第十三章 三角形 初中数学几何模型研究大讲堂 专题七 燕尾模型 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 聚焦初中数学燕尾模型，构建“认知-思路-练习”三阶体系，提炼外角性质与辅助线构造方法，逻辑链清晰，典例覆盖中考高频角度计算与证明，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型认知|考法表格|外角性质应用，辅助线构造（延长/连接）|从凹四边形定义出发，由外角性质推导模型结论| |模型思路|题3/变式5|多模型分割技巧|衔接三角形初步，为复杂几何题奠基| |模型练习|15题+5变式|角度计算与证明通用步骤|覆盖单模型基础题到多模型综合题，梯度递进|

初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题七：燕尾模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，四边形是凹四边形． 1.； 2..（可延长BD证明，第2条结论基本不考察，可不做详细探究） 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “燕尾”模型的相关计算 求角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求角度 2. 常在解答题中进行简单计算与结论证明 运用外角的相关知识点，如需证明，需要连接或延长以构造辅助线. PART 2——模型思路. “燕尾”模型作为三角形初步学习中重要的导角模型，对后面几何解题会有很大帮助，利用外角的性质即可理解，该模型结论很简单，也很实用，单独的设问难度不是特别大，一些题需要连接以分割多个飞镖模型求解，本专题重新选取了2025年之后的题目，具有时效性. 常见辅助线作法及模型证明请参考题3和变式5. PART 3——模型练习. 1.（2025·广西玉林期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·山东淄博校级阶段）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西延安期中）如图所示，已知四边形，求证． 4.（2026·广东深圳期末）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·广东湛江校级月考）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ________． 6.（2026·贵州毕节期中）如图，______ ． 7.（2026·河南新乡期中）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 8.（2025·山东德州期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 9.（2025·河南周口期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 10.（原创）如图，在正七边形中延长交于点P，那么______°． 11.（2026·上海嘉定期中）如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 12.（2026·陕西咸阳模拟）如图，是正十边形的一条边，过点作的垂线交的延长线于点，则的度数为_____． 13.（2025·吉林长春校级期末）七下数学页有：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出如图五角星中的度数和． 发现：直接写出七角星中，的度数和为______． 14.（2026·吉林长春期末改编）按要求解答下列问题： 【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”或“燕尾模型”．若，，求的度数． 思路一：延长交于点，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． (1)请选择其中的一种思路求的度数． 【应用拓展】 (2)如图2，若，则________； (3)如图3，若，则________． 15.（2026·北京朝阳校级期中）已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． (1)如图1，当，时，证明； (2)若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 【变式1】（2025·河南洛阳期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 度．    【变式2】（2026·山西阳泉期末）某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：李刚      成员：梅小青   桑研   胡蕾 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 题干 如图，点D在上，点E在上，、相交于点P． 任务 若，求的度数； 【变式3】（2026·上海嘉定期中）如图，已知，，，求. 【变式4】（2025·河北保定期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【变式5】（2026·河南安阳校级月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题七：燕尾模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，四边形是凹四边形． 1.； 2..（可延长BD证明，第2条结论基本不考察，可不做详细探究） 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “燕尾”模型的相关计算 求角度 1. 在选择或填空题中考查： （1）求角度 2. 常在解答题中进行简单计算与结论证明 运用外角的相关知识点，如需证明，需要连接或延长以构造辅助线. PART 2——模型思路. “燕尾”模型作为三角形初步学习中重要的导角模型，对后面几何解题会有很大帮助，利用外角的性质即可理解，该模型结论很简单，也很实用，单独的设问难度不是特别大，一些题需要连接以分割多个飞镖模型求解，本专题重新选取了2025年之后的题目，具有时效性. 常见辅助线作法及模型证明请参考题3和变式5. PART 5——模型解析. 1.（2025·广西玉林期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质定理．延长交于点E，利用三角形外角的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，． ∴． ∵， ∴， 故选：C． 2.（2026·山东淄博校级阶段）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质． 先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可． 【详解】解：延长交于点E， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 3.（2025·陕西延安期中）如图所示，已知四边形，求证． 【答案】证明：方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 4.（2026·广东深圳期末）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 5.（2025·广东湛江校级月考）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 【详解】解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 6.（2026·贵州毕节期中）如图，______ ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形外角的性质得到，，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】解：如图， ，，， ． 故答案为：180． 7.（2026·河南新乡期中）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键． 8.（2025·山东德州期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质推出．延长交于K，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图；延长交于K， ∵，， ∴. 故选：C. 9.（2025·河南周口期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，本题先求解，再利用平行线的性质证明，，也可以尝试延长证得模型结论，从而可得答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 10.（原创）如图，在正七边形中延长交于点P，那么______°． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形内角和三角形外角的性质，熟记正多边形内角和公式是解题的关键； 延长交于点H，根据正多边形内角和公式得出每个内角度数，然后得出邻补角，再根据三角形外角的性质，等量代换即可解答． 【详解】解：如图延长交于点H， ， 正七边形的每个内角为 ， ， ，， ， 故答案为：． 11.（2026·上海嘉定期中）如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①50；② (2)存在，与之间的数量关系是：或或或 【分析】（1）①延长交于点F，由三角形外角性质得，，进而得，据此可得的度数； ②由（1）可知，据此可得的度数； （2）依题意分四种情况讨论如下：①当点E在边的右侧，且交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，由（1）②的结论得，据此可得与之间的数量关系；④当点E在的下方时，根据四边形的内角和等于得，据此可得与之间的数量关系；综上所述即可求解． 【详解】（1）解：①延长交于点F，如图1所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②由（1）可知：， ∵，， ∴． （2）解：存在，与之间的数量关系是：或或或． 理由如下： 当点E在的外部时，有以下四种情况： ①当点E在边的右侧，且与相交于点P时，如图3①所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，如图3②所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，如图3③所示： 由（1）②的结论得：， ∴； ④当点E在的下方时，如图3④所示： 根据四边形的内角和等于得，， ∴， 综上所述：与之间的数量关系是：或或或． 12.（2026·陕西咸阳模拟）如图，是正十边形的一条边，过点作的垂线交的延长线于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据多边形的内角和公式与正十边形的每个角相等求出和度数，再利用三角形内角和定理和邻补角定义即可求出度数和与度数，最后再根据三角形内角和定理即可求出度数． 【详解】解：连接，如图所示， 正十边形的内角和是， 正十边形的每个角度都是， ， ，． ， ， ． 13.（2025·吉林长春校级期末）七下数学页有：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出如图五角星中的度数和． 发现：直接写出七角星中，的度数和为______． 【答案】探究：；发现： 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理与外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质，正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 探究：根据三角形外角的性质求出和，再根据三角形的内角和定理求出答案即可； 发现：根据三角形外角的性质求出、和，再根据三角形的内角和定理求出答案即可． 【详解】解：探究：如图所示， ，，， ，即； 发现：如图所示： ，，， ， ，， ，即， 故答案为：． 14.（2026·吉林长春期末改编）按要求解答下列问题： 【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”或“燕尾模型”．若，，求的度数． 思路一：延长交于点，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． (1)请选择其中的一种思路求的度数． 【应用拓展】 (2)如图2，若，则________； (3)如图3，若，则________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）任选一种进行即可； （2）由三角形内角和定理及对顶角相等可知，而由（1）知，所以，则题目可求； （3）由四边形内角和及对顶角相等可知，，再由（1）的结论则题目可解． 【详解】（1）解：思路一：由三角形外角性质可得： ； 思路二： ； 思路三： ； （2）解：如图，设和交点为点， ， 由（1）知， ∴， ∴； （3）解：如图，设和交点为点， ， 由（1）得． 15.（2026·北京朝阳校级期中）已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． (1)如图1，当，时，证明； (2)若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：，， ∴， ，， ， 又， ， ． (2)①；②； 【分析】(1)根据同角的余角相等得到，再由平行线的性质得到，从而得出结论； (2)①先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； ②先推导出，，得到，推导出，得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①，理由为： 是的外角 ， 是的外角， ， ∴， 即， ， ， ∴； ②补全图形见下图，，理由如下： 是的外角 ， 即， 是的外角， ， 即， ， 即 ， ， ． 【变式1】（2025·河南洛阳期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 度．    【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，即可求出结论． 【详解】解：连接并延长至点，如图所示．       在中，，， ， ． ，， ， 即， ， 故答案为：． 【变式2】（2026·山西阳泉期末）某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月28日 成员 组长：李刚      成员：梅小青   桑研   胡蕾 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 题干 如图，点D在上，点E在上，、相交于点P． 任务 若，求的度数； 【变式3】（2026·上海嘉定期中）如图，已知，，，求. 【答案】 【分析】根据三角形的外角的性质可得，，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4】（2025·河北保定期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】（1）证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5】（2026·河南安阳校级月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1)证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $