第十三章 三角形 --三角形中的几何模型重点题型 训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形四大角平分线模型，以题载法构建“性质-模型-应用”逻辑链，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内外角平分线模型|4题|角平分线定义+外角性质+等量代换|从单角平分线到n重角平分线，推导角度规律| |双外角平分线模型|4题|邻补角定义+内角和定理|通过外角和转化，建立与原三角形内角关系| |高线角平分线模型|4题|直角三角形性质+角平分线性质|结合高线构造直角，实现角度差量计算| |角平分线平行线模型|4题|平行线性质+等角转化|利用平行实现角平分线截得等腰三角形|

第十三章三角形-三角形中的几何模型重点题型梳理练 20262027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、应用“内外角”平分线模型证明与求值 C中，∠A=96 L.如图AABC 6°，延长BC到D,∠ABC与∠ACD A,∠ABC,∠ACD 的平分线相交于点 与 的 平分线相交于点A,依此类推，∠A,BC与A,CD 的平分线相交于点4，则么的度数为《) ∠A D A.19.2° B.8° C.6 D.3 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点E,则∠E的度数为 3.已知：如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、 CE交于点E. (1)求∠E的度数. (2)请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由， 4如图，△MBC中，外角∠4CD的平分线与∠MC 的平分线交于点， 5A.LABC与ACD 的平分线交于 点，则么与4有怎样的数量关系？继续作∠ABC与ACD的平分线交于点4，如此下去可得4 与 A ”，那么猜想 么与4有怎样的数量关系？并求出1=32”时， ∠A4 的度数. D 二、应用“双外角”平分线模型证明与求值 5.如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点A及部分边截掉，∠1、∠2的外角平分线交于点O (1)若∠1=50°，∠2=60°，则截掉的∠A= (2)若∠1+∠2=110°，则∠0= 6.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D.若∠BDC=40°，则∠A= D 7.如图，在△ABC中，∠A=80°，BF平分外角∠CBD,CF平分外角∠BCE,BG平分∠CBF,CG平 分LBCF,求∠G的度数. 8.如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线， A B (1)若∠ABC=50°，∠ACB=40°，那么∠D= (2)若∠A=a,求∠D的度数（用含a的式子表示）· 三、应用“高线角平分线”模型证明与求值 9.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D,若LB=40°，∠C=64°，则∠DAE的度数是 () A.10° B.12° C.15° D.18° 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E为线段AD上一点，过点E作EF⊥BC,若∠B=40° ∠C=70°，则∠DEF=. B DF 11.在△ABC中，∠C>∠B,AE是边BC上的高，AD是∠BAC的平分线. GE D E 图① 图② ()如图①，若LDAE=20°，∠B=30°，求∠C的度数： (2)如图②，若F是AD的延长线上一点，FG⊥BC于点G,试探究∠F与∠C,∠B之间的数量关系，并 说明理由 12.如图，在△ABC中，AD,AF分别为△ABC的BC边上的中线和高，BE为△ABD的角平分线 A E (1)若∠BED=50°，∠BAD=30°，求∠DAF的大小： (2)若△ABC的面积为48，BD=6,求AF的长， 四、应用“角平分线平行线”证明与求值 13.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交边AB、AC于 点D和点E,如果∠BAC=70°，∠ABC=50°，那么∠EOC-∠BOD= 14.如图，在△ABC中，BD是角平分线，DE∥BC,∠A=60°，∠BDC=80°，求∠AED的度数. E D 15.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求证：ADI‖BC, E 16.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB和AC上，DE∥BC,∠A=56°，∠C=69°，∠DBE=30°，求 ∠BED的度数. 参考答案 题号 1 9 答案D B 1.D 本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键 利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可. ∠BAC+∠ABC=∠ACD 解： 2∠ACD=∠ACD=∠BAC+∠ABC ,2(∠BAC+∠ABC)=∠BAC+∠ABC 2∠BAC+2∠ABC=∠BAC+∠ABC 2∠ABC=∠ABC 2∠BAC=∠BAC 2∠BA,C=∠BAC,2∠BA,C=∠BA,C,2∠BA,C=∠BA,C,2∠BA,C=∠BA,C 同理，可得 B4C-}B4c-a4C-gB4C=64C-0BaC=9632-y 2.20°120度 首先根据角平分线的定义可得<CB5=A0C,∠DCE=ACD,再给合三角形外角的定义和性质可得 ∠DCE=20°+)∠ABC,然后由∠E=∠DCE-∠CBE求解即可. 解：·BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, CBE-LABC./DCE-ACD .∠A=40°，∠ACD=∠A+∠ABC=40°+∠ABC, ADcE=4cD-40+ABC)-20+号A8c. :∠E=∠DCE-∠CBE=20°+)∠ABC-∠ABC=20】 2 2 3.(1)∠E=20° (2)∠A=2∠E,理由如下： :BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, ∴.∠ABC=2LCBE,∠ACD=2∠DCE 由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCE=∠E+∠CBE, .∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE) .∠A=2∠E ∠A+∠ABC=2(LE+∠CBE) (1)根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出 然 后利用等量代换可求解； (2)根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得 ∠A+∠ABC=2(∠E+∠CBE）,然 后利用等量代换可得出结论. (1)(1)解：，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, ∴.∠ABC=2∠CBE,∠ACD=2∠DCE, 由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCE=∠E+∠CBE, :A+∠MBC=2(∠E+∠CBE) .∴.∠A=2∠E, .∠A=40° .∠E=20°. (2)解：∠A=2∠E,理由略. 44-A.4-4.a=. 根据∠4CD=A+∠ABC,月∠4CD=2∠4+∠ABC,进行角的等量代换，得∠4=A,同理，有 2∠4，把∠A=32代入，即可作答。 解：：BA平分∠ABC, ∠ABC=2∠ABC C4平分∠ACD, ,∠ACD=2∠ACD ∠ACD=∠A+LA4BC ∠ACD=2∠A+∠ABC ,∠ACD=∠A+∠ABC, ∠A+∠ABC=2∠A+∠ABC 44 1 1 1 同理4=2A=4A=2A,…, 4 -4 当∠A=32°时， ∠4，=2×32°=2°. 5.70 55 (1)根据三角形内角和定理求出∠A即可； (2)根据邻补角定义可知∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，根据角平分线定义可知 L0BC+∠0CB=180°-（∠1+∠2），因为∠1+∠2=110°，即可得到∠0BC+∠0CB=125°，根据三角形 内角和定理即可求出∠0=55° 解：(1)在△ABC中，∠A+∠1+∠2=180°， :∠1=50°.∠2=60° ∠A=180°-∠1-∠2=180°-50°-60°=70°： (2)如下图所示， :∠1+∠EBC=180°，∠2+∠FCB=180°， ∠EBC=180°-∠1.∠FCB=180°-∠2， :BO平分∠EBC,CO平分∠FCB, .on-).oc-c) ∠0BC+∠0cB=7180°-∠4)）+080°-∠2）=180-7(4+∠2)， :∠1+∠2=110°， 208c+20cB=180-2(4+2)=125°， 在aOBC中，∠O+∠OBC+∠OCB=180°， ∴.∠0=180°-（∠OBC+∠OCB)=55° 6.100° 根据三角形的外角性质及三角形的内角和定理得到∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A, 再由角平分线的完义可得∠D8C+∠DCB=80+4,在ABCD中，结合三角形的内角和完理及 ∠BDC的度数即可求解∠A. 解：如图所示， B :∠EBC=∠A+∠ACB,∠FCB=∠A+∠ABC,∠A+∠ABC+∠ACB=I8O°， ∴.∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A, :BD是∠ABC的外角平分线、CD是∠ACB的外角平分线， :∠DBC=I∠EBC,∠DCB=∠FCB, 2 LDBC*ZDCB-ECF(0) 2 2BDC=180-(2D8c+2c8)=18w-080+∠=90-A, ∠BDC=40°， 六40°=90°-1∠A. 2 解得∠A=100, 7.115 利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260°，进一步利用 角平分线的性质得到∠FBC+∠FCB=(D8C+∠BCB)=1B0, ∠GBC+∠GCB=(☑FBC+∠FCB)=6S°，再利用三角形的内角和定理可得答案 解：∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC, .∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC, :∠ACB+∠A+∠ABC=180°， .∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260°， :BF平分外角∠DBC,CF平分外角∠ECB, :∠FBC=∠DBC.∠FCB=∠ECB. 2 2 ∠Fc+∠rB=∠D8C+∠BC8)=I30 :BG平分∠CBF,CG平分∠BCF, ∠GBC-PBc,∠GCB=5rcB, 2 ∠6C+∠GCB-(Bc+∠r8)=6. .∠G=180°-（∠GBC+∠GCB)=180°-65°=115° 8.(1)45° (2)90°1 2 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义， 山利用平角的定义及角￥分线的准质可背出4=2-C-6,-44CE=7心，西运过 2 三角形内角和定理求得结果； (2)利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出∠D的表达 式. (1)解：：∠ABC=50°，∠ACB=40°」 .∠FBC=180°-∠ABC=130°，∠ECB=180°-∠ACB=140°， 又：BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线， 1=∠2=)∠FBC=65°，3=4=)∠BCB=70° ∴.∠D=180°-∠2-∠3=45°， 故答案为：45°. (2)解：∠A=a, .∠ABC+∠ACB=180°-a, 又：1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=180°-∠D」 ∴.∠1+∠4=180°-∠D. ∠ABC=180°-∠1-∠2，∠ACB=180°-∠3-∠4， .180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=180°-a, 360°-（∠1+∠2+∠3+∠4)=180°-a 六360-280°-∠D)=180°-a,即∠D=90°-) a 9.B 根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD,再根据角平分线定义求出∠CAE,然后根据 ∠DAE=∠CAE-∠CAD,代入数据进行计算即可得解. 解：AD⊥BC,∠C=64° ∴.∠C4D=90°-64°=26°. ∠B=40°，∠C=64°， ∴.∠BAC=180°-40°-64°-=76° 又：AE是△ABC的角平分线， 2C4=B4C=x6=38, .DAE=∠CAE-∠CAD=38°-26°=12° 10.15 根据三角形内角和定理得出∠BAC=70°，确定∠BAD=∠CAD=35°，得出∠EDF=75°，再由三角形内 角和定理即可求解。 解：∠B=40°，∠C=70°， ∠BAC=180°-40°-70°=70°. AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD=35° .∠EDF=180°-35°-70°=75°， EF⊥BC, ∠EFD=90° ∠DEF=180°-90°-75°=15° 11.(1)70° (2)∠C-∠B=2∠F,理由如下： ,AE是边BC上的高， .AE⊥BC,∠AEB=90° .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=90°-∠B .∠BAD=∠BAE-∠DAE=90°-∠B-∠DAE, :AD是∠ABC的平分线， .∠BAC=2∠BAD=180°-2∠B-2∠DAE, .∠C=180°-∠B-∠BAC=∠B+2∠DAE, .FG⊥BC,AE⊥BC, .FG∥AE ∴∠F=∠DAE, ∠C=LB+2∠F,即∠C-∠B=2LF」 (1)由AE⊥BC可得∠AEB=90°，利用三角形内角和定理可得∠BAE=60°，从而得到∠BAD=40°，由 角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD=80°，最后使用三角形的内角和定理计算出∠C: (2)仿照(1)的解法可得出∠C=∠B+2∠DAE,容易判断FG∥AE,则∠F=∠DAE,因此 ∠C-∠B=2∠F (1)解：，AE是边BC上的高， .∠AEB=90°， ∴.∠BAE=180°-∠B-∠AEB=60°， .∠DAE=20°， .∠BAD=∠BAE-∠DAE=40°， AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD=80°. ∴.∠C=180°-∠B-∠BAC=70°」 (2)略 12.(1)∠DAF=20° (2)AF=8 (1先利用角平分线定义得到∠ABE=∠DE=∠ABD,根据三角形的外角，求出乙A1BE,根据高的定 义和互余两角的性质求出∠ABD+∠BAD+∠DAF=9O°， (2②先根据三角形中线定义得到BD=DC-BC,然后利用三角形面积公式求出A的长。 (1)解：，BE为△ABD的角平分线， :∠ABE=∠DBE=∠ABD .∠BED=50°，∠BAD=30°， ∴.∠ABE+30°=50° .∠ABE=20° .∠ABD=2∠ABE=40° AF⊥BC, ∴.∠BFA=90° ∴.∠ABD+∠BAF=∠ABD+∠BAD+∠DAF=90°. .40°+30°+∠DAF=90°， .∠DAF=20° (2)解：：AD为△ABC的BC边上的中线， .B-DC-iBC BD=6, .BC=2BD=12, ,△ABC的面积为48， 及e=方Cxf=4, :)×2×AF=48 .AF=8」 13.5°15度 先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得∠0BC=25°，∠0CB=30°，再根据平行线的性质得出 ∠EOC=∠OCB=30°，∠BOD=∠OBC=25° ,即可求解 解：由条件可知ZOBC=)∠ABC=259 :∠BAC=70° ∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60° CO平分∠ACB, :L0cB=34cB=30°， 2 .DE∥BC, .∠E0C=∠OCB=30°，∠B0D=∠0BC=25° .∠E0C-∠BOD=30°-25°=5°. 14.40° 由三角形外角的性质求得∠ABD的度数，再由平分求得∠ABC的度数，由平行即可求解. 解：：∠A=60°，∠BDC=80° ∴.∠ABD=∠BDC-∠A=80°-60°=20°， ,BD是∠ABC的平分线， ∠ABC=2∠ABD=40°， DE BC, ∴.∠AED=∠ABC=40° 15.证明：在△ABC中，∠B=∠C,∠EAC是△ABC的一个外角， .∠EAC=∠B+∠C=2∠C. :AD平分外角∠EAC, .∠CAE=2∠CAD. .∠C=∠CAD .AD BC 根据三角形的外角的性质，结合角平分线的定义，推出∠DAC=∠C,即可得证 略 16.∠BED=25° 先通过三角形内角和定理求出∠ABC,再求出∠EBC,最后根据两直线平行，内错角相等求出∠BED. 由三角形内角和为180°可知∠ABC=180°-∠A-∠C=55°， .∠EBC=∠ABC-∠DBE=25°， 由两直线平行，内错角相等得 ∠BED=∠EBC=25°