周周练10 第26章二次函数综合检测（数学新教材人教版九年级上册）

**基本信息** 本卷聚焦二次函数综合应用，通过《三体》雷达、校园菜园设计等真实情境题，考查抽象能力、几何直观与模型意识，层次分明且适配九年级周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|二次函数图像过点、抛物线与直线图像判断、几何图形中函数最值|结合图像辨析（如第3题坐标系原点判断），基础巩固与空间观念考查| |填空题|6/18|函数值相等条件、对称轴、增减性、几何图形与抛物线公共点|第15题四边形中矩形面积和最值，体现推理能力与创新意识| |解答题|8/62|抛物线表达式求解、实际问题建模（投石机轨迹、水池改造）、综合探究（函数交点与面积差）|第20题校园菜园设计，融合劳动教育与数学建模，突出应用意识；第24题彩带装饰问题，考查动态函数关系，呼应核心素养中数学语言表达现实世界的要求|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测10 第26章二次函数综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 2．已知抛物线经过点，则代数式的值为(   ) A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、代数式求值，将代入得，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：将代入得： ，即：， 将代入原式得：， 故选D． 3．根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，确定二次函数的顶点坐标即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴在点的左下方位置的点A可能是坐标系原点 故选：A． 4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 6．如图是二次函数的图像，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键：根据抛物线与x轴的交点个数可判断结论①；根据对称轴的位置可判断结论②；根据抛物线过“特殊点”与系数的关系可判断结论③；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及图像与y轴交点的位置可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确． ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误． ∵由图象可知当，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图像开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故④错误． 综上所述，结论正确的是①③，共2个． 故选：B 7．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 8．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】求解，把向上平移个单位落在抛物线上时，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得即有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、，交轴于点， ∴， 解得：或， ，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把向上平移个单位落在抛物线上时， ∴此时， ∴， 解得：， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为，则的取值范围为， 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴即有两个相等的实数解， ∴， 解得：， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，点的平移，一次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称． 根据当和时，二次函数的函数值相等，得出以m、n为横坐标的点关于直线对称，得出，求出，然后将，代入函数解析式，得出即可． 【详解】解：∵当和时，二次函数的函数值相等， ∴以m、n为横坐标的点关于直线对称，则 ， ∴， ∵， ∴，函数． 故答案为：． 12．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 13．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 14．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 15．如图，在四边形中，，，，，点是边上一点，过点分别作与的垂线，过点作的垂线，得到矩形和矩形，则这两个矩形的面积之和的最大值是_________． 【答案】 【分析】延长DH交AB于点I，则DI⊥AB，利用矩形和等腰直角三角形的性质，求出CD的长度，然后求出S与x的关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，， 延长DH交AB于点I，则DI⊥AB， ∴四边形BCDI是矩形， ∴DI=BC=3，CD=BI， 由，DI⊥AB， ∴△ADI是等腰直角三角形， ∴AI=DI=3， ∴CD=BI=， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴EF=AF； 设EF=AF=x，则FI=3-x， ∴这两个矩形的面积之和为：， 即； ∵， ∴当时，这两个矩形的面积之和有最大值，最大值为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质，正确求出CD的长度，然后运用二次函数的性质进行解题. 16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1) (2)石块不能飞越城墙， 当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）略 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测10 第26章二次函数综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 2．已知抛物线经过点，则代数式的值为(   ) A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、代数式求值，将代入得，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：将代入得： ，即：， 将代入原式得：， 故选D． 3．根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，确定二次函数的顶点坐标即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴在点的左下方位置的点A可能是坐标系原点 故选：A． 4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 6．如图是二次函数的图像，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键：根据抛物线与x轴的交点个数可判断结论①；根据对称轴的位置可判断结论②；根据抛物线过“特殊点”与系数的关系可判断结论③；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及图像与y轴交点的位置可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确． ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误． ∵由图象可知当，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图像开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴， ∴，故④错误． 综上所述，结论正确的是①③，共2个． 故选：B 7．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 8．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵，， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】求解，把向上平移个单位落在抛物线上时，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得即有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、，交轴于点， ∴， 解得：或， ，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把向上平移个单位落在抛物线上时， ∴此时， ∴， 解得：， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为，则的取值范围为， 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴即有两个相等的实数解， ∴， 解得：， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，点的平移，一次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称． 根据当和时，二次函数的函数值相等，得出以m、n为横坐标的点关于直线对称，得出，求出，然后将，代入函数解析式，得出即可． 【详解】解：∵当和时，二次函数的函数值相等， ∴以m、n为横坐标的点关于直线对称，则 ， ∴， ∵， ∴，函数． 故答案为：． 12．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 13．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 14．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 15．如图，在四边形中，，，，，点是边上一点，过点分别作与的垂线，过点作的垂线，得到矩形和矩形，则这两个矩形的面积之和的最大值是_________． 【答案】 【分析】延长DH交AB于点I，则DI⊥AB，利用矩形和等腰直角三角形的性质，求出CD的长度，然后求出S与x的关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，， 延长DH交AB于点I，则DI⊥AB， ∴四边形BCDI是矩形， ∴DI=BC=3，CD=BI， 由，DI⊥AB， ∴△ADI是等腰直角三角形， ∴AI=DI=3， ∴CD=BI=， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴EF=AF； 设EF=AF=x，则FI=3-x， ∴这两个矩形的面积之和为：， 即； ∵， ∴当时，这两个矩形的面积之和有最大值，最大值为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质，正确求出CD的长度，然后运用二次函数的性质进行解题. 16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1) (2)石块不能飞越城墙， 当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）略 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到抛物线的解析式； （2）根据（1）所求求出点的坐标，再由对称性得到点的坐标，结合平行四边形的性质求解面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 顶点为， ∴对称轴为直线， 轴，交该抛物线于点和点， 关于直线对称， ， ， ∴． 19．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 20．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为和 (3)符合 【分析】（1）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， 当时，有最大值， ∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和； （3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和． 由（1）知， 该方案围成面积最大时符合墙长要求． 21．如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 22．在平面直角坐标系中，已知函数和函数不论x取何值，都取与二者之中的较小值． (1)求函数和图象的交点坐标，并直接写出关于的函数关系式； (2)现有二次函数，若函数和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围； (3)在（2）的结论下，若函数和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)（1）交点坐标为； (2) (3)c的取值范围是：或 【分析】（1）联立方程组求解得出交点坐标，再根据定义和一次函数的增减性求解即可； （2）分别根据一次函数和二次函数的增减性质求解即可； （3）分①函数与只有一个交点，且交点在范围内；②函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个在范围外两种情况求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∴交点坐标为， 根据题意，； （2）解：∵对于函数，随x的增大而减小， ∴ 又∵函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴； （3）解：①若函数与只有一个交点，且交点在范围内 则，即 ∴，得 此时，符合， ∴； ②若函数与有两个交点，其中一个在范围内，另一个在范围外， 则，得， ∵对于函数，当时，；当时， 又∵当时，y随x的增大而减小， 若与在内有一个交点， 则当时；当时，即当时；当时， 也即 ，解得， 又，∴， 综上所述，c的取值范围是：或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数与一次函数的交点问题和增减性，熟练掌握两个函数的性质、正确进行分类讨论思想求解是解答的关键． 23．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 24．2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； (3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米． ①试探究与的关系式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点到地面的距离为米 (3)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）①设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解． ②将和代入与的关系式，进而根据二次函数的性质求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，则， 解得：； 又∵， ∴，则抛物线的表达式为：， 当时，， 即顶点坐标为：； （2）设抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，（米）， 即点到地面的距离为2.25米； （3）①由题意知，点、纵坐标均为3， ∴抛物线中、对称， ∴抛物线的顶点的横坐标为：， ∴抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 整理得：； ②当时，即， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当时，同理可得：， 故的取值范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测10 第26章二次函数综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线经过点，则代数式的值为(   ) A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 3．根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 6．如图是二次函数的图像，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 8．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为_____． 12．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 13．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 14．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 15．如图，在四边形中，，，，，点是边上一点，过点分别作与的垂线，过点作的垂线，得到矩形和矩形，则这两个矩形的面积之和的最大值是_________． 16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 19．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 21．如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 22．在平面直角坐标系中，已知函数和函数不论x取何值，都取与二者之中的较小值． (1)求函数和图象的交点坐标，并直接写出关于的函数关系式； (2)现有二次函数，若函数和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围； (3)在（2）的结论下，若函数和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围． 23．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 24．2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； (3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米． ①试探究与的关系式； ②当时，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测10 第26章二次函数综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线经过点，则代数式的值为(   ) A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 3．根据如图所示的二次函数的图象，可以判断坐标系原点可能是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 6．如图是二次函数的图像，下列结论中正确的是（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 8．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（    ） A． B． C．9 D．10 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为_____． 12．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 13．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 14．如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 15．如图，在四边形中，，，，，点是边上一点，过点分别作与的垂线，过点作的垂线，得到矩形和矩形，则这两个矩形的面积之和的最大值是_________． 16．抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标及的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $