第26章 二次函数 章末进阶试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 这份章末进阶试题聚焦二次函数，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、对称轴、顶点坐标|单选填空直接考查概念，如第1题定义判断、13题顶点坐标计算| |发展层|图像变换、性质综合、与方程不等式关系|结合图像分析，如第7题函数图像辨析、19题抛物线与x轴交点证明| |提升层|实际应用与拓展探究|以跳水、帐篷设计等情境建模，如25题抛物线型帐篷设计，培养应用意识|

第26章 二次函数 章末进阶试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 8．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 9．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 10．关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 12．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 13．抛物线的顶点坐标为_______ 14．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 15．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新抛物线的表达式（顶点式）为________． 16．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 17．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 18．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 三、解答题 19．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 20．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 21．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式． （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 22．某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 23．华联商厦购进一批“红豆”牌儿童羽绒服，当每件售价为280元时，日销量为50件．为迎接“两节”到来，以尽快减少库存，商厦准备采取降价方式进行促销．经市场调查发现：若每件羽绒服的售价降低20元，则日销量增加10件，且每卖出一件羽绒服需支付厂家100元． (1)商厦欲获得9600元日利润，则每件羽绒服售价应定为多少？ (2)小明看到商家的促销方式后，想了一下，认为“商家日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小明的想法对吗？试说明理由． 24．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 25．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B A C D A C 题号 11 12 答案 C B 1．C 根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．A 根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果． 解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 3．A 抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 解：抛物线的对称轴是直线． 4．B 先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 5．B 本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且当时，故一定不经过第二象限． 解：∵ ， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴， ∴对称轴直线， 则对称轴在y轴右侧， 当时，， ∵， ∴，与y轴交于负半轴． 当时，， ∵，；，，， ∴；， ∴恒成立， 即时． ∴抛物线一定不经过第二象限． 故选B． 6．A 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性成为解题的关键． 根据抛物线的对称性以及表格数据即可解答． 解：∵和时的函数值相同都是， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：A． 7．C 本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当和两种情况进行分类讨论，则问题可求解． 解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 8．D 本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 9．A 将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．C 先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 11．C 利用表格数据结合二次函数的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 解：由表格可知，当和时，的值相等，均为， 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， 对称轴为直线，故B错误； 运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点在对称轴处， 运动员重心相对于水面的最大高度大于，故A错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，故C正确； 根据抛物线对称性，和时，值相等， 即时，，重心高度仍为，运动员未入水，故D错误． 12．B 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 13． 抛物线的顶点坐标为． 14． 根据二次函数的性质即可求解． 解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 15． 本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得答案． 解：∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后的抛物线的表达式为． 故答案为： 16．12 本题考查二次函数的图象及性质，由二次函数的关系式得到图象开口向下，顶点坐标为，即可得到小球运动中的最大高度． 解：∵，， ∴当时，h有最大值，为， ∴小球运动中的最大高度是12米． 故答案为：12． 17． 将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 18． 根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 19．(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． （1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． （1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 20．(1)，； (2) 画函数图象： (3)抛物线向下平移了个单位长度． （）把点，代入二次函数即可求解； （）根据画函数图象的步骤即可求解； （）设沿轴平移后的抛物线的解析式为，把点 代入求出的值，根据的正负即可确定平移的方向； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； （2）解：由（）得； ∴二次函数解析式为， 列表： 描点： 连线： （3）设沿轴平移后的抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，   ∴抛物线向下平移了个单位长度． 21．（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1． （1）由抛物线的对称性来求点D的坐标； （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （3）由图象直接写出答案． 解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点， ∴对称轴是x==﹣1． 又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴D（﹣2，3）； （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1． 22．(1)（且为整数） (2)增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件 （1）增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， 每天生产总量 = 总台数 × 单台日均产量，根据此关系式列式子即可； （2）根据二次函数的性质求最大值即可． （1）解：增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， ∴（且为整数）； （2）解：， 当时，有最大值，最大值为3600， 因此增加10台机器时生产总量最大，最大值为3600件． 23．(1)每件羽绒服的售价应定为220元． (2) 小明的想法不正确，理由如下： 设售价定为元，每日的利润为元，则 ， 元时，日利润最大， 而日销售额， 当时，日销售额最大． 他的说法不对． （1）根据已知表示出每天的销量以及每件利润，即可得出答案； （2）根据二次函数最值问题进行分析即可． （1）设售价定为元 则由题意得 整理得， 解得，． 尽快减少库存， ． 答：每件羽绒服的售价应定为220元． （2）略 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，此题是初中阶段考查重点，同学们应熟练掌握此知识． 24．(1)剪掉的小正方形的边长为 (2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为 本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为，列式求解即可； （2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解． （1）解：设剪掉的小正方形的边长为， ∴无盖纸盒的底面的边长为， ∴， 解得，或26（舍去）， ∴剪掉的小正方形的边长为； （2）解：设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为． 25．[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $