短路径问题；等腰三角形分类讨论多解问题；等腰、等边三角形与全等三角形综合证明；多知识点综合题型。 二.知识梳理与解读 【知识点一】轴对称相关概念 1.轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。 2.成轴对称：两个图形沿着某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。 要点提示：轴对称图形是一个图形；成轴对称是两个图形；二者都沿直线折叠后完全重合。 【知识点二】线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点距离相等。 几何语言：点P在线段AB垂直平分线上 ⇒ PA=PB。 判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：PA=PB ⇒ 点P在线段AB垂直平分线上。 要点提示：线段垂直平分线可以看作到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点三】坐标与轴对称 点（x , y）关于x轴对称点坐标：（x , −y），横坐标不变，纵坐标取相反数。 点（x , y）关于y轴对称点坐标：（−x , y），纵坐标不变，横坐标取相反数。 要点提示：作图形关于坐标轴的轴对称图形，只需要求出关键点对称点，依次连接各点。 【知识点四】最短路径问题 直线同侧两点，求直线上一点使两点到该点距离之和最小：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线交点即为所求点。 原理：两点之间线段最短。 【知识点五】等腰三角形 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上高所在直线。 性质1：等边对等角：AB=AC ⇒ ∠B=∠C。 性质2：三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重合。 判定：等角对等边：∠B=∠C ⇒ AB=AC。也可以利用定义：两边相等判定等腰三角形。 要点提示：性质：边相等推角相等；判定：角相等推边相等，因果不可颠倒。没有指明腰、底边、顶角、底角，必须分类讨论。 【知识点六】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊等腰三角形，3条对称轴。 性质：三边相等，三个内角都是60°，每条边上都满足三线合一。 判定：①三边都相等的三角形；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的等腰三角形（高频）。 【知识点七】含30°角的直角三角形性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30° ⇒ BC=AB。 逆用：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，这条直角边所对锐角等于30°。 要点提示：该性质只在直角三角形中成立。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】轴对称与垂直平分线基础 【例题1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，点M，N分别在边，上，连接，且和关于直线对称． （1）若，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵在中，，（已知）， ∴________（    ）． ∵和关于直线对称（已知）， ∴________（成轴对称的两个图形对应角相等）． ∴． （2）若，，则的周长为________． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【题型 2】坐标轴对称点计算 【例题2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知：点，，根据下列条件解决问题． （1）若轴，求点的坐标； （2）若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·湖南娄底·期末）如果点与点关于y轴对称，则b的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）已知点，． （1）若点，关于轴对称，求，的值； （2）若点，关于轴对称，求的值． 【题型 3】等腰三角形角度计算 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是等边三角形，，是边上两点，，．求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·云南楚雄·开学考试）在中，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【变式3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，且．求的度数． 【题型 4】等腰三角形分类讨论 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）在等腰三角形中，已知，你知道这个等腰三角形的底角是多少度吗？如果呢？ 【变式1】（24-25八年级下·河南洛阳·开学考试）等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（     ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【变式3】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． （1）求的取值范围． （2）若是等腰三角形，的周长是多少． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】垂直平分线综合证明计算 【例题5】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【变式3】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边1上的一动点（不与点B，C重合），垂直平分，垂直平分． （1）求的度数． （2）嘉嘉说：“四边形的周长为定值．”你同意他的说法吗？若同意，请直接写出这个定值；若不同意，请说明理由． 技巧总结：垂直平分线经常做线段等量代换，实现线段转移。 【题型 6】等边三角形与30°直角三角形综合 【例题6】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：中，，求证：． 证明：在上取点F，使，连接． ∵， ∴ ∴是等边三角形（______） ∴， ∴______ ∵ ∴______（______） ∴ ∴ 【变式1】（24-25八年级上·湖北鄂州·期中）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，．下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半，如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为______． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期中）学完“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”后，小明将含有角的两个三角板按如图①所示摆放在一起进行探究． 【提出问题】（1）如图②，在中，，．求证：； 【解决问题】（2）如图③，在中，于点D，于点E，交于点F，已知，，，求的长． 【题型 7】最短路径（将军饮马） 【例题7】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）“如图，，点为内一点，，点分别是射线上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______． 【变式3】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． （1）求的最小值，并说明理由． （2）求周长的最小值． 【题型 8】全章综合证明（等腰+等边+全等） 【例题8】（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． （1）求证：； （2）若点F在的延长线上，求证：平分； （3）若，，直接写出的长度为______________． 【变式1】（2025·福建福州·模拟预测）在锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，且与相交于点．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 【变式3】（25-26九年级下·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． （1）求证：； （2）若 ，，求 平移的距离． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）陕西省第十八届运动会将在陕西省渭南市举办．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 7．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，，点在边上，．设，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·天津西青·二模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，与，分别相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线；点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点，过点作，垂足为点，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 12．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若点和关于x轴对称，则的值是______． 13．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）已知等腰三角形底角的度数为，则它的顶角度数为________． 14．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 15．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，的平分线，交于点．过点作，分别交，于点，，则的周长为____________． 16．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 18．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知，点D、E分别是的三等分点，连接，与相交于点M．那么：①是等腰三角形；②点M在的平分线上；③．以上结论正确的有__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求周长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， （1）求证：． （2）若，求的面积． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． （1）求证：为等腰三角形；（2）求证：． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． （1）连接，当时，求t的值； （2）当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； （3）直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $